Ελαχιστοποίηση ορισμένου ολοκληρώματος

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

orestisgotsis έγραψε: Κυρ Σεπ 24, 2023 6:17 pm Βρείτε την τιμή του για την οποία ελαχιστοποιείται το $\displaystyle\int_{0}^{\pi }{{{\left\{ ax\left( {{\pi }^{2}}-{{x}^{2}} \right)-\sin x \right\}}^{2}}}dx$ .

Χωρίς τις επίπονες πράξεις ρουτίνας: Αν I(a)

το ολοκλήρωμα, πρέπει να βρούμε την τιμή του

για την οποία ισχύει $\dfrac {d}{da} I(a)=0$ . Ένας τρόπος είναι να βρούμε το I(a)

το οποίο είναι, όπως φαίνεται αμέσως, δευτεροβάθμιο πολυώνυμο. Γλιτώνουμε πράξεις αν περάσουμε την παράγωγο μέσα στο ολοκλήρωμα, ως μερική παράρωγο. Συγκεκριμένα, θα βρούμε

$\displaystyle{\dfrac {d}{da} I(a)= \int_{0}^{\pi } \dfrac { \partial }{\partial a} \left (ax\left( {{\pi }^{2}}-{{x}^{2}) \right)-\sin x \right )^{2}dx=2 \int_{0}^{\pi }\left(ax\left( {{\pi }^{2}}-{{x}^{2}} \right)-\sin x \right) \left (x\left( {{\pi }^{2}}-{{x}^{2}} \right) \right ) dx }$

που είναι πρωτοβάθμιο ως προς

. Και λοιπά.

Ελαχιστοποίηση ορισμένου ολοκληρώματος

Ελαχιστοποίηση ορισμένου ολοκληρώματος

Re: Ελαχιστοποίηση ορισμένου ολοκληρώματος

Μέλη σε σύνδεση