![a_{n}=\frac{\sqrt[n]{n!}}{n} a_{n}=\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/d6f7ae5938c78acfd3174d9e803a7ad7.png)
Όριο ακολουθίας
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
-
- Δημοσιεύσεις: 34
- Εγγραφή: Παρ Οκτ 05, 2018 4:53 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Όριο ακολουθίας
Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας ![a_{n}=\frac{\sqrt[n]{n!}}{n} a_{n}=\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/d6f7ae5938c78acfd3174d9e803a7ad7.png)
![a_{n}=\frac{\sqrt[n]{n!}}{n} a_{n}=\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/d6f7ae5938c78acfd3174d9e803a7ad7.png)
τελευταία επεξεργασία από Chatzibill σε Κυρ Ιαν 13, 2019 8:41 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13174
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Όριο συνάρτησης
Πάρα πολλή γνωστή, τουλάχιστον σε αυτό το φόρουμ. Η απάντηση είναι

είναι άθροισμα Riemann του

-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13174
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Όριο ακολουθίας
Ας το δούμε και αλλιώς.
Γνωρίζουμε ότι αν για μία ακολουθία


![\displaystyle{\sqrt [n]{b_n} \to b} \displaystyle{\sqrt [n]{b_n} \to b}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/086a5051d5de8d3acbad957677c581d0.png)


Άρα
![\frac{\sqrt[n]{n!}}{n} = \sqrt [n] {\dfrac {n!}{n^n}} \to \dfrac {1}{e} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} = \sqrt [n] {\dfrac {n!}{n^n}} \to \dfrac {1}{e}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/cdb49aa2d016375783454652f5314776.png)
-
- Δημοσιεύσεις: 34
- Εγγραφή: Παρ Οκτ 05, 2018 4:53 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Όριο ακολουθίας
Αυτό είχα στο μυαλό μουMihalis_Lambrou έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 13, 2019 8:57 pmΑς το δούμε και αλλιώς.
Γνωρίζουμε ότι αν για μία ακολουθίαισχύει
, τότε και
. Για την
έχουμε
.
Άρα.
-
- Δημοσιεύσεις: 728
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Όριο ακολουθίας
Μπορείς να το δείξεις επίσης χρησιμοποιώντας τηνChatzibill έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 13, 2019 10:05 pmΑυτό είχα στο μυαλό μουMihalis_Lambrou έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 13, 2019 8:57 pmΑς το δούμε και αλλιώς.
Γνωρίζουμε ότι αν για μία ακολουθίαισχύει
, τότε και
. Για την
έχουμε
.
Άρα.


-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13174
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Όριο ακολουθίας
.
.Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 13, 2019 11:43 pmΜπορείς να το δείξεις επίσης χρησιμοποιώντας τηνγια κάθε
.
Ας επισημάνω ότι υπάρχουν τουλάχιστον άλλοι δύο τρόποι, πέρα από τους τέσσερις παραπάνω.
-
- Δημοσιεύσεις: 172
- Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 4:16 pm
- Ανδρέας Πούλος
- Δημοσιεύσεις: 1431
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
- Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
- Επικοινωνία:
Re: Όριο ακολουθίας
Επειδή συγκεντρώνω αυτόν τον καιρό εποπτικό υλικό για την έννοια της απόδειξης,
το θυμήθηκα αμέσως.
Δείτε αυτό το βίντεο που εξηγεί στον πίνακα την εύρεση του συγκεκριμένου ορίου.
https://www.youtube.com/watch?v=89d5f8WUf1Y
το θυμήθηκα αμέσως.
Δείτε αυτό το βίντεο που εξηγεί στον πίνακα την εύρεση του συγκεκριμένου ορίου.
https://www.youtube.com/watch?v=89d5f8WUf1Y
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13174
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Όριο ακολουθίας
Ανδρέα, Καλή Χρονιά και "από κοντά" (ηλεκτρονικά κοντά, εννοώ. Μην ανησυχείς, δεν είμαι Θεσσαλονίκη αλλά στο γραφείο μου, οπότε μπόρεσα να δω και το βίντεο).Ανδρέας Πούλος έγραψε: ↑Δευ Ιαν 14, 2019 11:51 pmΕπειδή συγκεντρώνω αυτόν τον καιρό εποπτικό υλικό για την έννοια της απόδειξης,
το θυμήθηκα αμέσως.
Δείτε αυτό το βίντεο που εξηγεί στον πίνακα την εύρεση του συγκεκριμένου ορίου.
https://www.youtube.com/watch?v=89d5f8WUf1Y
Υπάρχει πολλή ωραία βιβλιογραφία για "Introduction to Proofs" για αρχάριους. Σίγουρα την ξέρεις αλλά θα γράψω κάποιους τίτλους.
Για το βίντεο που παραθέτεις έχω πολλές ενστάσεις. Το βρίσκω ακατάλληλο για τους λόγους που αναφέρω παρακάτω. Αν ο παρουσιαστής ήταν φοιτητής και η παρουσίασή του ήταν μέρος της βαθμολογίας του σε μάθημα "Introduction to Proofs" , θα του έβαζα 3 στα 10.
Οι λόγοι είναι οι εξής.
α) Πλατειάζει αφάνταστα.
β) Χρησιμοποιεί λογαρίθμους, εκθετικές, συνεχείς συναρτήσεις, όρια ακολουθιών, Riemann αθροίσματα και ότι τα όριά τους είναι
το ολοκλήρωμα (οπότε έχουμε γνώση και της ομοιόμορφης συνέχειας), καταχρηστικά ολοκληρώματα, και λοιπά. Αν κάποιος τα ξέρει όλα αυτά ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΧΡΕΙΑΝ του τι θα πει απόδειξη. Το έχει μάθει προ πολλού.
γ) Έχει ασαφείς εκφράσεις όπως "το



