Μελέτη αρμονικότητας

Ωmega Man · #1

Να δείξετε ότι η $\displaystyle{\bf \arctan \left(\frac{x}{x^2+y^2-1}\right) }$ είναι αρμονική.

#2

Για να είναι αρμονική αρκεί :

$\displaystyle{ \frac{{\partial ^2 f}}{{\partial x^2 }} + \frac{{\partial ^2 f}}{{\partial y^2 }} = 0 }$

Πράξεις: ΔΥΣΒΑΣΤΑΧΤΕΣ!

Εντός ολίγου, αν δε νευριάσω!

Υ.Γ: Τελικά νευριάσα!!

. Συγνώμη Γιώργο, αλλά δε μπορώ τη συγκεκριμένη στιγμή

να συγκεντρωθώ.

nonlinear · #3

Σιγουρα ειναι αρμονικη;. Οι υπολογισμοι στο συνημενο διαφωνουν.

Ωmega Man · #4

Σωστά δεν είναι αρμονική. Έκανα λάθος στην εκφώνηση. H παρακάτω όμως είναι.

$\displaystyle{\bf \arctan\left(\frac{2x}{x^2+y^2-1}\right)}$

Ωmega Man · #5

Βρήκα έναν εναλλακτικό τρόπο χωρίς πολλές πράξεις. Από την ιστοσελίδα του Wolfram, παίρνουμε το εξής
$\displaystyle{\bf \arctan(x)=-i\log\left(\frac{1+ix}{\sqrt{1+x^2}}\right)}$ . Στην δική μας περίπτωση,
$\displaystyle{\bf \arctan\left(\frac{2x}{x^2+y^2-1}\right)=-i\cdot \log\left(\frac{1+\frac{2xi}{x^2+y^2-1}}{\sqrt{1+\left(\frac{2x}{x^2+y^2-1}\right)^{2}}\right)=-i\cdot \log\left(\frac{(x^2+y^2-1)+2xi)}{(x^2+y^2-1)^2+4x^2}\right)=-i\cdot\log\left(\frac{w^{}}{|w|^{2}}\right)}$

θέτοντας $\displaystyle{\bf w=x^2+y^2-1+2xi}$ . Μένουν ακόμη μια-δυο σειρές για την αιτιολόγηση , το αφήνω για άσκηση.

#6

Ισχύει ότι : αν η μιγαδική συνάρτηση F(z)

είναι αναλυτική (συνεχώς παραγωγίσιμη), τότε οι συναρτήσεις Re(F(z))

και

είναι αρμονικές (συνθήκη Cauchy – Riemann).

Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{g\left( z \right) = \frac{{z + i}}{{z - i}}}$ που είναι αναλυτική στο $\displaystyle{C - \left\{ i \right\}}$ . Θεωρούμε επίσης γνωστό ότι η συνάρτηση $\displaystyle{\varphi \left( z \right) = \ln \left( z \right)}$ είναι αναλυτική σ’ όλο το μιγαδικό
επίπεδο, πλην του αρνητικού πραγματικού ημιάξονα, δηλαδή είναι αναλυτική στο $\displaystyle{C - \left\{ {x \in R/x \le 0} \right\}}$ , (λόγω πλειοτιμίας).

Επομένως η συνάρτηση $\displaystyle{f\left( z \right) = \ln \left( {g\left( z \right)} \right) = \ln \left( {\frac{{z + i}}{{z - i}}} \right)}$ είναι αναλυτική στο $\displaystyle{C - \left\{ {z \in C/\frac{{z + i}}{{z - i}} = - \lambda ,\lambda \ge 0} \right\}}$ .

$\displaystyle{f\left( z \right) = \ln \left( {g\left( z \right)} \right) = \ln \left( {\frac{{z + i}}{{z - i}}} \right) = \ln \left( {\frac{{x + i \cdot \left( {y + 1} \right)}}{{x + i \cdot \left( {y - 1} \right)}}} \right) = \ln \left( {\frac{{\left( {x + i \cdot \left( {y + 1} \right)} \right) \cdot \left( {x - i \cdot \left( {y - 1} \right)} \right)}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}} \right) = }$

$\displaystyle{ = \ln \left( {\frac{{{x^2} + {y^2} - 1 + 2 \cdot x \cdot i}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}} \right) = \ln \left( {\left| {g\left( z \right)} \right| \cdot {e^\big{{i \cdot Arg\left( {g\left( z \right)}} \right)}}} \right) = \ln \left( {\left| {g\left( z \right)} \right|} \right) + i \cdot Arg\left( {g\left( z \right)} \right)}$ . Επομένως η συνάρτηση $\displaystyle{Arg\left( {g\left( z \right)} \right)}$ είναι αρμονική.

Όμως $\displaystyle{g\left( z \right) = \frac{{{x^2} + {y^2} - 1 + 2 \cdot x \cdot i}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} \Rightarrow \tan \left( {Arg\left( {g\left( z \right)} \right)} \right) = \frac{{{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {g\left( z \right)} \right)}}{{{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {g\left( z \right)} \right)}} = \frac{{2 \cdot x}}{{{x^2} + {y^2} - 1}}}$ $\displaystyle{ \Rightarrow Arg\left( {g\left( z \right)} \right) = \arctan \left( {\frac{{2 \cdot x}}{{{x^2} + {y^2} - 1}}} \right)}$

Τελικά η συνάρτηση $\displaystyle{\arctan \left( {\frac{{2 \cdot x}}{{{x^2} + {y^2} - 1}}} \right)}$ είναι αρμονική.

Μελέτη αρμονικότητας

Μελέτη αρμονικότητας

Re: Μελέτη Μελέτη αρμονικότητας.

Re: Μελέτη αρμονικότητας

Re: Μελέτη αρμονικότητας

Re: Μελέτη αρμονικότητας

Re: Μελέτη αρμονικότητας

Μέλη σε σύνδεση