Ανισότητα Gruss

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f:[0,1] \rightarrow [m_1,M_1]$ και $g:[0,1] \rightarrow [m_2,M_2]$ συνεχείς συναρτήσεις. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\left| \int_0^1 f(x)g(x)\, \mathrm{d}x -\int_0^1f(x)\, \mathrm{d}x \int_0^1 g(x)\, \mathrm{d}x \right| \leq \frac{1}{4}(M_1-m_1)(M_2-m_2)}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: Τετ Φεβ 15, 2023 12:26 pm Έστω $f:[0,1] \rightarrow [m_1,M_1]$ και $g:[0,1] \rightarrow [m_2,M_2]$ συνεχείς συναρτήσεις. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\left| \int_0^1 f(x)g(x)\, \mathrm{d}x -\int_0^1f(x)\, \mathrm{d}x \int_0^1 g(x)\, \mathrm{d}x \right| \leq \frac{1}{4}(M_1-m_1)(M_2-m_2)}$

Είναι εύκολο να δούμε ότι η ανισότητα είναι ισοδύναμη αν αντί f,g

βάλουμε

με

σταθερές.
Αρκεί να δείξουμε
$\displaystyle |\int_{0}^{1}fg |\leq \frac{1}{4}(M_1-m_1)(M_2-m_2)$ (1)

Από C-S είναι

$\displaystyle |\int_{0}^{1}fg |\leq (\int_{0}^{1}f^2)^{\frac{1}{2}}(\int_{0}^{1}g^2)^{\frac{1}{2}}$ (2)

Φυσικά έχουμε υποθέσει ότι
$\displaystyle \int_{0}^{1}f=0,\int_{0}^{1}g=0$

Εχουμε για $x\in [0,1]$

$(f(x)-M_1)(f(x)-m_1)\leq 0$

Ολοκληρώνοντας έχουμε

$\displaystyle \int_{0}^{1}f^2\leq M_1(-m_1)\leq (\frac{M_1-m_1}{2})^2$

Γράφοντας ανάλογη ανισότητα για την άλλη συνάρτηση και αντικαθιστώντας στην (2) παίρνουμε την (1)

Ανισότητα Gruss

Ανισότητα Gruss

Re: Ανισότητα Gruss

Μέλη σε σύνδεση