δ) Έχει ασαφή σύμβολα και πάει να μπερδέψει τον πρωτάρη φοιτητή όταν μιλάει για



ε) Κάπου στην αρχή της απόδειξης επικαλείται την συνέχεια του λογαρίθμου. Στην πραγματικότητα αυτό που θέλεις είναι (μόνο) η συνέχεια της εκθετικής, προς το τέλος της απόδειξης. Όλα για την συνέχεια της λογαριθμικής είναι περιττά.
στ) Γράφει το


απευθείας

ζ) Εδώ είναι που μου την βάρεσε: Μιλά για "rectangles as small as possible", όταν αθροίζει τα μακρόστενα παραλληλόγραμμα στο άθροισμα Riemann και προσπαθεί να αιτιολογήσει το όριο. Έλεος! Δεν είναι Μαθηματικά αυτά.
η) Εργάζεται με καταχρηστικό ολοκλήρωμα σαν να ήταν κανονικό. Εκεί πάει να τα μπαλώσει λέγοντας "θα σου δείξω σε ΑΛΛΟ βίντεο" ότι το ολοκλήρωμα ισούται με


Και άλλα.
Τα λέω αυτά όχι για να επισημάνω ότι η απόδειξή του είναι σκάρτη. Μέσες άκρες καλή είναι, και ό,τι λείπει, μπαλώνεται.
Τα λέω για να επισημάνω ότι ως παράδειγμα για να ΜΑΘΩ τι είναι απόδειξη α) είναι ακατάλληλο σε επίπεδο ερμηνείας, β) έρχεται πολύ αργά.
- Ανδρέας Πούλος
- Δημοσιεύσεις: 1431
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
- Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
- Επικοινωνία:
Re: Όριο ακολουθίας
Μιχάλη,
σήμερα είδα τις παρατηρήσεις σου για τη συγκεκριμένη βιντεο-απόδειξη.
Ότι γράφεις είναι εκπληκτικής σαφήνειας, ακρίβειας και παρατηρητικότητας.
Είναι ένα μάθημα, για το πώς παρουσιάζουμε τις αποδείξεις.
Σε ευχαριστώ, (υποθέτω και άλλοι), πάρα πολύ.
σήμερα είδα τις παρατηρήσεις σου για τη συγκεκριμένη βιντεο-απόδειξη.
Ότι γράφεις είναι εκπληκτικής σαφήνειας, ακρίβειας και παρατηρητικότητας.
Είναι ένα μάθημα, για το πώς παρουσιάζουμε τις αποδείξεις.
Σε ευχαριστώ, (υποθέτω και άλλοι), πάρα πολύ.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13174
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Όριο ακολουθίας
Ανδρέα, να 'σαι καλά.Ανδρέας Πούλος έγραψε: ↑Τρί Ιαν 22, 2019 12:35 amΜιχάλη,
σήμερα είδα τις παρατηρήσεις σου για τη συγκεκριμένη βιντεο-απόδειξη.
Ότι γράφεις είναι εκπληκτικής σαφήνειας, ακρίβειας και παρατηρητικότητας.
Είναι ένα μάθημα, για το πώς παρουσιάζουμε τις αποδείξεις.
Σε ευχαριστώ, (υποθέτω και άλλοι), πάρα πολύ.
Δεν απάντησα αμέσως γιατί είμαι τέσσερις μέρες Αθήνα κάνοντας πολλές ώρες σεμινάρια με πολύ ωραίο υλικό σε παιδιά από Δ' εως Στ' Δημοτικού,
οπότε μπαίνω μόνο αραιά στο φόρουμ.
Ευκαιρία να προσθέσω πως νοιώθω ότι με τα παιδιά του Δημοτικού συμβάλλω περισσότερο στην διάδοση και αγάπη για τα Μαθηματικά από ότι στα μαθήματά μου σε φοιτητές γιατί οι μεν θέλγονται ενώ οι δε, στην πλειοψηφία τους, αδιαφορούν και έχουν σοβαρές ελλείψεις.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες