Μία σειρά

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί ότι:
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \left( \zeta(2) - \mathcal{H}_n^{(2)} \right)^2 = 3 \zeta(3) - \zeta^2(2)}$
όπου $\zeta$ η συνάρτηση ζήτα του Riemann και $\displaystyle{\mathcal{H}_n^{(2)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}}$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

neutonas · #2

$\displaystyle{ S = \sum_{n=1}^{\infty}\, 1 \cdot \left( H_n^{(2)} - \zeta(2) \right)^2 = \lim_{n \to \infty} n \left( H_n^{(2)} - \zeta(2) \right)^2 - \sum_{n \geq 1} n \left\{\left( H_{n+1}^{(2)} - \zeta(2) \right)^2 - \left( H_n^{(2)} - \zeta(2) \right)^2 \right\} }$

$\displaystyle{ =- \sum_{n \geq 1} n \left\{\left( H_{n+1}^{(2)} - H_{n}^{(2)} \right) \left( H_{n+1}^{(2)} + H_{n}^{(2)} \right) - 2 \zeta(2) \left( H_{n+1}^{(2)} - H_{n}^{(2)} \right) \right\} = - \sum_{n \geq 1} \left( \frac{n}{(n+1)^4} + \frac{2n\,(H_n^{(2)} - \zeta(2))}{(n+1)^2} \right) }$

$\displaystyle{ = - \sum_{m \geq 2} \frac{m-1}{m^4} - \sum_{n \geq 1} \frac{2n\,(H_n^{(2)} - \zeta(2))}{(n+1)^2} = - \left( \zeta(3) - \zeta(4) + 2 \sum_{n \geq 1} \frac{H_n^{(2)} - \zeta(2)}{n+1} - 2 \sum_{n \geq 1} \frac{H_n^{(2)} - \zeta(2)}{(n+1)^2} \right) }$

$\displaystyle{ = - \left(\zeta(3) - \zeta(4) + 2\zeta(2) - 4\zeta(3) + \frac{7\pi^4 - 60\pi^2}{180} \right) = 3\zeta(3) - \zeta^2(2) }$

https://math.stackexchange.com/question ... 66#2587866

Μία σειρά

Μία σειρά

Re: Μία σειρά

Μέλη σε σύνδεση