Δεν είναι αυτό που νομίζεις

KARKAR · #1

: Δεν είναι αυτό που νομίζεις.png (18.7 KiB) Προβλήθηκε 286 φορές

Στην διάμετρο AOB=2r

ενός ημικυκλίου κινείται σημείο

. Με διαμέτρους τις AS , SB

γράφουμε εσωτερικά του αρχικού δύο νέα ημικύκλια και τον κύκλο (K)

, ο οποίος εφάπτεται

των τριών ημικυκλίων . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του κέντρου

αυτού του κύκλου .

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιουν 04, 2026 11:48 am Δεν είναι αυτό που νομίζεις.pngΣτην διάμετρο ενός ημικυκλίου κινείται σημείο . Με διαμέτρους τις

γράφουμε εσωτερικά του αρχικού δύο νέα ημικύκλια και τον κύκλο , ο οποίος εφάπτεται

των τριών ημικυκλίων . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του κέντρου αυτού του κύκλου .

Μόνο για την κατασκευή

Έστω λυμένο το πρόβλημα της κατασκευής . Αν

το εξωτερικό κέντρο ομοιότητας των δύο μικρών κύκλων ,

Ο ομόκεντρος κύκλος που διέρχεται από το κέντρο

(ή ${K_1}$ ) προσδιορίζεται εύκολα.

Κατασκευή

: Δεν είναι οτι νομίζεις_new.png (27.39 KiB) Προβλήθηκε 228 φορές

Από το

φέρνω την εφαπτομένη ,

JE\,\,\,

, στο Μεγάλο ημικύκλιο. Φέρνω κάθετη στο

στην

και έξω απ’ αυτή

θεωρώ σημείο

με

FE = LB

. Η μεσοκάθετη , στο

,

τέμνει την

στο κέντρο.

, που θέλω . Ο κύκλος $\left( {K,KE} \right)$ είναι αυτός που ζητώ.

Παρατήρηση

Το σύνολο των σημείων

, μου δείχνει ( αυτό βεβαίως δεν αποτελεί λύση) το λογισμικό ότι δεν είναι κωνική τομή.

#3

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιουν 04, 2026 11:48 am Δεν είναι αυτό που νομίζεις.pngΣτην διάμετρο ενός ημικυκλίου κινείται σημείο . Με διαμέτρους τις

γράφουμε εσωτερικά του αρχικού δύο νέα ημικύκλια και τον κύκλο , ο οποίος εφάπτεται

των τριών ημικυκλίων . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του κέντρου αυτού του κύκλου .

Εν συντομία το σκεπτικό, αποφεύγοντας τις πολλές πράξεις. Έστω

O(0,0), K(x,y)

και

τα κέντρα

των ημικυκλίων με διαμέτρους SA, SB

αντίστοιχα. Θέτω

AM=a,

οπότε

NB=r-a

και έστω $\rho$ η

ακτίνα του κύκλου. Είναι ακόμα

MO=r-a, ON=a.

: Δεν είναι αυτό που νομίζεις.png (28.69 KiB) Προβλήθηκε 195 φορές

Με θεώρημα $\rm Stewart$ στο KMN

και τέμνουσα

KO,

βρίσκω

\rho = \frac{{ar(r - a)}}{{{r^2} - ar + {a^2}}}

Είναι

(KMN)=\dfrac{ry}{2}

και από το ίδιο εμβαδόν με τον τύπο του Ήρωνα και αντικαθιστώντας το $\rho$ παίρνω

y = \frac{{2ar(r - a)}}{{{r^2} - ar + {a^2}}} = 2\rho

Τέλος με Π.Θ στο

KDO

προκύπτει η εξίσωση

\boxed{4x^2+3y^2+4ry-4r^2=0}

που είναι και η εξίσωση του γεωμετρικού τόπου (η κόκκινη καμπύλη στο σχήμα).

#4

george visvikis έγραψε: Παρ Ιουν 05, 2026 10:50 am Τέλος με Π.Θ στο $KDO$ προκύπτει η εξίσωση $\boxed{4x^2+3y^2+4ry-4r^2=0}$ που είναι και η εξίσωση του γεωμετρικού τόπου (η κόκκινη καμπύλη στο σχήμα).

.
Ωραιότατα.

Επειδή η εξίσωση γράφεται

\dfrac {x^2}{r^2}+ \dfrac { \left ( y+ \dfrac {2r}{3} \right )^2 } { \dfrac {4}{3} r^2}=1

βλέπουμε ότι είναι μετατοπισμένη έλλειψη.

