Τετράγωνα σε καμπύλη

Γενικά θέματα Μαθηματικών καί περί Μαθηματικών

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1358
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Τετράγωνα σε καμπύλη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Πέμ Οκτ 20, 2016 12:24 pm

1. Πόσα τετράγωνα υπάρχουν ώστε και οι τέσσερις κορυφές τους να βρίσκονται πάνω σε ένα κύκλο ή ένα άλλο τετράγωνο ;
2. Πόσα τετράγωνα υπάρχουν ώστε και οι τέσσερις κορυφές τους να βρίσκονται πάνω στις πλευρές ενός τριγώνου ; Πως κατασκευάζονται ;
3. Υπάρχει τετράγωνο ώστε και οι τέσσερις κορυφές του να βρίσκονται πάνω σε μια απλή κλειστή καμπύλη ; 4. Αν μια καμπύλη είναι γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης ορισμένης στο \displaystyle{[0,1]} με \displaystyle{f(0) = f(1)} και \displaystyle{f(x) \ge 0} για κάθε \displaystyle{x \in [0,1]}
αποδείξτε ότι υπάρχει τετράγωνο που να έχει τις δύο κορυφές του πάνω στον \displaystyle{x'x} και τις άλλες δύο πάνω στην καμπύλη .


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3470
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Τετράγωνα σε καμπύλη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Οκτ 20, 2016 1:00 pm

exdx έγραψε: 4. Αν μια καμπύλη είναι γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης ορισμένης στο \displaystyle{[0,1]} με \displaystyle{f(0) = f(1)} και \displaystyle{f(x) \ge 0} για κάθε \displaystyle{x \in [0,1]}
αποδείξτε ότι υπάρχει τετράγωνο που να έχει τις δύο κορυφές του πάνω στον \displaystyle{x'x} και τις άλλες δύο πάνω στην καμπύλη .
Θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε ως f(x)=1 ,\; x \in [0, 1] η οποία είναι συνεχής συνάρτηση στο εν λογω διάστημα. Σχεδιάζοντας τη γραφική παράσταση έχουμε:
\begin{tikzpicture} 
\draw [->] (-1.5, 0) -- (1.5, 0); 
\draw [->] (0, -1.5) -- (0, 1.5); 
\draw (1.5, 0) node[below]{x}; 
\draw (0, 1.5) node[left]{y}; 
\draw [thick, red] (0,1) -- (1, 1); 
\draw [dashed](0, 0) --(0, 1) -- (1,1)--(1, 0) --cycle; 
\draw (0, 1) node[left]{1}; 
\draw (0, -0.2) node[left]{O}; 
\draw (1, 0) node[below]{1}; 
\end{tikzpicture} Από το σχήμα είναι φανερό πως υπάρχει τετράγωνο με δύο πλευρές πάνω στον άξονα x'x και δύο πάνω στη γραφική παράσταση. Είναι το τετράγωνο με κορφές {\rm O}(0,0),\; {\rm A}(0, 1), \; {\rm B}(1, 1) και \Gamma(1, 0).

Παρόμοια, μπορούμε για κάθε σταθερή θετική συνάρτηση f(x)=c , \; x \in [0, 1] να βρούμε τετράγωνο. Θαρρώ θα υπάρχουν και άλλες.

Τα παραπάνω βέβαια αν κατάλαβα καλά την ερώτηση.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1899
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τετράγωνα σε καμπύλη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Οκτ 20, 2016 1:50 pm

Κάτι σχετικό υπάρχει στο
viewtopic.php?f=61&t=52186

Το 4 αν θυμάμαι καλά υπάρχει σαν άσκηση στο βιβλίο για πανελλήνιες του Μπάμπη Στεργίου.

Ο Τόλης δεν είδε το f(0)=f(1)=0


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10311
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τετράγωνα σε καμπύλη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Οκτ 20, 2016 2:05 pm

Tolaso J Kos έγραψε: Θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε ως f(x)=1 ,\; x \in [0, 1]
Τόλη, η f δίδεται. Δεν την επιλέγεις εσύ.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1899
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τετράγωνα σε καμπύλη

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Οκτ 20, 2016 6:23 pm

Στο 4) πρέπει να αποκλεισθεί η περίπτωση f(x)\equiv 0
Η σωστή διατύπωση του είναι.
f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R} συνεχής f\not\equiv 0 και f(0)=f(1)=0


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1899
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τετράγωνα σε καμπύλη

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Οκτ 20, 2016 7:40 pm

Απόδειξη του 4) ( είναι η 13.11 στον πρώτο τόμο του Μπάμπη Στεργίου)
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι f(x)> 0 για x\epsilon (0,1)
(Αλλιώς δουλεύουμε στο διάστημα μεταξύ δύο ριζών).Τα 0,1 μπορούν να είναι οποιδήποτε πραγματικοί.

Επεκτείνουμε την f σε όλο το \mathbb{R} θέτοντας f(x)=0 εκτός του [0,1]

Εστω b ένα σημείο που η f παίρνει μέγιστη τιμή στο (0,1)

Είναι εύκολο να δούμε ότι υπάρχει a\epsilon (0,b) με a+f(a)=b

Θεωρούμε την g(x)=f(x+f(x))-f(x)

Προφανώς g(a)=f(a+f(a))-f(a)=f(b)-f(a)\geq 0

και g(b)=f(b+f(b))-f(b)\leq 0

Απο Bolzano υπάρχει c\epsilon [a,b]\subset [0,1]

με g(c)=0 δηλαδή f(c+f(c))=f(c)

Θέτουμε x_{2}=c+f(c) και x_{1}=c

Εχουμε x_{2}-x_{1}=f(x_{2})=f(x_{1})

Τα σημεία (x_{1},0),(x_{1},f(x_{1}),(x_{2},f(x_{2})),(x_{2},0) είναι κορυφές τετραγώνου.

Η απόδειξη είναι ίδια με του Μπάμπη πιό σύντομα γραμμένη.
Συμπλ.Διόρθωσα κάποια τυπογραφικά


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης