Άθροισμα Riemann

Tolaso J Kos · #1

Έστω

ακολουθία θετικών αριθμών. Γράφουμε $s_n = \sum \limits_{k=1}^{n} a_k$ . Να δειχθεί ότι για κάθε Riemann ολοκληρώσιμη συνάρτηση $f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ ισχύει:

$\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{s_i}{s_n}\right)\frac{a_i}{s_n} = \int_{0}^{1}f(x) \, \mathrm{d}x \Leftrightarrow \max\{a_1,\dots,a_n\}/s_n \rightarrow 0}$

Θα είχε ενδιαφέρον να δούμε (αν μπορούμε) για ποιες ακολουθίες ισχύει το ακόλουθο:

$\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{1}{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}\sum_{i=1}^{n}a_i f\Big(\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_i}{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}\Big) =\int_{0}^{1}f(x) \, \mathrm{d}x}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: Πέμ Ιούλ 04, 2024 5:57 pm Έστω ακολουθία θετικών αριθμών. Γράφουμε $s_n = \sum \limits_{k=1}^{n} a_k$ . Να δειχθεί ότι για κάθε Riemann ολοκληρώσιμη συνάρτηση $f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ ισχύει:

$\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{s_i}{s_n}\right)\frac{a_i}{s_n} = \int_{0}^{1}f(x) \, \mathrm{d}x \Leftrightarrow \max\{a_1,\dots,a_n\}/s_n \rightarrow 0}$

.
Δίνω απόδειξη του $\Leftarrow$ και τετριμμένο αντιπαράδειγμα για το $\Rightarrow$ . Πιστεύω ότι το πρόβλημα με το $\Rightarrow$ είναι στην διατύπωση. Παρακάτω προτείνω ποια πρέπει να είναι η σωστή διατύπωση, που κάνει την άσκηση σωστή.

Τόλη, η άσκηση είναι κατασκευή σου ή την πήρες από κάπου; Αν είναι από αλλού, μπορείς σε παρακαλώ να βάλεις το πρωτότυπο για να δούμε τι ακριβώς λέει;

( $\Leftarrow$ ). Έστω

Riemann ολοκληρώσιμη και $\max\{a_1,\dots,a_n\}/s_n \rightarrow 0}$ . Θέτουμε $x_N = \dfrac {\sum \limits_{k=1}^{N} a_k} { \sum \limits_{k=1}^{n} a_k}$ . Παρατηρούμε ότι ισχύει

$0< x_1<x_2<...< x_{n-1}<1$

Δηλαδή τα (x_k)

είναι διαμέριση του [0,1]

, ας την πούμε $\Delta _n$ . Επίσης ισχύει

$\displaystyle{ x_k-x_{k-1} = \dfrac { a_k} { \sum \limits_{k=1}^{n} a_k}\le \dfrac {\max\{a_1,\dots,a_n\} }{ \sum \limits_{k=1}^{n} a_k} \to 0}$

που σημαίνει ότι $||\Delta _n|| \to 0$ .

Από το κριτήριο Riemann έπεται $\displaystyle{ \sum _{k=0}^n f(x_k) (x_k-x_{k-1} ) \to \int _0^1 f(x) dx}$ , που είναι ακριβώς το αποδεικτέο.

( $\Rightarrow$ με αντιπαράδειγμα). Έστω $a_k = \dfrac {1}{2^k}$ και έστω

η σταθερά

(και άρα Riemann ολοκληρώσιμη) συνάρτηση. Τότε $\displaystyle{\sum_{i=1}^{n} f\left(\dfrac{s_i}{s_n}\right)\frac{a_i}{s_n} = \int_{0}^{1}f(x) \, \mathrm{d}x }$ (και τα δύο ίσα με

). Πλην όμως

$\displaystyle{ \dfrac {\max\{a_1,\dots,a_n\} }{ \sum \limits_{k=1}^{n} a_k} = \dfrac {\dfrac {1}{2} }{ \sum \limits_{k=1}^{n} \dfrac {1}{2^k} } > \dfrac {\dfrac {1}{2} }{1} }$ που δεν τείνει στο

.

Σχόλιο: Νομίζω ότι η σωστή διατύπωση αυτής της συνεπαγωγής είναι

Αν για κάθε Riemann ολοκληρώσιμη συνάρτηση $f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ ισχύει
$\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{s_i}{s_n}\right)\frac{a_i}{s_n} = \int_{0}^{1}f(x) \, \mathrm{d}x$

δείξτε ότι θα ισχύει $\max\{a_1,\dots,a_n\}/s_n \rightarrow 0}$

(Φαίνεται ίδιο με την αρχική διατύπωση της άσκησης, αλλά δεν είναι. Διαφέρει στην θέση του ποσοδέικτη. Συγκεκριμένα, στην αρχική διατύπωση δίνεται μία Riemann ολοκληρώσιμη συνάρτηση (στο αντιπαράδειγμά μου είναι η f=0

) που ικανοποιεί μία συνθήκη και θέλουμε να αποδείξουμε ένα συμπέρασμα. Στη δική μου διατύπωση παίρνουμε ως δεδομένο ότι δεν όλες οι Riemann ολοκληρώσιμες συναρήσεις έχουν την ιδιότητα αριστερά.)

Tolaso J Kos · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Ιούλ 05, 2024 2:00 pm
Τόλη, η άσκηση είναι κατασκευή σου ή την πήρες από κάπου; Αν είναι από αλλού, μπορείς σε παρακαλώ να βάλεις το πρωτότυπο για να δούμε τι ακριβώς λέει;

<...>

(Φαίνεται ίδιο με την αρχική διατύπωση της άσκησης, αλλά δεν είναι. Διαφέρει στην θέση του ποσοδέικτη. Συγκεκριμένα, στην αρχική διατύπωση δίνεται μία Riemann ολοκληρώσιμη συνάρτηση (στο αντιπαράδειγμά μου είναι η ) που ικανοποιεί μία συνθήκη και θέλουμε να αποδείξουμε ένα συμπέρασμα. Στη δική μου διατύπωση παίρνουμε ως δεδομένο ότι δεν όλες οι Riemann ολοκληρώσιμες συναρήσεις έχουν την ιδιότητα αριστερά.)

Μιχάλη, τη πήρα απ' εδώ την άσκηση.

#4

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Ιούλ 06, 2024 7:50 pm
Μιχάλη, τη πήρα απ' εδώ την άσκηση.

.
Τόλη, ευχαριστώ.

Επιβεβαιώθηκα.

Η διατύπωση στο πρωτότυπο (αμέσως μετά την φράση "Here is a clumsy criterion" στην παραπομπή σου) είναι ακριβώς όπως έχω προτείνει στο προηγούμενο μήνυμά μου. Η δική σου διατύπωση είναι εσφαλμένη, όπως άλλωστε φαίνεται από το αντιπαράδειγμα που έδωσα. Καλό είναι να κοιτάξεις πού είναι η διαφορά της πρωτότυπης διατύπωσης από την δική σου. Πρόκειται για λεπτό σημείο και καλό είναι να το ξεκαθαρίσεις στο μυαλό σου.

Άθροισμα Riemann

Άθροισμα Riemann

Re: Άθροισμα Riemann

Re: Άθροισμα Riemann

Re: Άθροισμα Riemann

Μέλη σε σύνδεση