Σύγκλιση σειρῶν καὶ συνελίξεώς τους ἕπεται τύπο γινομένου ἀθροισμάτων

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Δίδονται οἱ ἀκολουθίες $\{a_n\}$ καὶ $\{b_n\}$ , καὶ θέτομε $c_n=a_0b_n+a_1b_{n-1}+\cdots+a_nb_0$ . Ἂν οἱ σειρὲς $\sum a_n$ , $\sum b_n$ καὶ $\,\sum c_n$ συγκλίνουν, τότε δείξατε ὅτι
$\displaystyle{ \Big(\sum_{n=0}^\infty a_n\Big) \Big(\sum_{n=0}^\infty b_n\Big) = \sum_{n=0}^\infty c_n. }$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Τὸ ἀνωτέρω ἀποδεικνύεται μὲ μὴ (ἐντελῶς) στοιχειώδη μέσα. Διερωτῶμαι ἂν ὑπάρχει καὶ στοιχειώδης ἀπόδειξη.

#2

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε: Τρί Ιουν 05, 2018 11:25 pm ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Δίδονται οἱ ἀκολουθίες $\{a_n\}$ καὶ $\{b_n\}$ , καὶ θέτομε $c_n=a_0b_n+a_1b_{n-1}+\cdots+a_nb_0$ . Ἂν οἱ σειρὲς $\sum a_n$ , $\sum b_n$ καὶ $\,\sum c_n$ συγκλίνουν, τότε δείξατε ὅτι
$\displaystyle{ \Big(\sum_{n=0}^\infty a_n\Big) \Big(\sum_{n=0}^\infty b_n\Big) = \sum_{n=0}^\infty c_n. }$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Τὸ ἀνωτέρω ἀποδεικνύεται μὲ μὴ (ἐντελῶς) στοιχειώδη μέσα. Διερωτῶμαι ἂν ὑπάρχει καὶ στοιχειώδης ἀπόδειξη.

.
Γιώργο, πολύ ενδιαφέρον το ερώτημα. Ναι υπάρχει στοιχειώδης απόδειξη, με χρήση Cesaro. Δεν μου είχε κόψει ποτέ αν υπάρχει τέτοια, και έμενα πάντα στην στάνταρ απόδειξη με δυναμοσειρές που υπάρχει σε όλα τα σχετικά βιβλία. Παραθέτω μία ελπίζοντας ότι είναι όπως την ζητάς.

1) Χάριν πληρότητας σκιαγραφώ την στάνταρ απόδειξη: Πρώτα δείχνουμε το αποτέλεσμα όταν η σύγκλιση των $A= \sum a_n$ , $B=\sum b_n$ είναι απόλυτη. Τότε η σύγκλιση της $\sum c_n$ είναι αυτόματη και εύκολα ισχύει το ζητούμενο. Στην γενική περίπτωση θέτουμε $A(x)= \sum a_nx^n$ , $B=\sum b_nx^n$ οπότε οι δυναμοσειρές συγκλίνουν στο (-1,1]

και μάλιστα απόλυτα στο (-1,1)

. Από την προηγούμενη περίπτωση ισχύει ο τύπος του γινομένου στο (-1,1)

και παίρνουμε όριο $x\to 1$ κατά το θεώρημα Abel.

2) Στοιχειωδώς: Αν A_N, B_N, C_N

τα μερικά αθροίσματα των παραπάνω σειρών, οπότε και $A_N\to A$ και λοιπά, εύκολα βλέπουμε ότι $C_N=a_0B_N+a_1B_{N-1}+...+a_NB_0$ . Έπεται εύκολα ότι $C_0+C_1+...+C_N= A_0B_N+A_1B_{N-1}+...+A_nB_0$ και άρα

$\displaystyle \frac {1}{N+1} (C_0+C_1+...+C_N)= \frac {1}{N+1} (A_0B_N+A_1B_{N-1}+...+A_NB_0)$

Παίρνοντας τώρα όριο έπεται από Cesaro και γνωστή γενίκευσή του ότι έχουμε C=AB

, που είναι το ζητούμενο.

Σύγκλιση σειρῶν καὶ συνελίξεώς τους ἕπεται τύπο γινομένου ἀθροισμάτων

Σύγκλιση σειρῶν καὶ συνελίξεώς τους ἕπεται τύπο γινομένου ἀθροισμάτων

Re: Σύγκλιση σειρῶν καὶ συνελίξεώς τους ἕπεται τύπο γινομένου ἀθροισμάτων

Μέλη σε σύνδεση