Δυναμό σειρά με τριγάμμα

Tolaso J Kos · #1

Ας δηλώσουμε με $\psi^{(1)}$ τη τριγάμμα και με ${\rm Li}_2$ το διλογάριθμο . Αποδείξατε ότι :
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \psi^{(1)} (n) x^n = \frac{x}{6-6x} \left( \pi^2 - 6 {\rm Li}_2(x) \right)}$

pprime · #2

Tolaso J Kos έγραψε:Ας δηλώσουμε με $\psi^{(1)}$ τη τριγάμμα και με ${\rm Li}_2$ το διλογάριθμο . Αποδείξατε ότι : $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \psi^{(1)} (n) x^n = \frac{x}{6-6x} \left( \pi^2 - 6 {\rm Li}_2(x) \right)}$

$\displaystyle{S=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{x^{n}\psi _{1}\left( n \right)}=-\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{y}\cdot \frac{\ln y}{1-y}\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\left( xy \right)^{n}dy}}=-x\int\limits_{0}^{1}{\frac{\ln y}{1-y}\cdot \frac{dy}{1-xy}}=-\frac{x^{2}}{x-1}\int\limits_{0}^{1}{\frac{\ln y}{1-xy}dy}+\frac{x}{x-1}\int\limits_{0}^{1}{\frac{\ln y}{1-y}dy}}$

$\displaystyle{\frac{1}{1-y}\cdot \frac{1}{1-xy}=\frac{1}{x-1}\cdot \frac{1}{1-y}\left( \frac{x-xy-1+xy}{1-xy} \right)=\frac{1}{x-1}\left( \frac{x}{1-xy}-\frac{1}{1-y} \right)=\frac{x}{x-1}\cdot \frac{1}{1-xy}-\frac{1}{x-1}\cdot \frac{1}{1-y}}$

$\displaystyle{S=\frac{x^{2}}{1-x}\int\limits_{0}^{1}{\ln y\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\left( xy \right)^{n-1}}dy}-\frac{x}{1-x}\int\limits_{0}^{1}{\frac{\ln y}{1-y}dy}=\frac{x^{2}}{1-x}\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{x^{n-1}\int\limits_{0}^{1}{y^{n-1}\ln ydy}}-\frac{x}{1-x}\underset{y\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{d\beta \left( x,y \right)}{dx}\left| _{x=1} \right. \right)}$

$\displaystyle{=\frac{x^{2}}{1-x}\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{x^{n-1}\int\limits_{0}^{1}{y^{n-1}\ln ydy}}-\frac{x}{1-x}\underset{y\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \psi \left( 1 \right)-\psi \left( 1+y \right) \right)\beta \left( 1,y \right)}$

$\displaystyle{=\frac{x}{1-x}\cdot \frac{\pi ^{2}}{6}-\frac{x^{2}}{1-x}\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{x^{n-1}}{n^{2}}}=\frac{x}{1-x}\cdot \frac{\pi ^{2}}{6}-\frac{x}{1-x}\text{Li}_{2}\left( x \right)=\frac{x}{1-x}\cdot \left( \frac{\pi ^{2}}{6}-\text{Li}_{2}\left( x \right) \right)}$

#3

Tolaso J Kos έγραψε:Ας δηλώσουμε με $\psi^{(1)}$ τη τριγάμμα και με ${\rm Li}_2$ το διλογάριθμο . Αποδείξατε ότι : $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \psi^{(1)} (n) x^n = \frac{x}{6-6x} \left( \pi^2 - 6 {\rm Li}_2(x) \right)}$

Κάπως διαφορετικά ..

Επειδή $\displaystyle{{\psi _1}\left( z \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{1}{{{{\left( {n + z} \right)}^2}}}} \Rightarrow {\psi _1}\left( 1 \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}} = \zeta \left( 2 \right) = \frac{{{\pi ^2}}}{6}}$

και $\displaystyle{{\psi _1}\left( n \right) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{1}{{{{\left( {n + k} \right)}^2}}}} = \frac{1}{{{n^2}}} + \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{{{\left( {n + k} \right)}^2}}}} = \frac{1}{{{n^2}}} + \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{1}{{{{\left( {n + 1 + k} \right)}^2}}}} \Rightarrow {\psi _1}\left( {n + 1} \right) = {\psi _1}\left( n \right) - \frac{1}{{{n^2}}}}$

έχουμε $\displaystyle{f\left( x \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{\psi _1}\left( n \right) \cdot {x^n}} = {\psi _1}\left( 1 \right) \cdot x + \sum\limits_{n = 2}^\infty {{\psi _1}\left( n \right) \cdot {x^n}} = \frac{{{\pi ^2}}}{6} \cdot x + }$ $\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty {{\psi _1}\left( {n + 1} \right) \cdot {x^{n + 1}}} = \frac{{{\pi ^2}}}{6} \cdot x + x \cdot \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{\psi _1}\left( n \right) - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) \cdot {x^n}} = }$

$\displaystyle{ = \frac{{{\pi ^2}}}{6} \cdot x + x \cdot \sum\limits_{n = 1}^\infty {{\psi _1}\left( n \right) \cdot {x^n}} - x \cdot \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{{n^2}}}} = \frac{{{\pi ^2}}}{6} \cdot x + x \cdot f\left( x \right) - }$ $\displaystyle{x \cdot L{i_2}\left( x \right) \Rightarrow \left( {1 - x} \right)f\left( x \right) = x\left( {\frac{{{\pi ^2}}}{6} - L{i_2}\left( x \right)} \right) \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{x\left( {{\pi ^2} - 6 \cdot L{i_2}\left( x \right)} \right)}}{{6\left( {1 - x} \right)}}}$

Tolaso J Kos · #4

Ένα εύλογο ερώτημα τώρα είναι για ποια

συγκλίνει η σειρά αυτή. Εικάζω ότι είναι $\left| x \right| <1$ και ότι για x=1

αποκλίνει ενώ για x=-1

συγκλίνει. Δε το χω κοιτάξει όμως ...

Δυναμό σειρά με τριγάμμα

Δυναμό σειρά με τριγάμμα

Re: Δυναμό σειρά με τριγάμμα

Re: Δυναμό σειρά με τριγάμμα

Re: Δυναμό σειρά με τριγάμμα

Μέλη σε σύνδεση