Δυο σειρές με sin και cos

krex · #1

'Εχω να λύσω τις παρακάτω δυο σειρές

$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n \cos[(2n+1)\theta]}{2n+1} \hspace{0.03cm},\hspace{0.6cm}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n \sin[(2n+1)\theta]}{2n+1}$

όπου $0\leq \theta \leq \pi/2$ , ή γενικά πραγματικος αριθμός. Καμιά ιδέα πως?

Υ.Γ. για την ακρίβεια έχω μια σειρά:

$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n \cos[(2n+2)\theta]}{2n+1}$

αλλά την έσπασα στις δυο παραπάνω.

Tolaso J Kos · #2

krex έγραψε: $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n \cos[(2n+2)\theta]}{2n+1}$

αλλά την έσπασα στις δυο παραπάνω.

Υποθέτω θα δουλεύει κάποια Fourier , αλλά δεν έχω την υπομονή να ψάξω. Κάτι γρήγορο που μου ρθε στο μυαλό είναι το εξής. Ισχύει ότι $\displaystyle{\cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$ κατά συνέπεια έχουμε $\displaystyle{\cos (2n+2) \theta = \frac{e^{i \left ( 2n+2 \right ) \theta}+e^{-i(2n+2) \theta}}{2}}$ . Κατά συνέπεια έχουμε για τον υπολογισμό της σειράς :
$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cos (2n+2) \theta}{2n+1} &= \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} \left ( e^{-i (2n+2) \theta} + e^{i (2n+2) \theta} \right ) \\ &=\frac{1}{2} \left [ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n e^{-i(2n+2) \theta}}{2n+1} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n e^{i(2n+2) \theta}}{2n+1} \right ] \\ &\overset{(*)}{=}\frac{1}{2} \left [ e^{-i\theta} \arctan \left ( e^{-i \theta} \right )+ e^{i \theta} \arctan \left ( e^{i \theta} \right ) \right ] \end{aligned}}$ (*)

διότι η σειρά Taylor του arctan είναι η $\displaystyle{\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}}$ . Επίσης, δε βλέπω πώς απλοποιείται το τελικό αποτέλεσμα. Σημείωσατε δε πως η συνάρτηση που βρέθηκε στο τέλος είναι πραγματική.

krex · #3

Ευχαριστώ πολύ! Μήπως γίνεται καμια απλοποίηση? Η σχέση αυτή φένεται σημετρική ως προς $\theta \to -\theta$

Tolaso J Kos · #4

Υπάρχει συμμετρία , ναι , αλλά αυτό δε σημαίνει ότι ο τύπος που βρήκα απλοποιείται. Προσωπικά, δε βλέπω απλοποιήσεις. Μπορεί να κάνω λάθος, αλλά αυτή τη στιγμή δε βλέπω κάτι.

Δυο σειρές με sin και cos

Δυο σειρές με sin και cos

Re: Δυο σειρές με sin και cos

Re: Δυο σειρές με sin και cos

Re: Δυο σειρές με sin και cos

Μέλη σε σύνδεση