Μη υπάρχον όριο

Tolaso J Kos · #1

Έστω

ακολουθία τέτοια ώστε $a_n \geq 0$ και $0 < \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n< +\infty$ . Να δειχθεί ότι το όριο $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin \frac{x}{n}$ δεν υπάρχει.

#2

Tolaso J Kos έγραψε: Παρ Μαρ 08, 2024 9:48 pm Έστω ακολουθία τέτοια ώστε $a_n \geq 0$ και $0 < \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n< +\infty$ . Να δειχθεί ότι το όριο $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin \frac{x}{n}$ δεν υπάρχει.

Θέτουμε $\displaystyle{f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin \frac{x}{n}}$ , η οποία συγκλίνει από το M-test του Weierstrass.

Χωρίς βλάβη ο ο πρώτος γνήσια θετικός όρος του αθροίσματος $\sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n$ είναι ο a_1

.

Από κριτήριο Cauchy υπάρχει n_0

τέτοιο ώστε για κάθε $N\ge n_0$ να ισχύει $0\le \sum \limits_{n=N}^{\infty} a_n < \frac {1}{4} a_1$ .

Δεδομένου ότι αν $n\le N$ τότε το

διαιρεί το

και άρα $\displaystyle{\sin \frac{2(N!) \pi}{n} = 0}$ έχουμε

$\displaystyle{f \left (2(N!) \pi \right ) = \sum_{n=1}^{N} a_n \sin \frac{2(N!) \pi}{n} + \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n \sin \frac{2(N!) \pi}{n} = }$

$\displaystyle{= 0 + \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n \sin \frac{2(N!) \pi}{n} \le \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n < \frac {1}{4} a_1\, (*)}$

Επίσης έχουμε από την $2\pi$ περιοδικότητα της $\sin$ ότι

$\displaystyle{f \left (2(N!) \pi + \frac {\pi}{2} \right ) = \sum_{n=1}^{N} a_n \sin \frac{2(N!) \pi + \frac {\pi}{2} }{n} + \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n \sin \frac{2(N!) \pi + \frac {\pi}{2} }{n} = }$

$\displaystyle{= \sum \limits_{n=1}^{N} a_n \sin \frac {\pi }{2n} + \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n \sin \frac{2(N!) \pi}{n} \ge \sum \limits_{n=1}^{N} a_n \sin \frac {\pi }{2n} - \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n \ge (a_1 +0) - \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n \ge a_1 - \frac {1}{4} a_1 =}$

$\displaystyle{ = \frac {3}{4} a_1 \, (**)}$

Με άλλα λόγια βρήκαμε δύο ακολουθίες x_n, y_n

που τείνουν στο άπειρο αλλά για τις οποίες είδαμε στις $(*),\, (**)$ ότι

$f(x_n) \le \frac {1}{4} a_1, \, f(y_n) \ge \frac {3}{4} a_1$ . Έπεται ότι το $\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)$ δεν υπάρχει.

Μη υπάρχον όριο

Μη υπάρχον όριο

Re: Μη υπάρχον όριο

Μέλη σε σύνδεση