Τιμές της Γ

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\Gamma$ η συνάρτηση Γάμμα του Euler. Να απλοποιηθεί η τιμή :

$\displaystyle{\mathcal{V} = \frac{\Gamma\left ( \frac{1}{14} \right ) \Gamma \left ( \frac{9}{14} \right ) \Gamma \left ( \frac{11}{14} \right )}{\Gamma \left ( \frac{3}{14} \right ) \Gamma \left ( \frac{5}{14} \right ) \Gamma \left ( \frac{13}{14} \right )}}$

Tolaso J Kos · #2

Επαναφορά. Υπάρχει και γενίκευση! Πάντως $\mathcal{V}=2$ .

dement · #3

Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα $\displaystyle \Gamma (s) \Gamma (s + 1/2) = 2^{1-2s} \pi^{1/2} \Gamma (2s)$ . Έτσι έχουμε:

$\displaystyle \Gamma \left( \frac{1}{14} \right) = 2^{6/7} \pi^{1/2} \frac{\Gamma (1/7)}{\Gamma(4/7)}$

$\displaystyle \Gamma \left( \frac{9}{14} \right) = 2^{5/7} \pi^{1/2} \frac{\Gamma (2/7)}{\Gamma(1/7)}$

$\displaystyle \Gamma \left( \frac{11}{14} \right) = 2^{3/7} \pi^{1/2} \frac{\Gamma (4/7)}{\Gamma(2/7)}$

και ο αριθμητής ισούται με $4 \pi^{3/2}$ . Ομοίως έχουμε:

$\displaystyle \Gamma \left( \frac{3}{14} \right) = 2^{4/7} \pi^{1/2} \frac{\Gamma (3/7)}{\Gamma(5/7)}$

$\displaystyle \Gamma \left( \frac{5}{14} \right) = 2^{2/7} \pi^{1/2} \frac{\Gamma (5/7)}{\Gamma(6/7)}$

$\displaystyle \Gamma \left( \frac{13}{14} \right) = 2^{1/7} \pi^{1/2} \frac{\Gamma (6/7)}{\Gamma(3/7)}$

και ο παρονομαστής ισούται με $2 \pi^{3/2}$ , οπότε $\mathcal{V} = 2$ .

Tolaso J Kos · #4

Πάνω κάτω τα ίδια ... μόνο που πήγα απ' άλλο δρόμο. Διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathcal{V}&= \frac{\Gamma\left ( \frac{1}{14} \right ) \Gamma \left ( \frac{9}{14} \right ) \Gamma \left ( \frac{11}{14} \right )}{\Gamma \left ( \frac{3}{14} \right ) \Gamma \left ( \frac{5}{14} \right ) \Gamma \left ( \frac{13}{14} \right )} \\ &= \frac{\Gamma\left ( \frac{1}{14} \right ) \Gamma \left ( \frac{9}{14}\right ) \Gamma \left ( \frac{11}{14} \right )}{\Gamma \left (\frac{14}{14}- \frac{11}{14} \right ) \Gamma \left ( \frac{14}{14}-\frac{9}{14} \right ) \Gamma \left ( \frac{14}{14} - \frac{1}{14} \right )}\\ &= \frac{\Gamma\left ( \frac{1}{14} \right )}{\Gamma\left (1- \frac{1}{14} \right )} \cdot \frac{\Gamma\left ( \frac{9}{14} \right )}{\Gamma\left ( 1-\frac{9}{14} \right )} \cdot \frac{\Gamma\left ( \frac{11}{14} \right )}{\Gamma\left ( 1-\frac{11}{14} \right )} \end{aligned}}$
Όμως για $x \neq 1 , \frac{1}{2}$ έχουμε :

$\displaystyle{\frac{\Gamma(x)}{\Gamma(1-x)} = \frac{\Gamma(2x) \Gamma\left ( \frac{1}{2}-x \right )}{\Gamma\left ( \frac{1}{2}+x \right ) \Gamma\left ( 1-2x \right )} \cdot 2^{1-4x}}$
και έτσι έχουμε απλοποιήσεις και καταλήγουμε στο

.

Τιμές της Γ

Τιμές της Γ

Re: Τιμές της Γ

Re: Τιμές της Γ

Re: Τιμές της Γ

Μέλη σε σύνδεση