Ίσα ολοκληρώματα τριγωνομετρικών.

Ωmega Man · #1

Να δειχθεί ότι $\displaystyle \bf \int_{0}^{+\infty}\sin(x^2)\;dx=\int_{0}^{+\infty}\cos(x^2)\;dx=\frac{\sqrt{2\pi}}{4}$ .

#2

Mancar Camoran έγραψε:Να δειχθεί ότι $\displaystyle \bf \int_{0}^{+\infty}\sin(x^2)\;dx=\int_{0}^{+\infty}\cos(x^2)\;dx=\frac{\sqrt{2\pi}}{4}$ .

Και να συμπληρώσω ότι τα ολοκληρώματα αυτά έχουν πολύ ενδιαφέρουσες ιδιότητες, έχουν μελετηθεί ευρύτατα, και αξίζει να ασχοληθείτε. Προέρχονται από την οικογένεια των λεγόμενων ολοκληρωμάτων Fresnel,

$\int_{0}^{x}\sin (\frac{\pi}{2}t^2)\;dt,\,\,\int_{0}^{x}\cos(\frac{\pi}{2}t^2)\;dt}$

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Ωmega Man · #3

Έχω βρει μια λύση εδώ http://en.wikipedia.org/wiki/Fresnel_integral εκεί που λέει evaluation. Ας το δούμε όμως αναλυτικότερα μιας
και δεν κάνει τις πράξεις.

$\displaystyle{\color{red} \rule{600pt}{3pt}}$

Εφόσον η $\displaystyle{\bf e^{i z^2}}$ είναι αναλυτική στο $\displaystyle{\mathbb{C}}$ έχουμε, $\displaystyle{\colorbox{cyan}{\boxed{\oint_{\partial S_{R}}e^{iz^2}\;dz=0}}$ όπου $\displaystyle{\bf \partial S_{R}}$ το σύνορο του σκιαγραφημένου τομέα $\displaystyle{\bf S_{R}}$ .
$\displaystyle{\bf \oint_{\partial S_{R}}e^{iz^2}\;dz=\int_{0}^{R}e^{it^2}\;dt+\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{iR^2\cdot e^{2i\theta}}iRe^{i\theta}\(d\theta}+\bf \int_{R}^{0}e^{-t^2}e^{\frac{\pi}{4}i}\;dt$ $\displaystyle{\bf(\color{red} \dagger})$ .
Καθώς $\displaystyle{\bf R\rightarrow +\infty}}$ , το όριο $\displaystyle{\bf\lim_{R\rightarrow +\infty}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{iR^2\cdot e^{2i\theta}}iRe^{i\theta}\;d\theta}\bf=0}$ . Έτσι λοιπόν η ισότητα $\displaystyle{\bf({\color{red}\dagger})$ για $\displaystyle{\bf R\rightarrow +\infty}}$ γίνεται
$\displaystyle{\bf \int_{0}^{+\infty}e^{it^2}\;dt=e^{\frac{\pi}{4}i}\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}\;dt\Rightarrow}$
$\displaystyle{\bf \int_{0}^{+\infty}\sin(t^2)\;dt=\int_{0}^{+\infty}\cos(t^2)\;dt=\sqrt{\frac{\pi}{8}}=\frac{\sqrt{2\pi}}{4}}$ .

Ίσα ολοκληρώματα τριγωνομετρικών.

Ίσα ολοκληρώματα τριγωνομετρικών.

Re: Ίσα ολοκληρώματα τριγωνομετρικών.

Re: Ίσα ολοκληρώματα τριγωνομετρικών.

Μέλη σε σύνδεση