Διαφορική εξίσωση

#1

Να βρεθούν όλες οι

φορές παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με συνεχή n-οστή παράγωγο οι οποίες ικανοποιούν τη σχέση $f(x)f^{(n)}(x)=0, \forall x \in \mathbb{R}$

#2

Επαναφέρω αυτό το πανέμορφο θέμα του Σπύρου.

#3

Αν δεν κάνω λάθος, πρέπει να είναι όλα τα πολυώνυμα βαθμού το πολύ n-1

(τα οποία προφανώς είναι λύσεις).

'Εστω

μια συνάρτηση που ικανοποιεί τις συνθήκες. Ας υποθέσουμε πως για κάποιο

, ότι $f^{(n)}(x) \neq 0$ . Τότε, υπάρχει ανοικτό διάστημα

που περιέχει το

ώστε $f^{(n)}(y) \neq 0$ για κάθε $y \in I$ . Άρα η

πρέπει να είναι ταυτοτικά 0 στο

και άρα $f^{(n)}(x) = 0$ . Άρα η $f^{(n)}$ είναι ταυτοτικά 0 και άρα η

είναι πολυώνυμο βαθμού το πολύ n-1

.

#4

Ακριβώς έτσι την είχαμε συζητήσει με τον Σπύρο.

#5

Σεραφείμ και Δημήτρη σας ευχαριστώ

Μάκης Χατζόπουλος · #6

Να βρεθούν όλες οι φορές παραγωγίσιμες συναρτήσεις $\displaystyle{f:R \to R}$ με συνεχή τη

- οστή παράγωγο οι οποίες ικανοποιούν την σχέση :

$\displaystyle{f\left( x \right){f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = 0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in R}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

parmenides51 · #7

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#8

Αν παραλείψουμε την απάιτηση η

οστή παράγωγος να είναι συνεχής τι γίνεται;

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι $f^{(n)}(x)=0,\ \forall x \in \mathbb{R}$ ;

Διαφορική εξίσωση

Διαφορική εξίσωση

Re: Διαφορική εξίσωση

Re: Διαφορική εξίσωση

Re: Διαφορική εξίσωση

Re: Διαφορική εξίσωση

Πάμε για τη δόση μας! Βρείτε τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις

Re: Πάμε για τη δόση μας! Βρείτε τις παραγωγίσιμες συναρτήσε

Re: Διαφορική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση