Ελάχιστο συνάρτησης!

Γενικά θέματα Μαθηματικών καί περί Μαθηματικών

Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6271
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Ελάχιστο συνάρτησης!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Κυρ Φεβ 02, 2020 1:39 pm

Θεωρούμε την εξίσωση \displaystyle{x^3-3x-p=0} και ορίζουμε τη συνάρτηση


\displaystyle{f(p)=\begin{cases}\textrm {\gr το γινόμενο της μικρότερης και της μεγαλύτερης ρίζας, αν η εξίσωση έχει τρεις πραγματικές ρίζες,} \\ \\  
 \textrm{\gr το τετράγωνο της ρίζας, αν η εξίσωση έχει μία μόνο πραγματική ρίζα.} \end{cases}}

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης.


Μάγκος Θάνος

Λέξεις Κλειδιά:
abgd
Δημοσιεύσεις: 183
Εγγραφή: Τετ Ιαν 23, 2013 11:49 pm

Re: Ελάχιστο συνάρτησης!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abgd » Τετ Φεβ 05, 2020 10:24 pm

matha έγραψε:
Κυρ Φεβ 02, 2020 1:39 pm
Θεωρούμε την εξίσωση \displaystyle{x^3-3x-p=0} και ορίζουμε τη συνάρτηση


\displaystyle{f(p)=\begin{cases}\textrm {\gr το γινόμενο της μικρότερης και της μεγαλύτερης ρίζας, αν η εξίσωση έχει τρεις πραγματικές ρίζες,} \\ \\  
 \textrm{\gr το τετράγωνο της ρίζας, αν η εξίσωση έχει μία μόνο πραγματική ρίζα.} \end{cases}}

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης.
Αν p<-2 ή p>2 υπάρχει πραγματικός αριθμός r με r<-2 ή r>2 αντίστοιχα έτσι ώστε p=r^3-3r.
Στην περίπτωση αυτή η εξίσωση γίνεται (x-r)(x^2+rx+r^2-3)=0 και έχει μοναδική πραγματική ρίζα το r.

Αν p \in [-2,2] υπάρχει πραγματικός αριθμός r \in [-1,1] έτσι ώστε p=r^3-3r.

Στην περίπτωση αυτή η εξίσωση γίνεται (x-r)(x^2+rx+r^2-3)=0 και έχει τρεις πραγματικές ρίζες: την r και τις r_1, \ \ r_2 οι οποίες, αποδεικνύεται εύκολα, είναι εκτός του διαστήματος  (-1,1).

Άρα είναι f(p)=\left\{\begin{matrix} r^2, \ \ \ \ \ \ \ p\in(-\infty,-2)\cup (2,+\infty) & \\ r^2-3, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ p\in [-2,2]& \end{matrix}\right.

Έτσι f(p)\geq-3=f(0)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης