Σύγκλιση σειράς αρμονικών αριθμών

#1

Να εξετασθεί η απόλυτη και η υπό συνθήκη σύγκλιση της σειράς
$\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{{n}=1}^{\infty}(-1)^n\frac{\log({\cal{H}}_{n})}{{\rm{e}}^{{\cal{H}}_{n}}}\,,$
όπου ${\cal{H}}_n=\sum_{\kappa=1}^{n}\frac{1}{\kappa}$ .

Σημείωση: Για την υπό συνθήκη σύγκλιση έχω μια λύση, που όμως βασίζεται σε "βαριά" ανισότητα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

grigkost έγραψε: Πέμ Μαρ 22, 2018 11:44 am Να εξετασθεί η απόλυτη και η υπό συνθήκη σύγκλιση της σειράς
$\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{{n}=1}^{\infty}(-1)^n\frac{\log({\cal{H}}_{n})}{{\rm{e}}^{{\cal{H}}_{n}}}\,,$
όπου ${\cal{H}}_n=\sum_{\kappa=1}^{n}\frac{1}{\kappa}$ .

Σημείωση: Για την υπό συνθήκη σύγκλιση έχω μια λύση, που όμως βασίζεται σε "βαριά" ανισότητα.

Είναι $(H_{n})$ αύξουσα και $H_{n}=\ln n+c_{n},c_{n}\rightarrow c$

Η $f(x)=\ln x exp(-x),x\geq 2$ είναι φθίνουσα.

Αρα η $(f(H_{n}))$

είναι φθίνουσα και $f(H_{n})=\dfrac{ln(lnn+c_{n})}{ne^{^{c_{n}}}}\rightarrow 0$

από Leibnitz συγκλίνει.

Για την απόλυτη συγκλιση αρκεί να παρατηρήσουμε ότι για $n\geq n_{0}$

είναι $f(H_{n})\geq \frac{1}{100n}$

οπότε δεν έχουμε απόλυτη σύγκλιση.

Σύγκλιση σειράς αρμονικών αριθμών

Σύγκλιση σειράς αρμονικών αριθμών

Re: Σύγκλιση σειράς αρμονικών αριθμών

Μέλη σε σύνδεση