Μετρική

Tolaso J Kos · #1

Υποθέτω η παρακάτω μετρική είναι γνωστή ... Πρόσφατα την ανακάλυψα όμως.

Έστω απεικόνιση $\mathrm{d} : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ η οποία ορίζεται ως

$\displaystyle{\mathrm{d} \left ( \left ( \alpha, \beta \right ), \left ( \gamma, \delta \right ) \right ) = \left\{\begin{matrix} \left | \beta - \delta \right | & , & \alpha = \gamma \\ \left | \beta \right | + \left | \alpha - \gamma \right | + \left | \delta \right | &, & \alpha \neq \gamma \end{matrix}\right.}$

Να δειχθεί ότι η παραπάνω απεικόνιση ορίζει μία μετρική στον $\mathbb{R}^2$ .
Να δειχθεί ότι η $g:\left ( \mathbb{R}^2, \mathrm{d} \right ) \rightarrow \left ( \mathbb{R}^2, \mathrm{d} \right )$ με $g(x, y) = (y, x) \, , \, (x, y) \in \mathbb{R}^2$ δεν είναι συνεχής.
Να δειχθεί, υπό τη μετρική $\mathrm{d}$ , ότι το σύνολο $A= \left \{ \left ( 0, 1 \right ) \right \}$ είναι συμπαγές και ότι το σύνολο $B = \left \{ \left ( x, 1 \right ): x \in \mathbb{R}^* \right \}$ είναι κλειστό αλλά όχι συμπαγές.
Να δειχθεί ότι δεν υπάρχουν $\alpha$ στοιχεία του και $\beta$ στοιχεία του ώστε $\mathrm{d} \left ( \alpha, \beta \right ) = \mathrm{d} \left ( A, B \right )$ .

#2

Ενδιαφέρον! Γράφω κάποιες σκέψεις ελπίζοντας να μην έχει ξεφύγει κάτι.

Ας δηλώσουμε με $\rm{sgn}$ την συνάρτηση προσήμου τότε:
$\displaystyle{d\left( \left( \alpha ,\beta \right) ,\left( \gamma ,\delta \right) \right) =\rm{sgn}\left( \left| \alpha -\gamma \right| \right) \left( \left| \beta \right| +\left| \delta \right| \right) +\left| \alpha -\gamma \right| +\left( 1-\rm{sgn}\left( \left| \alpha -\gamma \right| \right) \right) \left| \beta -\delta \right| }$
Πιο απλά αν συμβολίσουμε με

την διακριτική μετρική στο $\mathbb{R}$ θα είναι:
$\displaystyle{d\left( \left( \alpha ,\beta \right) ,\left( \gamma ,\delta \right) \right) =s\left( \alpha ,\gamma \right) \left( \left| \beta \right| +\left| \delta \right| +\left| \alpha -\gamma \right| \right) +\left( 1-s\left( \alpha ,\gamma \right) \right) \left| \beta -\delta \right| }$

Επαληθεύουμε ότι η είναι μετρική.
Α) Η $d\left( \left( \alpha ,\beta \right) ,\left( \gamma ,\delta \right) \right) =d\left( \left( \gamma ,\delta \right) ,\left( \alpha ,\beta \right) \right)$ είναι προφανής.
Β) Έστω ότι $\displaystyle{d\left( \left( \alpha ,\beta \right) ,\left( \gamma ,\delta \right) \right) =0.}$ Τότε επειδή ακριβώς ένα από τα $s( \alpha,\gamma )$ , $1-s( \alpha,\gamma )$ είναι

και το άλλο

έχουμε ότι ή θα ισχύει
$\displaystyle{ \left| \beta \right| +\left| \delta \right| +\left| \alpha -\gamma \right|=0 }$ είτε $\displaystyle{\left| \alpha -\gamma \right|=0,\,\,\,\,\left| \beta -\delta \right|=0 .}$
Σε κάθε περίπτωση είναι $\left( \alpha ,\beta \right) =\left( \gamma ,\delta \right)$ .
Γ) Για την τριγωνική ανισότητα θέλουμε να επαληθεύσουμε ότι το
$\displaystyle{s\left( \alpha ,x\right) \left( \left| \beta \right| +\left| y\right| +\left| \alpha -x\right| \right) +\left( 1-s\left( \alpha ,x\right) \right) \left| \beta -y\right| +s\left( \gamma ,x\right) \left( \left| \delta \right| +\left| y\right| +\left| \gamma -x\right| \right) +\left( 1-s\left( \gamma ,x\right) \right) \left| y-\delta \right| }$
είναι μεγαλύτερο ή ίσο από το:
$\displaystyle{s\left( \alpha ,\gamma \right) \left( \left| \beta \right| +\left| \delta \right| +\left| \alpha -\gamma \right| \right) +\left( 1-s\left( \alpha ,\gamma \right) \right) \left| \beta -\delta \right|. }$
Δυστυχώς στην επαλήθευση που έχω υπ' όψιν δεν κατόρθωσα να γλυτώσω την περιπτωσιολογία και είναι άχαρη. Γίνεται με διάκριση 8 περιπτώσεων (κάποιες είναι αδύνατες) ανάλογα με τις τιμές των $s\left( \alpha ,\gamma \right)$ , $s\left( \alpha ,x\right)$ , $s\left( x,\gamma \right)$ . Ο οποίες όμως διεκπεραίωνονται εύκολα. Αναφέρομαι ενδεικτικά σε μία, εκείνη που όλα τα $s\left( \alpha ,\gamma \right)$ , $s\left( \alpha ,x\right)$ , $s\left( x,\gamma \right)$ είναι

. Στην περίπτωση αυτή πρέπει να επαληθεύσουμε ότι το
$\displaystyle{\left| \beta \right| +\left| y\right| +\left| \alpha -x\right| +\left| \delta \right| +\left| y\right| +\left| \gamma -x\right| }$
είναι μεγαλύτερο ή ίσο του
$\displaystyle{\left| \beta \right| +\left| \delta \right| +\left| \alpha -\gamma \right| }$
που είναι άμεσο.

