Γινόμενο #1

Tolaso J Kos · #1

Έχουμε δει αρκετές φορές το γινόμενο $\displaystyle{\prod_{n=2}^{\infty} \left ( 1 - \frac{1}{n^2} \right ) = \frac{1}{2}}$ . Καλείστε να δείξετε ότι:

$\displaystyle{\prod_{n=2}^{\infty} \left ( 1 - \frac{1}{n^3} \right ) = \frac{\cosh \frac{\sqrt{3} \pi}{2}}{3 \pi}}$

Υπόδειξη: Έστω $\omega = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ μία πρωταρχική ρίζα της μονάδος.

Tolaso J Kos · #2

Έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} \prod_{n=2}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n^3}\right) &= \prod_{n=2}^{\infty}\frac{(n-1)(n^2+n+1)}{n^3} \\ & = \prod_{n=2}^{\infty} \frac{(n-1)(n- \omega)(n-\omega^{2})}{n^{3}} \\ &= \lim_{m \to \infty} \prod_{n=2}^{m} \frac{n-1}{n} \frac{(n- \omega)(n-\omega^{2})}{n^{2}} \\ &= \lim_{m \to \infty} \frac{1}{m}\frac{(2-\omega)(3-\omega) \cdots (m- \omega) (2-\omega^{2})(3-\omega^{2})\cdots (m- \omega^{2})}{2^{2} \cdot 3^{2} \cdot \cdots \cdot m^{2}} \\ &= \lim_{m \to \infty} \frac{1}{m} \frac{1}{(m!)^{2}} \frac{\Gamma(m+1-\omega)}{(1-\omega)(-\omega)\Gamma(-\omega)} \frac{\Gamma(m+1-\omega^{2})}{(1-\omega^{2})(-\omega^{2})\Gamma(-\omega^{2})} \\ & \stackrel{(1)}= \frac{1}{3\Gamma(-\omega) \Gamma(-\omega^{2})}\lim_{m \to \infty} \frac{\Gamma(m+1- \omega) \Gamma(m+1-\omega^{2})}{m \Gamma(m+1) \Gamma(m+1) } \\ & \stackrel{(2)}= \frac{1}{3\Gamma(-\omega) \Gamma(-\omega^{2})}\lim_{m \to \infty} \frac{\Gamma(m+1- \omega) \Gamma(m+1-\omega^{2})}{m^{-\omega}m^{-\omega^{2}} \Gamma(m+1) \Gamma(m+1) } \\ &= \frac{1}{3\Gamma(-\omega) \Gamma(-\omega^{2})}\lim_{m \to \infty} \frac{(m-\omega)(m-\omega^{2})}{m^{2}}\frac{\Gamma(m- \omega)}{\Gamma(m) m^{-\omega} } \frac{\Gamma(m-\omega^{2})}{ \Gamma(m)m^{-\omega^{2}} } \\ & \stackrel{(3)}= \frac{1}{3\Gamma(-\omega) \Gamma(-\omega^{2})} \\ & = \frac{1}{3 \Gamma \left(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \Gamma \left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)} \\ & = \frac{1}{3 \Gamma \left(1- \frac{1+ i \sqrt{3}}{2} \right) \Gamma \left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)} \\ & \stackrel{(4)}= \frac{\sin \pi \, \frac{1+i \sqrt{3}}{2} }{3 \pi} \\ &= \frac{\sin \frac{\pi}{2} \cos \frac{i \sqrt{3} \pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2} \sin \frac{i \sqrt{3} \pi }{2} }{3 \pi} \\ &= \frac{\cosh \frac{\sqrt{3} \pi}{2}}{3 \pi} \end{aligned}}$

(1)

$(1-\omega)(1-\omega^{2}) = 3$ και $(-\omega)(-\omega^{2})=1$

(2)

$-\omega - \omega^{2} =1$

(3)

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\Gamma(n+ \alpha)}{\Gamma(n)n^{\alpha}}=1$

(4)

Ανακλαστικός τύπος της συνάρτησης Γ.

Γινόμενο #1

Γινόμενο #1

Re: Γινόμενο #1

Μέλη σε σύνδεση