Γενικευμένη δεύτερη παράγωγος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση.

Αν για κάθε $x\in (a,b)$ έχουμε

$\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^{2}}=0$

τότε f(x)=Ax+B

dement · #2

Έστω $a < \xi < b$ με τα $(a,f(a)), (\xi,f(\xi)), (b,f(b))$ μη συνευθειακά. Έστω q(x) = kx^2 + lx + m

με $q(a) = f(a), q(\xi) = f(\xi), q(b) = f(b)$ . Έχουμε $k \neq 0$ και υποθέτουμε k > 0

(ομοίως για k < 0

).

Θέτουμε $r(x) \equiv q(x) - f(x)$ και παρατηρούμε ότι $r(a) = r(\xi) = r(b) = 0$ . Επίσης $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{r(x+h) + r(x-h) - 2 r(x)}{h^2} = 2k > 0$ για κάθε $x \in (a,b)$ οπότε η

δεν έχει τοπικά μέγιστα.

Λόγω αυτού, ένα μέγιστο της (συνεχούς)

στο $[a,\xi]$ θα είναι το $\xi$ , όπως και στο $[\xi,b]$ . Άρα το $\xi$ είναι τοπικό μέγιστο και έχουμε άτοπο.

Έτσι όλα τα σημεία στο γράφημα της

είναι συνευθειακά με τα άκρα του και f(x) = Ax + B

.

Tolaso J Kos · #3

Η ίδια άσκηση με την επιπλέον προΰπόθεση ότι η

που διδόταν στο θέμα είναι δύο φορές παραγωγίσιμη είχε πέσει το 2008

στις Πανελλήνιες Εξετάσεις. Η λύση της άσκησης ήταν πιο απλή από αυτή που δίδει πάνω ο Δημήτρης αφού γνωρίζαμε εκ των προτέρων ότι η

είναι δύο φορές παραγωγίσιμη οπότε εκεί παίζαμε με τον ορισμό της παραγώγου.

#4

Tolaso J Kos έγραψε:Η ίδια άσκηση με την επιπλέον προΰπόθεση ότι η που διδόταν στο θέμα είναι δύο φορές παραγωγίσιμη είχε πέσει το στις Πανελλήνιες Εξετάσεις. Η λύση της άσκησης ήταν πιο απλή από αυτή που δίδει πάνω ο Δημήτρης αφού γνωρίζαμε εκ των προτέρων ότι η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη οπότε εκεί παίζαμε με τον ορισμό της παραγώγου.

Με την υπόθεση ότι η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, είναι απλό. Αν είχαμε υπόθεση ότι είναι μία φορά παραγωγίσιμη,
τότε είναι λίγο πιο δύσκολο αλλά και πάλι απλό (βγαίνει π.χ. με l' Hospital).

Το ενδιαφέρον και δύσκολο είναι όταν υποθέσουμε μόνο την συνέχεια.

Τώρα που έκλεισε το θέμα μπορώ να γράψω:

Υποθέτω ότι αυτό που έχει κατά νου ο θεματοθέτης, ο Σταύρος, είναι ο χαρακτηρισμός της κυρτότητας κατά Schwarz. Συγκεκριμένα, υπόθεση ότι η γενικευμένη δεύτερη παράγωγος είναι $\ge 0$ είναι ο λεγόμενος χαρακτηρισμός κατά Schwarz της κυρτότητας (γενικεύεται και με liminf). Η απόδειξη του Schwarz είναι στο ίδιο μοτίβο με του Δημήτρη αλλά τολμώ να πω ότι του Δημήτρη είναι λίγο πιο καθαρή. Πάντως την απόδειξη του Schwarz την βρίσκει κανείς στην σελίδα 23 του Zygmund, Trigonometric Series (την είχα υπόψη μου γι' αυτό δεν έγραψα λύση στο παραπάνω). Ακριβέστερα, επειδή η άσκηση μας δίνει ότι η γενικευμένη δεύτερη παράγωγος είναι

σημαίνει ότι η συνάρτηση είναι συγχρόνως κυρτή και κοίλη, οπότε ευθεία.

Φιλικά,

Μιχάλης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Δεν είχα στο μυαλό μου αυτό που γράφει ο Μιχάλης
Αυτό χρησιμοποιείται και στην θεωρία των συνόλων μοναδικότητας τριγωνομετρικών σειρών.
Στο παρακάτω υπάρχει ένα άρθρο του εξαίρετου Ελληνα Μαθηματικού Κεχρή.
http://www.math.caltech.edu/~kechris/pa ... ueness.pdf
Να σημειώσω ότι με την θεωρία των συνόλων μοναδικότητας τριγωνομετρικών σειρών
ασχολήθηκε ο Cantor (υπάρχει και σχετικό θεώρημα)και στην προσπάθεια του να βάλει τάξη σε κάποια πράγματα εκεί
έφτιαξε την ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ.

Γενικευμένη δεύτερη παράγωγος

Γενικευμένη δεύτερη παράγωγος

Re: Γενικευμένη δεύτερη παράγωγος

Re: Γενικευμένη δεύτερη παράγωγος

Re: Γενικευμένη δεύτερη παράγωγος

Re: Γενικευμένη δεύτερη παράγωγος

Μέλη σε σύνδεση