Σειρά με μ

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\mu$ η συνάρτηση Möbius. Υπολογίσατε τη σειρά:
$\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{\mu(n)}}{n^s}}$ όπου $\mathfrak{Re}(s)>1$ .

dement · #2

Από την $\displaystyle \zeta (s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$ πρέπει να αφαιρεθούν δύο φορές οι όροι που αντιστοιχούν σε square-free αριθμούς. Το σχετικό άθροισμα είναι

$\displaystyle \prod_{k=1}^\infty \left( 1 + \frac{1}{p_k^s} \right) = \frac{\zeta (s)}{\zeta (2s)}$ , όπου p_k

ο

-οστός πρώτος.

Έτσι, τελικά (η απόλυτη σύγκλιση μάς επιτρέπει τέτοιες πράξεις)

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{\mu(n)}}{n^s} = \zeta (s) - \frac{2 \zeta (s)}{\zeta (2s)}$

Tolaso J Kos · #3

Ωραία Δημήτρη. Κάπως διαφορετικά:

Αφού $\displaystyle{(-1)^{\mu(n)}= 1 - \mu^2(n)}$ συνάγουμε ότι
$\displaystyle{\sum_{n= 1}^{\infty} \frac{(-1)^{\mu(n)}}{n^s} = \zeta(s)-2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu^2(n)}{n^s} = \zeta(s)-\frac{2\,\zeta(s)}{\zeta(2s)}}$ όπου το τελευταία άθροισμα είναι γνωστό.

Παρατήρηση: Η συνάρτηση $(-1)^{\mu(n)}$ δεν είναι πολλαπλασιαστική.

Σειρά με μ

Σειρά με μ

Re: Σειρά με μ

Re: Σειρά με μ

Μέλη σε σύνδεση