Μοναδική λύση εξίσωσης

MathSc · #1

Δείξτε ότι η εξίσωση $\displaystyle{ \int_{1}^{x} e^{t^{2}}dt = x }$ έχει μοναδική λύση.

Έστω $h(x) = \int_{1}^{x} e^{t^{2}}dt - x$ .
Η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη σε όλο το πεδίο ορισμού της.
Σκέφτηκα από Θεώρημα Bolzano να βρω μια λύση και μετά δείχνοντας ότι η συνάρτηση είναι μονότονη να πω ότι είναι μοναδική.

Το πρόβλημα μου είναι να βρω μια δεύτερη τιμή της συνάρτησης. Έχω ότι h(1)= -1

. Επίσης $h'(x)= e^{x^{2}} - 1 > 0$ άρα η

είναι αύξουσα.
Είμαι σωστός μέχρι τώρα; Πώς θα βρω μια δεύτερη τιμή;
Σκέφτηκα να χρησιμοποιήσω μια ανισοτική σχέση αλλά δε ξέρω αν θα βοηθήσει, αυτήν εδώ :
"Αν

ολοκληρώσιμη στο [a,b]

και για κάποιο

ισχύει $\left | f(x) \right |\leq M$ για κάθε

στο ίδιο διάστημα, τότε $\left | \int_{a}^{b} f(x)dx \right | \leq M\left | b-a \right |$ ".

Tolaso J Kos · #2

MathSc έγραψε: Τετ Ιούλ 31, 2019 9:31 pm Δείξτε ότι η εξίσωση $\displaystyle{ \int_{1}^{x} e^{t^{2}}dt = x }$ έχει μοναδική λύση.

Έστω $h(x) = \int_{1}^{x} e^{t^{2}}dt - x$ .
Η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη σε όλο το πεδίο ορισμού της.
Σκέφτηκα από Θεώρημα Bolzano να βρω μια λύση και μετά δείχνοντας ότι η συνάρτηση είναι μονότονη να πω ότι είναι μοναδική.

Το πρόβλημα μου είναι να βρω μια δεύτερη τιμή της συνάρτησης. Έχω ότι . Επίσης $h'(x)= e^{x^{2}} - 1 > 0$ άρα η είναι αύξουσα.
Είμαι σωστός μέχρι τώρα; Πώς θα βρω μια δεύτερη τιμή;
Σκέφτηκα να χρησιμοποιήσω μια ανισοτική σχέση ...

Υπόδειξη: $\displaystyle{e^x \geq x + 1 \Rightarrow e^{x^2} \geq x^2+ 1 }$ . Τι μπορείς να πεις για τη τιμή h(2)

; Βγάλε τώρα το συμπέρασμα.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

MathSc · #3

Κατάλαβα! Χρησιμοποιούμε:
$e^{x}= 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + ... \geq 1 + x$ για κάθε x > 0

και για

προκύπτει ότι h(2) > 0

. Και έτσι ολοκληρώνεται η άσκηση; Οι υπόλοιπες σκέψεις είναι σωστές;

Μοναδική λύση εξίσωσης

Μοναδική λύση εξίσωσης

Re: Μοναδική λύση εξίσωσης

Re: Μοναδική λύση εξίσωσης

Μέλη σε σύνδεση