Θεωρητική σε εναλλαγή αθροίσματος και ολοκληρώματος

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ ακολουθία μιγαδικών αριθμών τέτοια ώστε η σειρά $\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_n$ να συγκλίνει. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{0}^{\infty} e^{-t} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n t^n}{n!} \, \mathrm{d}t = \sum_{n=0}^{\infty} a_n}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: Δευ Ιούλ 01, 2024 10:54 pm Έστω $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ ακολουθία μιγαδικών αριθμών τέτοια ώστε η σειρά $\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_n$ να συγκλίνει. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{0}^{\infty} e^{-t} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n t^n}{n!} \, \mathrm{d}t = \sum_{n=0}^{\infty} a_n}$

.
Θα δούμε πρώτα ότι η σειρά μέσα στο ολοκλήρωμα συγκλίνει ομοιόμορφα στο $\mathbb R ^+$ . Πράγματι, αφού η $\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_n$ συγκλίνει, και άρα οι προσθετέοι τείνουν στο

, έπεται ότι η ακολουθία $M_N= \sup \{ |a_n| : n\ge N \}$ συγκλίνει στο

καθώς $N\to \infty$ .

'Αρα

$\displaystyle{ \left | e^{-t} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n t^n}{n!} - e^{-t} \sum_{n=0}^{N} \frac{a_n t^n}{n!} \right | = \left | \sum_{n=N+1}^{\infty} e^{-t} \frac{a_n t^n}{n!} \right | \le \sum_{n=N+1}^{\infty} |a_n|e^{-t} \frac {t^n}{n!} \le }$

$\displaystyle{\le ^{t\ge 0} M_N e^{-t}\sum_{n=N+1}^{\infty} \frac {t^n}{n!} \le M_N e^{-t}\sum_{n=0}^{\infty} \frac {t^n}{n!} = M_N e^{-t} e^{t} = M_N}$ που είναι ανεξάρτητο του

και τείνει στο

.

Άρα επιτρέπεται η αναλλαγή ορίου και ολοκληρώματος. Εδώ

$\displaystyle{ {\int_{0}^{\infty} e^{-t} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n t^n}{n!}dt = \int_{0}^{\infty} e^{-t} \lim _{N\to \infty} \sum_{n=0}^{N} \frac{a_n t^n}{n!}dt= \lim _{N\to \infty} \int_{0}^{\infty} \left (e^{-t} \sum_{n=0}^{N} \frac{a_n t^n}{n!}\right ) dt= }$

$\displaystyle{ = \lim _{N\to \infty} \sum_{n=0}^{N}\left ( \frac {a_n} {n!}\int_{0}^{\infty} e^{-t} t^n dt\right ) }$

Μένει ένα ακόμη βήμα: Ισχύει $\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} e^{-t} dt = 1}$ και γενικότερα, επαγωγικά (με ολοκλήρωση κατά μέρη), $\displaystyle{\int_{0}^{\infty} e^{-t} t^n dt= n!}$ .

Άρα το δεξί μέλος της προηγούμενης ισούται με

$\displaystyle{\lim _{N\to \infty} \sum_{n=0}^{N} a_n = \sum_{n=0}^{\infty} a_n}$ , όπως θέλαμε.

Θεωρητική σε εναλλαγή αθροίσματος και ολοκληρώματος

Θεωρητική σε εναλλαγή αθροίσματος και ολοκληρώματος

Re: Θεωρητική σε εναλλαγή αθροίσματος και ολοκληρώματος

Μέλη σε σύνδεση