Σύγκλιση γενικ. ολοκληρώματος 01

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2874
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Σύγκλιση γενικ. ολοκληρώματος 01

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τρί Ιουν 22, 2010 8:23 pm

Νά εξετασθεί ώς πρός τήν απόλυτη καί τήν υπό συνθήκη σύγκλιση τό ολοκλήρωμα:

\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{\sin{x}}{\left({1+x^2}\right)^2}\,dx}


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Re: Σύγκλιση γενικ. ολοκληρώματος 01

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Τετ Ιουν 23, 2010 1:24 am

To ότι το ολοκλήρωμα κάνει 0, δεν καλύπτει τα ερωτήματα;


What's wrong with a Greek in Hamburg?
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8447
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Σύγκλιση γενικ. ολοκληρώματος 01

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Ιουν 23, 2010 1:30 am

Ωmega Man έγραψε:To ότι το ολοκλήρωμα κάνει 0, δεν καλύπτει τα ερωτήματα;
Γιώργο, πρέπει να δείξουμε πως συγκλίνει κιόλας. (Δεν είναι δύσκολο.)


Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Re: Σύγκλιση γενικ. ολοκληρώματος 01

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Τετ Ιουν 23, 2010 1:31 am

Για την απόλυτη ΟΚ , αλλά για την υπό συνθήκη τι ακριβώς εννοούμε θέλω να δω....


What's wrong with a Greek in Hamburg?
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Σύγκλιση γενικ. ολοκληρώματος 01

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τετ Ιουν 23, 2010 2:05 am

Υπό συνθήκη σύγκλιση έχουμε όταν : έχουμε σύγκλιση αλλά όχι απόλυτη σύγκλιση.

Εδώ η συνάρτηση είναι περιττή, άρα αρκεί να εξετάσουμε τη σύγκλιση του \displaystyle{\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{(1+x^{2})^{2}}\,dx}. Αν αυτό συγκλίνει, τότε το αρχικό ολοκλήρωμα κάνει 0.

Έχουμε \displaystyle{\int_{0}^{+\infty}\Big|\frac{\sin x}{(1+x^{2})^{2}}\Big|\,dx=\int_{0}^{M}\Big|\frac{\sin x}{(1+x^{2})^{2}}\Big|\,dx+\int_{M}^{+\infty}\Big|\frac{\sin x}{(1+x^{2})^{2}}\Big|\,dx} όπου \displaystyle{M>0} οπότε αναγόμαστε στην σύγλιση του δευτέρου ολ/τος.

Για \displaystyle{x\geq M} είναι \displaystyle{0\leq\Big|\frac{\sin x}{(1+x^{2})^{2}}\Big|\leq\frac{1}{(1+x^{2})^{2}}<\frac{1}{x^{4}}} με \displaystyle{\int_{M}^{+\infty}1/x^{4}\,dx\in\mathbb{R}}

Έχουμε λοιπόν απόλυτη σύγκλιση.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2874
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Σύγκλιση γενικ. ολοκληρώματος 01

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τετ Ιουν 23, 2010 6:33 am

Μιά επίλυση, κάπως διαφορετική από αυτή τού Αναστάση, πού βασίζεται στό παρακάτω θεώρημα:


Θεώρημα: Έστω \phi:\left[{\alpha,\,+\infty}\right)\longrightarrow\mathbb{R} μιά φθίνουσα καί παραγωγίσιμη συνάρτηση μέ \mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow{+\infty}}\phi(x)=0.
Τότε τά ολοκληρώματα \displaystyle\int_{\alpha}^{+\infty}{\phi(x)\,\cos{x}\,dx} καί \displaystyle\int_{\alpha}^{+\infty}{\phi(x)\,\sin{x}\,dx} συγκλίνουν καί μάλιστα
{\rm{i)}} απόλυτα, άν \displaystyle\int_{\alpha}^{+\infty}{\phi(x)\,dx}<+\infty καί
{\rm{ii)}} υπό συνθήκη, άν \displaystyle\int_{\alpha}^{+\infty}{\phi(x)\,dx}=+\infty.

είναι η εξής:

\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}{\left|{\frac{\sin{x}}{\left({1+x^2}\right)^2}}\right|dx}=\int_{-\infty}^{0}{\frac{|{\sin{x}}|}{\left({1+x^2}\right)^2}\,dx}+\int_{0}^{+\infty}{\frac{|{\sin{x}}|}{\left({1+x^2}\right)^2}\,dx}\,\mathop{=}\limits^{\begin{subarray}{c} 
   {t\,=\,-x}  \\ 
   {-dt\,=\,dx}  \\ 
\end{subarray}}

\displaystyle-\int_{+\infty}^{0}{\frac{|{\sin({-t})}|}{\left({1+({-t})^2}\right)^2}\,dt}+\int_{0}^{+\infty}{\frac{|{\sin{x}}|}{\left({1+x^2}\right)^2}\,dx}=\int_{0}^{+\infty}{\frac{\left|{\sin{t}}\right|}{\left({1+t^2}\right)^2}\,dt}\,+

\displaystyle\int_{0}^{+\infty}{\frac{\left|{\sin{x}}\right|}{\left({1+x^2}\right)^2}\,dx}=2\int_{0}^{+\infty}{\frac{|{\sin{x}}|}{\left({1+x^2}\right)^2}\,dx}.

Η συνάρτηση \phi(x)=\dfrac{1}{\left({1+x^2}\right)^2} είναι παραγωγίσιμη στό \left[{0,\,+\infty}\right) μέ παράγωγο \phi^{\prime}(x)=-\dfrac{4x}{\left({1+x^2}\right)^3}<0, x\in\left({0,\,+\infty}\right). Επομένως είναι γνησίως φθίνουσα στό \left[{0,\,+\infty}\right) καί \mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow{+\infty}}\phi(x)=0. Άρα τό \displaystyle\int_{0}^{+\infty}{\frac{\sin{x}}{\left({1+x^2}\right)^2}\,dx} συγκλίνει.

Από τό κριτήριο σύγκρισης, γιά \gamma>0, προκύπτει \displaystyle\int_{0}^{+\infty}{\frac{1}{\left({1+x^2}\right)^2}\,dx}=

\displaystyle\int_{0}^{\gamma}{\frac{1}{\left({1+x^2}\right)^2}\,dx}+\int_{\gamma}^{+\infty}{\frac{1}{\left({1+x^2}\right)^2}\,dx}<

\displaystyle\int_{0}^{\gamma}{\frac{1}{\left({1+x^2}\right)^2}\,dx}+\int_{\gamma}^{+\infty}{\frac{1}{x^4}\,dx}<+\infty.

Επομένως τό \displaystyle\int_{0}^{+\infty}{\frac{\sin{x}}{\left({1+x^2}\right)^2}\,dx}, άρα καί τό \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{\sin{x}}{\left({1+x^2}\right)^2}\,dx}, συγκλίνουν απόλυτα.\quad\square


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Alex Them, Google [Bot] και 1 επισκέπτης