Σύγκλιση γενικ. ολοκληρώματος 01

#1

Νά εξετασθεί ώς πρός τήν απόλυτη καί τήν υπό συνθήκη σύγκλιση τό ολοκλήρωμα:

$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{\sin{x}}{\left({1+x^2}\right)^2}\,dx}$

Ωmega Man · #2

To ότι το ολοκλήρωμα κάνει 0, δεν καλύπτει τα ερωτήματα;

#3

Ωmega Man έγραψε:To ότι το ολοκλήρωμα κάνει 0, δεν καλύπτει τα ερωτήματα;

Γιώργο, πρέπει να δείξουμε πως συγκλίνει κιόλας. (Δεν είναι δύσκολο.)

Ωmega Man · #4

Για την απόλυτη ΟΚ , αλλά για την υπό συνθήκη τι ακριβώς εννοούμε θέλω να δω....

#5

Υπό συνθήκη σύγκλιση έχουμε όταν : έχουμε σύγκλιση αλλά όχι απόλυτη σύγκλιση.

Εδώ η συνάρτηση είναι περιττή, άρα αρκεί να εξετάσουμε τη σύγκλιση του $\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{(1+x^{2})^{2}}\,dx}$ . Αν αυτό συγκλίνει, τότε το αρχικό ολοκλήρωμα κάνει 0.

Έχουμε $\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}\Big|\frac{\sin x}{(1+x^{2})^{2}}\Big|\,dx=\int_{0}^{M}\Big|\frac{\sin x}{(1+x^{2})^{2}}\Big|\,dx+\int_{M}^{+\infty}\Big|\frac{\sin x}{(1+x^{2})^{2}}\Big|\,dx}$ όπου $\displaystyle{M>0}$ οπότε αναγόμαστε στην σύγλιση του δευτέρου ολ/τος.

Για $\displaystyle{x\geq M}$ είναι $\displaystyle{0\leq\Big|\frac{\sin x}{(1+x^{2})^{2}}\Big|\leq\frac{1}{(1+x^{2})^{2}}<\frac{1}{x^{4}}}$ με $\displaystyle{\int_{M}^{+\infty}1/x^{4}\,dx\in\mathbb{R}}$

Έχουμε λοιπόν απόλυτη σύγκλιση.

#6

Μιά επίλυση, κάπως διαφορετική από αυτή τού Αναστάση, πού βασίζεται στό παρακάτω θεώρημα:

Θεώρημα: Έστω $\phi:\left[{\alpha,\,+\infty}\right)\longrightarrow\mathbb{R}$ μιά φθίνουσα καί παραγωγίσιμη συνάρτηση μέ $\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow{+\infty}}\phi(x)=0$ .
Τότε τά ολοκληρώματα $\displaystyle\int_{\alpha}^{+\infty}{\phi(x)\,\cos{x}\,dx}$ καί $\displaystyle\int_{\alpha}^{+\infty}{\phi(x)\,\sin{x}\,dx}$ συγκλίνουν καί μάλιστα
${\rm{i)}}$ απόλυτα, άν $\displaystyle\int_{\alpha}^{+\infty}{\phi(x)\,dx}<+\infty$ καί
${\rm{ii)}}$ υπό συνθήκη, άν $\displaystyle\int_{\alpha}^{+\infty}{\phi(x)\,dx}=+\infty$ .

είναι η εξής:

$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}{\left|{\frac{\sin{x}}{\left({1+x^2}\right)^2}}\right|dx}=\int_{-\infty}^{0}{\frac{|{\sin{x}}|}{\left({1+x^2}\right)^2}\,dx}+\int_{0}^{+\infty}{\frac{|{\sin{x}}|}{\left({1+x^2}\right)^2}\,dx}\,\mathop{=}\limits^{\begin{subarray}{c} {t\,=\,-x} \\ {-dt\,=\,dx} \\ \end{subarray}}$

$\displaystyle-\int_{+\infty}^{0}{\frac{|{\sin({-t})}|}{\left({1+({-t})^2}\right)^2}\,dt}+\int_{0}^{+\infty}{\frac{|{\sin{x}}|}{\left({1+x^2}\right)^2}\,dx}=\int_{0}^{+\infty}{\frac{\left|{\sin{t}}\right|}{\left({1+t^2}\right)^2}\,dt}\,+$

$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}{\frac{\left|{\sin{x}}\right|}{\left({1+x^2}\right)^2}\,dx}=2\int_{0}^{+\infty}{\frac{|{\sin{x}}|}{\left({1+x^2}\right)^2}\,dx}$ .

Η συνάρτηση $\phi(x)=\dfrac{1}{\left({1+x^2}\right)^2}$ είναι παραγωγίσιμη στό $\left[{0,\,+\infty}\right)$ μέ παράγωγο $\phi^{\prime}(x)=-\dfrac{4x}{\left({1+x^2}\right)^3}<0$ , $x\in\left({0,\,+\infty}\right)$ . Επομένως είναι γνησίως φθίνουσα στό $\left[{0,\,+\infty}\right)$ καί $\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow{+\infty}}\phi(x)=0$ . Άρα τό $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}{\frac{\sin{x}}{\left({1+x^2}\right)^2}\,dx}$ συγκλίνει.

Από τό κριτήριο σύγκρισης, γιά $\gamma>0$ , προκύπτει $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}{\frac{1}{\left({1+x^2}\right)^2}\,dx}=$

$\displaystyle\int_{0}^{\gamma}{\frac{1}{\left({1+x^2}\right)^2}\,dx}+\int_{\gamma}^{+\infty}{\frac{1}{\left({1+x^2}\right)^2}\,dx}<$

$\displaystyle\int_{0}^{\gamma}{\frac{1}{\left({1+x^2}\right)^2}\,dx}+\int_{\gamma}^{+\infty}{\frac{1}{x^4}\,dx}<+\infty$ .

Επομένως τό $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}{\frac{\sin{x}}{\left({1+x^2}\right)^2}\,dx}$ , άρα καί τό $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{\sin{x}}{\left({1+x^2}\right)^2}\,dx}$ , συγκλίνουν απόλυτα $.\quad\square$

Σύγκλιση γενικ. ολοκληρώματος 01

Σύγκλιση γενικ. ολοκληρώματος 01

Re: Σύγκλιση γενικ. ολοκληρώματος 01

Re: Σύγκλιση γενικ. ολοκληρώματος 01

Re: Σύγκλιση γενικ. ολοκληρώματος 01

Re: Σύγκλιση γενικ. ολοκληρώματος 01

Re: Σύγκλιση γενικ. ολοκληρώματος 01

Μέλη σε σύνδεση