KARKAR · #5

: μετατοπισμένη έλλειψη.png (24.85 KiB) Προβλήθηκε 130 φορές

Παραθέτω το σχήμα του τόπου , ο οποίος βρίσκω ότι είναι η έλλειψη με εξίσωση :

\dfrac{x^2}{\dfrac{4r^2}{3}}+\dfrac{(y+\dfrac{2r}{3})^2}{\dfrac{16r^2}{9}}=1

, η οποία για : r=3

, είναι η :

\dfrac{x^2}{12}+\dfrac{(y+2)^2}{16}=1

#6

Doloros έγραψε: Παρ Ιουν 05, 2026 7:38 am
KARKAR έγραψε: Πέμ Ιουν 04, 2026 11:48 am Δεν είναι αυτό που νομίζεις.pngΣτην διάμετρο ενός ημικυκλίου κινείται σημείο . Με διαμέτρους τις

γράφουμε εσωτερικά του αρχικού δύο νέα ημικύκλια και τον κύκλο , ο οποίος εφάπτεται

των τριών ημικυκλίων . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του κέντρου αυτού του κύκλου .
Μόνο για την κατασκευή

Έστω λυμένο το πρόβλημα της κατασκευής . Αν το εξωτερικό κέντρο ομοιότητας των δύο μικρών κύκλων ,

Ο ομόκεντρος κύκλος που διέρχεται από το κέντρο (ή ${K_1}$ ) προσδιορίζεται εύκολα.

Κατασκευή

Από το φέρνω την εφαπτομένη , $JE\,\,\,$ , στο Μεγάλο ημικύκλιο. Φέρνω κάθετη στο στην και έξω απ’ αυτή

θεωρώ σημείο με $FE = LB$ . Η μεσοκάθετη , στο ,

τέμνει την στο κέντρο. , που θέλω . Ο κύκλος $\left( {K,KE} \right)$ είναι αυτός που ζητώ.

Παρατήρηση

Το σύνολο των σημείων , μου δείχνει ( αυτό βεβαίως δεν αποτελεί λύση) το λογισμικό ότι δεν είναι κωνική τομή.
KARKAR έγραψε: Κυρ Ιουν 07, 2026 1:28 pm Παραθέτω το σχήμα του τόπου , ο οποίος βρίσκω ότι είναι η έλλειψη με εξίσωση :

$\dfrac{x^2}{\dfrac{4r^2}{3}}+\dfrac{(y+\dfrac{2r}{3})^2}{\dfrac{16r^2}{9}}=1$ , η οποία για : , είναι η : $\dfrac{x^2}{12}+\dfrac{(y+2)^2}{16}=1$

Καλημέρα από Γρεβενά....

Ύστερα από τη μελέτη που προηγήθηκε στο χώρο αυτό παραθέτω και ένα

σχήμα καθώς και το αντίστοιχο δυναμικό που δείχνει όμορφα την κινητικότητα

που κρύβει ο γεωμετρικός αυτός τόπος. Κάτι βέβαια που υπάρχει σε κάθε γ. τόπο!

Στο συγκεκριμένο πρόβλημα βέβαια υπάρχει και μια συνολική αισθητική που προσωπικά

μου άρεσε γιαυτό και το αναρτώ...

Σχήμα - Στιγμιότυπο

: Γεωμετρικός τόπος και ημικύκλια.png (30.57 KiB) Προβλήθηκε 91 φορές

Η παραμετρική εξίσωση του τόπου αυτού είναι:

\left.\begin{matrix} x(t)=\frac{2}{\sqrt{3}}cos(t) \\\\ y(t)=-\frac{2}{3}+\frac{4}{3}sin(t) \end{matrix}\right\},\ \ t \in({\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}) }

Το δυναμικό σχήμα είναι στη διεύθυνση:

https://www.geogebra.org/m/vehggkan

Για την κατασκευή του σχήματος υπάρχει ένα πλούσιο υπόβαθρο...

Κώστας Δόρτσιος

Δεν είναι αυτό που νομίζεις

Δεν είναι αυτό που νομίζεις

Re: Δεν είναι αυτό που νομίζεις

Re: Δεν είναι αυτό που νομίζεις

Re: Δεν είναι αυτό που νομίζεις

Re: Δεν είναι αυτό που νομίζεις

Re: Δεν είναι αυτό που νομίζεις

Μέλη σε σύνδεση