Κυρτή Ανάλυση - Κλειστά υποσύνολα των πραγματικών

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

BronzeP
Δημοσιεύσεις: 11
Εγγραφή: Τρί Απρ 14, 2020 6:41 pm

Κυρτή Ανάλυση - Κλειστά υποσύνολα των πραγματικών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BronzeP » Τετ Απρ 15, 2020 11:40 am

Υπάρχει F υποσύνολο του \mathbb{R} κλειστό έτσι ώστε conv(F) να μην είναι κλειστό;



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12500
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Κυρτή Ανάλυση - Κλειστά υποσύνολα των πραγματικών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Απρ 15, 2020 12:28 pm

BronzeP έγραψε:
Τετ Απρ 15, 2020 11:40 am
Υπάρχει F υποσύνολο του \mathbb{R} κλειστό έτσι ώστε conv(F) να μην είναι κλειστό;
Υποθέτω ότι με conv(F) συμβολίζεις την κυρτή θήκη του F. Σωστά;

Αν είναι έτσι, η απάντηση είναι "όχι δεν υπάρχει". Σου δίνω μόνο υπόδειξη γιατί το θέμα είναι απλό.

Υπόδειξη: α) Έστω ότι το F είναι άνω και κάτω φραγμένο, οπότε \inf F \in F, \, \sup F \in F. Ποια είναι η κυρτή θήκη του F; Είναι κλειστό;
β) Το F είναι άνω φραγμένο αλλά όχι κάτω, οπότε  \sup F \in F. Ποια είναι η κυρτή θήκη του F;
γ) Ομοίως οι άλλες δύο περιπτώσεις.


Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 254
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Κυρτή Ανάλυση - Κλειστά υποσύνολα των πραγματικών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Παρ Απρ 17, 2020 6:05 am

Αν το σύνολο F είναι φραγμένο τότε αφού είναι κλειστό παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή(m και M). Επειδή τα κυρτά υποσύνολα του \mathbb{R} είναι ακριβώς τα διαστήματα, η κυρτή θύκη του θα είναι το διάστημα [m,M] το οποίο είναι κλειστό.
Αν δεν είναι φραγμένο μπορείς να πάρεις περιπτώσεις και με την ίδια λογική μπορείς να βρείς ότι η κυρτή του θήκη είναι πάντα κλειστό σύνολο.
Ουσιαστικά χρησιμοποιώ το ίδιο επιχείρημα με τον κύριο Λαμπρου


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
BronzeP
Δημοσιεύσεις: 11
Εγγραφή: Τρί Απρ 14, 2020 6:41 pm

Re: Κυρτή Ανάλυση - Κλειστά υποσύνολα των πραγματικών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BronzeP » Σάβ Απρ 18, 2020 11:27 am

Έχετε δίκιο. Ήταν απλό το θέμα, ειδικά μετά την υπόδειξη του κυρίου Λάμπρου.
Σας ευχαριστώ πολύ όλους.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες