Όριο

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f:[0,1] \rightarrow [0,+\infty)$ ολοκληρώσιμη συνάρτηση η οποία είναι αριστερά συνεχής στο

. Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} n \int_{0}^{1} \sum_{k=n}^{\infty} \frac{x^k}{k} f(x) \, \mathrm{d}x }$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: Τετ Μαρ 22, 2023 8:37 am Έστω $f:[0,1] \rightarrow [0,+\infty)$ ολοκληρώσιμη συνάρτηση η οποία είναι αριστερά συνεχής στο . Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} n \int_{0}^{1} \sum_{k=n}^{\infty} \frac{x^k}{k} f(x) \, \mathrm{d}x }$

Απάντηση:

α) Ισχύει:

$\displaystyle{ n \int_{0}^{1} \sum_{k=n}^{\infty} \frac{x^k}{k} dx = n \sum_{k=n}^{\infty} \int_{0}^{1} \frac{x^k}{k} dx = n \sum_{k=n}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)} = n \sum_{k=n}^{\infty}\left (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \left ) = n \cdot \dfrac {1}{n}=1}$

β) Αν 0<a<1

τότε $\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow +\infty} n \int_{0}^{a} \sum_{k=n}^{\infty} \frac{x^k}{k} dx =0}$ . Πράγματι,

$\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow +\infty} n \int_{0}^{a} \sum_{k=n}^{\infty} \frac{x^k}{k} dx \le \lim_{n \rightarrow +\infty} n \int_{0}^{a} \sum_{k=n}^{\infty} \frac{a^k}{k} dx \le \lim_{n \rightarrow +\infty} n \int_{0}^{a} \sum_{k=n}^{\infty} a^k dx = }$

$\displaystyle{= \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac {n a^n}{1-a} = 0}$

Πίσω στο ερώτημα.

Έστω $\epsilon >0$ . Από την συνέχεια της

στο

, υπάρχει $\delta >0$ τέτοιο ώστε για $x\in (1-\delta , \, 1]$ έχουμε $f(1)-\epsilon < f(x) < f(1)+\epsilon$ .

Ισχύει $\displaystyle{ n \int_{0}^{1} \sum_{k=n}^{\infty} \frac{x^k}{k} dx = n \int_{0}^{a} \sum_{k=n}^{\infty} \frac{x^k}{k} dx + n \int_{a}^{1} \sum_{k=n}^{\infty} \frac{x^k}{k} dx = A_n+B_n}$

Από το β), και επειδή η

είναι φραγμένη (εξ ορισμού), έχουμε ότι $A_n\to 0$ .

Επίσης το B_n

είναι μεταξύ των $\displaystyle{ n \int_{0}^{a} \sum_{k=n}^{\infty} \frac{x^k}{k}( f(1)-\epsilon) dx }$ και $\displaystyle{ n \int_{0}^{a} \sum_{k=n}^{\infty} \frac{x^k}{k}( f(1)+\epsilon) dx }$ . Άρα μεταξύ των

$\displaystyle{ n \int_{0}^{1} \sum_{k=n}^{\infty} \frac{x^k}{k}( f(1)-\epsilon) dx }$ και $\displaystyle{ n \int_{0}^{1} \sum_{k=n}^{\infty} \frac{x^k}{k}( f(1)+\epsilon) dx }$

Οπότε από το α) είναι μεταξύ των $f(1)-\epsilon$ και $f(1)+\epsilon$ .

Άρα $A_n + (f(1)-\epsilon ) < n \int_{0}^{1} \sum_{k=n}^{\infty} \frac{x^k}{k} dx < A_n +(f(1)+\epsilon )$ . Έπεται ότι το ζητούμενο όριο υπάρχει και είναι μεταξύ των $f(1)-\epsilon$ και $f(1)+\epsilon$ . Αφού $\epsilon >0$ αυθαίρετο, το ζητούμενο όριο είναι f(1)

.

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση