Τριγωνομετρική σειρά

Tolaso J Kos · #1

Να υπολογιστεί η σειρά $\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} \tan\frac{x}{2^{k}}\sec \frac{x}{2^{k-1}}}$ .

#2

Tolaso J Kos έγραψε: Παρ Απρ 14, 2023 1:38 pm Να υπολογιστεί η σειρά $\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} \tan\frac{x}{2^{k}}\sec \frac{x}{2^{k-1}}}$ .

Ξεχάστηκε.

Ο γενικός όρος είναι της μορφής

$\tan a \sec 2a = \dfrac {\tan a }{\cos 2a} =\dfrac {\tan a }{\dfrac {1-\tan ^2 a }{1+\tan ^2a} } = \dfrac {\tan a +\tan ^3 a }{1-\tan ^2a } = \dfrac {2\tan a }{1-\tan ^2a } - \tan a= \tan 2a-\tan a$

Άρα το άθροισμα είναι τηλεσκοπικά

$\displaystyle{\lim _{N\to \infty }\sum_{k=1}^{N} \tan\frac{x}{2^{k}}\sec \frac{x}{2^{k-1}}} = \lim _{N\to \infty }\sum_{k=1}^{N} \left ( \tan\frac{x}{2^{k-1}}-\tan \frac{x}{2^{k}} \right ) = \lim _{N\to \infty } \left ( \tan x-\tan \frac{x}{2^{N}} \right ) = \tan x$

Τριγωνομετρική σειρά

Τριγωνομετρική σειρά

Re: Τριγωνομετρική σειρά

Μέλη σε σύνδεση