Πράσινο χωρίο

KARKAR · #1

: Πράσινο χωρίο.png (17.99 KiB) Προβλήθηκε 1019 φορές

Το

είναι ένα από τα τρία σημεία τομής του κύκλου και της παραβολής του σχήματος και

το

η προβολή του στον x'x

. Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του πράσινου χωρίου .

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Ιαν 11, 2022 1:14 pm Πράσινο χωρίο.pngΤο είναι ένα από τα τρία σημεία τομής του κύκλου και της παραβολής του σχήματος και

το η προβολή του στον . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του πράσινου χωρίου .

To

είναι η τομή του κύκλου x^2+(y-3)^2=3^2

και της παραβολής y=ax^2

. Λύνοντας θα βρούμε $x_S= \dfrac {\sqrt {6a-1}}{a}$ (απαιτεί $a\ge 1/6$ ). Το εμβαδόν είναι

$\displaystyle{ \int _{0}^{\sqrt {6a-1}/a}ax^2dx= \dfrac {(6a-1)^{3/2} }{3a^2}}$

H παράγωγος ως προς

του δεξιού μέλους είναι $\displaystyle{ \dfrac {9(6a-1)^{1/2} a^2- (6a-1)^{3/2} \cdot 2a}{3a^4}= \dfrac {(6a-1)^{1/2} }{3a^3}(2-3a)}$ .

Μηδενίζεται για a=2/3

(και οδηγεί σε μέγιστο) και η τιμή του μεγίστου είναι $\dfrac {9}{4} \sqrt 3$ .

Ελπίζω να μην έχω αριθμητικό λάθος, η μέθοδος πάντως είναι σωστή. Δεν θα έλεγα ότι είναι άσκηση για τον φάκελο του Καθηγητή δεδομένου ότι είναι ρουτίνας.

KARKAR · #3

: Εναπομείναν μέγιστο.png (16.88 KiB) Προβλήθηκε 965 φορές

Σωστά ! Ας προσθέσουμε , λοιπόν , λίγη ακόμη δυσκολία , ζητώντας

( για το ίδιο

) , τον υπολογισμό του εναπομείναντος πρασίνου .

#4

KARKAR έγραψε: Τρί Ιαν 11, 2022 6:44 pm Εναπομείναν μέγιστο.pngΣωστά ! Ας προσθέσουμε , λοιπόν , λίγη ακόμη δυσκολία , ζητώντας

( για το ίδιο ) , τον υπολογισμό του εναπομείναντος πρασίνου .

Απλά αφαιρούμε το μπλε εμβαδόν που είναι $\displaystyle{\displaystyle{ \int _{0}^{\sqrt {6a-1}/a}ydx}$ , όπου το

είναι από την εξίσωση του κύκλου το $y=3-\sqrt {9-x^2}$ (παίρνουμε το πλην).

Εδώ όπου $a= \dfrac {2}{3}$ είναι $\sqrt {6a-1}/a}= \dfrac {3\sqrt 3}{2}$ , έχουμε

$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{0}^{\sqrt {6a-1}/a}ydx= \int _{0}^{3\sqrt 3/2}(3-\sqrt {9-x^2})dx=...= \dfrac {27\sqrt 3}{8}-\dfrac {3\pi}{2}}$ (γνωστό ολοκλήρωμα).

Πράσινο χωρίο

Πράσινο χωρίο

Re: Πράσινο χωρίο

Re: Πράσινο χωρίο

Re: Πράσινο χωρίο

Μέλη σε σύνδεση