Ποιες είναι οι σφαίρες του μετρικού χώρου που ορίζει η .
Έστω $p=\left( \alpha ,\beta \right)$ σημείο του επιπέδου και r>0

.
\\-Αν $r\leq\left| \beta \right|$ τότε η σφαίρα $S\left( p,r\right)$ δεν περιέχει σημεία με τετμημένη $y \neq \beta$ διότι όλα με την μετρική

απέχουν από το

απόσταση μεγαλύτερη του

. H $S\left( p,r\right)$ περιέχει μόνο τα σημεία της ευθεία $x=\alpha$ και μάλιστα εκείνα του ανοικτού ευθυγράμμου τμήματος της με μήκος

και μέσο το

.
\\-Αν $r>\left| \beta \right|$ τότε, όπως εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε η $S\left( p,r\right)$ εκτός από τα σημεία του παραπάνω τμήματος περιέχει και τα εσωτερικά σημεία του τετραγώνου με διαγωνίους στις ευθείες $x=\alpha$ , y=0

που έχουν μήκος $2\left| \beta \right|$ .

: metric02.png (49.19 KiB) Προβλήθηκε 521 φορές

Για τα ερωτήματα
1) Ας θεωρήσουμε την ακολουθία σημείων $\left( 1,\frac{1}{n}\right)$ . Είναι $d\left( \left( 1,\frac{1}{n}\right) ,\left( 1,0\right) \right) =\frac{1}{n}\rightarrow 0$ . Άρα $\left( 1,\frac{1}{n}\right) \rightarrow \left( 1,0\right)$ . Είναι $g\left( \left( 1,\frac{1}{n}\right) \right) =\left( \frac{1}{n},1\right)$ , $g\left( \left( 1,0\right) \right) =\left( 0,1\right)$ και $d\left( g\left( \left( 1,\frac{1}{n}\right) \right) ,g\left( \left( 1,0\right) \right) \right) =d\left( \left( \frac{1}{n},1\right) ,\left( 0,1\right) \right) =\frac{1}{n}+0+1\rightarrow 1$ επομένως η

δεν είναι συνεχής/
2) Από τον ορισμό της συμπάγειας κάθε πεπερασμένο σύνολο είναι συμπαγές άρα και το

.
3) Για κάθε $p=\left( \alpha ,\beta \right) \notin B$ διάφορο του (0,1)

μπορούμε να θεωρήσουμε την σφαίρα $S\left( p,r_{p}\right)$ όπου $r_{p}=\frac{1}{2}\left| \beta -1\right|$ . Για το p=(0,1)

παίρνουμε $r_{p}=\frac{1}{2}$ . Οι σφαίρες $S\left( p,r_{p}\right)$ περιέχονται στο συμπλήρωμα του

και η ένωση τους είναι ίση με αυτό. Άρα πρόκειται για ανοικτό σύνολο και το

είναι κλειστό.
Edit 6/9/24 01.43 Πρόσεξα ότι ζητείται να αποδειχθεί ότι το

δεν είναι συμπαγές. Αν ήταν θα είχε πεπερασμένη διάμετρο που δεν έχει όπως φαίνεται από τις αποστάσεις των στοιχείων του (-n,1)

,

.
4) Η απόσταση των συνόλων

,

είναι το infimum του συνόλου των αποστάσεων του (0,1)

, από τα σημεία (x,1)

, $x\neq 0$ του

. Δηλαδή το imfimum των αριθμών $d\left( \left( 0,1\right) ,\left( x,1\right) \right) =1+1+\left| x\right|$ είναι μεν

αλλά δεν υλοποιείται από κανένα $,\left( x,1\right)$ με $x \neq 0$ .

Δύο σχόλια
1) Η

που εναλλάσσει τις συντεταγμένες ως προς την Ευκλείδεια μετρική είναι η συμμετρία ως προς την y=x

. Ως προς την μετρική

αφού δεν είναι συνεχής δεν είναι ισομετρία.
2) Η μετρική

έχει ενδιαφέρον αν συγκριθεί με την μετρική Manhattan $m\left( \left( \alpha ,\beta \right) ,\left( \gamma ,\delta \right) \right) =\left| \alpha -\gamma \right| +\left| \beta -\delta \right|$ .
H

και η

εκφράζουν την ελάχιστη απόσταση που πρέπει να διανύσει κάποιος για να πάει από το $\left( \alpha ,\beta \right)$ στο $\left( \gamma ,\delta \right)$ κινούμενος αποκλειστικά μέσω των δρόμων μια πόλης με πανομοιότυπα οικοδομικά τετράγωνα. Μόνο που στην

οριζόντια κίνηση μπορεί να γίνει μόνο από ένα δρόμο τον y=0

. Είναι σαν να έχουμε κάθετους δρόμους αλλά ένα μόνο οριζόντιο.

: metric01.png (10.79 KiB) Προβλήθηκε 521 φορές

Μετρική

Μετρική

Re: Μετρική

Μέλη σε σύνδεση