Λογαριθμικό ολοκλήρωμα

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{0}^{\infty} \frac{\log x}{x^6+1} \, \mathrm{d} x = - \frac{\pi^2}{6 \sqrt{3}}}$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: Κυρ Μάιος 26, 2024 11:15 am Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{0}^{\infty} \frac{\log x}{x^6+1} \, \mathrm{d} x = - \frac{\pi^2}{6 \sqrt{3}}}$

Κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής x=e^y

: $\displaystyle{ \int_{0}^{\infty}\frac{\log(x)}{x^6+1}dx=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{y}{e^{6y}+1}\cdot e^ydy}$
και ορίζουμε την συνάρτηση $\displaystyle I(a)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ay}}{e^{6y}+1} dy$ με |a|<6

Τότε παρατηρούμε ότι $\displaystyle \dfrac{d I(a)}{da}=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{y e^{ay}}{e^{6y}+1}dy$ ,
μας ενδιαφέρει λοιπόν το I'(1)

.

Αλλάζοντας εκ νέου e^y=x

έχουμε

Είναι $\displaystyle I(a)=\int_{0}^{\infty}\dfrac{x^{a-1}}{x^6+1} dx$ και με $x=z^{1/6}$ αυτό γράφεται

$\displaystyle I(a)=\dfrac{1}{6}\int_{0}^{\infty}\dfrac{z^{\frac{a-1}{6}-5/6 }}{z+1} dz=\dfrac{1}{6}\int_{0}^{\infty}\dfrac{z^{p-1}}{z+1} dz$

όπου p=a/6

και

.
Το τελευταίο ολοκλήρωμα (χωρίς τον συντελεστή) είναι γνωστό (*)(υπολογίζεται εύκολα με χρήση της συνάρτησης βήτα) και κάνει $\dfrac{\pi}{\sin(\pi p)}$ για 0<p<1

(Εμάς μας ενδιαφέρει η περιοχή

κοντά στο

οπότε αντίστοιχα

κοντά στο

άρα δεν υπάρχει θέμα.)

Άρα θα είναι $I(a)=\dfrac{\pi}{6\sin{\pi p}}\Rightarrow I'(a)=\dfrac{-\pi}{6 \sin^2(\pi p)}}\cdot \cos(\pi p) \cdot \pi\cdot \dfrac{dp}{da}=\dfrac{-\pi^2 \cos(\pi a/6)}{36 \sin^2(\pi a/6)}$

Άρα $I'(1)=\dfrac{-\pi^2 \cos(\pi /6)}{36 \sin^2(\pi/6)}=\dfrac{-\pi^2\cdot \sqrt{3}/2}{36\cdot 1/4}=- \dfrac{\pi^2}{6 \sqrt{3}}$

(*) Κάνοντας αλλαγή μεταβλητής $t=\dfrac{z}{z+1}\Rightarrow z=\dfrac{t}{1-t}$ το ολοκλήρωμα γράφεται
$\displaystyle \int_{0}^{1} t^{p-1}(1-t)^{-p} dt=B(p,1-p)=\dfrac{\pi}{\sin(\pi p)}$

Tolaso J Kos · #3

Γενικά,

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \frac{x^{s-1}}{x^n+1} \, \mathrm{d}x &\overset{x = \tan^{2/n} \theta}{=\! =\! =\! =\! =\!} \frac{2}{n}\int_{0}^{\pi/2} \tan^{2s/n-1} \theta \, \mathrm{d}\theta \\ &= \frac{1}{n} \mathrm{B} \left ( \frac{s}{n}, 1 - \frac{s}{n} \right ) \\ &= \frac{1}{n} \Gamma \left ( \frac{s}{n} \right ) \Gamma \left ( 1 - \frac{s}{n} \right ) \\ &= \frac{\pi}{n} \csc \frac{\pi s}{n} \end{aligned}}$
Παραγωγίζοντας ως προς

παίρνουμε το γενικό τύπο. Έχω δει και μία ωραία λύση με μιγαδική αλλά χρειάζεται αρκετή φαντασία για το contour.

Λογαριθμικό ολοκλήρωμα

Λογαριθμικό ολοκλήρωμα

Re: Λογαριθμικό ολοκλήρωμα

Re: Λογαριθμικό ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση