Ημιτονικό ... όριο

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4312
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ημιτονικό ... όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Απρ 17, 2019 12:46 am

Τι μπορείτε να πείτε για το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n \sin n}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12227
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ημιτονικό ... όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Απρ 20, 2019 7:39 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Απρ 17, 2019 12:46 am
Τι μπορείτε να πείτε για το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n \sin n}}
Θα δείξουμε ότι το όριο δεν υπάρχει.

Έστω ότι το όριο υπάρχει και έστω L η τιμή του. Από την πυκνότητα της \cos n, υπάρχει υπακολουθία n_k τέτοια ώστε \cos n_k \to 1. Είναι τότε

\displaystyle{L = \lim \frac {1}{2n_k \sin (2n_k)}=  \lim \frac {1}{4n_k \sin (n_k)\cos (n_k)}= \lim \frac {1}{4n_k \sin (n_k)}\lim \frac {1}{\cos (n_k)}=  \frac {L}{4}\cdot 1}

και άρα L=0. Θα δείξουμε τώρα ότι αποκλείεται να είναι 0.

Από Θεώρημα Διοφαντικής προσέγγισης άρρητων (Dirichlet) υπάρχει ακολουθία \displaystyle{\left ( \frac {p_n}{q_n}\right ) } με \displaystyle{\left |2\pi - \frac {p_n}{q_n}\right | \le \frac {1}{q_n^2} } και άρα \displaystyle{\left |2q_n\pi - p_n\right | \le \frac {1}{q_n} }. Έπεται

\displaystyle{\left | \frac{1}{p_n  \sin p_n} \right | = \left | \frac{1}{p_n  \sin (2q_n\pi - p_n)} \right |\ge \left | \frac{1}{p_n (2q_n\pi - p_n)} \right |\ge \frac{q_n}{p_n }\to \frac {1}{2\pi} >0}. Άτοπο.

Τελικά, το όριο δεν υπάρχει.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης