Ισοσκελές και ορθογώνιο

Eustathia p. · #1

: ορθογώνιο και ισοσκελές.png (9.18 KiB) Προβλήθηκε 483 φορές

Σε τυχαίο τρίγωνο ABC

, σχεδιάζουμε εξωτερικά τα τετράγωνα , ABDK

και

. Να δειχθεί ότι το τρίγωνο MAC

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές , όπου

το μέσο του

.

#2

Eustathia p. έγραψε: Δευ Δεκ 13, 2021 11:40 am ορθογώνιο και ισοσκελές.png
Σε τυχαίο τρίγωνο , σχεδιάζουμε εξωτερικά τα τετράγωνα , και . Να δειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές , όπου το μέσο του .

: Ισοσκελές και ορθογώνιο.png (21.19 KiB) Προβλήθηκε 472 φορές

Έστω

το συμμετρικό του

ως προς το

. Τότε από το σχηματιζόμενο παραλληλόγραμμο CLNK

(οι διαγώνιες διχοτομούνται) προκύπτει ότι $KN=\parallel CL\overset{BC=\bot CL}{\mathop{\Rightarrow }}\,KN=\bot BC\overset{AK=\bot AB}{\mathop{\Rightarrow }}\,\vartriangle KAN=\vartriangle BAC$ (Οι γωνίες $\angle KAN,\angle BAC$ έχουν κάθετες πλευρές του ίδιου προσανατολισμού και συνεπώς είναι ίσες), άρα $AN=\bot AC\Rightarrow \vartriangle ANC$ ορθογώνιο ισοσκελές και με

το μέσο της $CN\Rightarrow \vartriangle AMC$ ορθογώνιο ισοσκελές.
Υπάρχουν και άλλες αποδείξεις του εν λόγω προβλήματος που είναι ένα από τα πολλά αποτελέσματα του σχήματος Vecten

#3

Eustathia p. έγραψε: Δευ Δεκ 13, 2021 11:40 am ορθογώνιο και ισοσκελές.png
Σε τυχαίο τρίγωνο , σχεδιάζουμε εξωτερικά τα τετράγωνα , και . Να δειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές , όπου το μέσο του .

Έστω

οι προβολές των K, L, B, M

αντίστοιχα στην AC.

: Ισοσκελές και ορθογώνιο.Ε.png (19.77 KiB) Προβλήθηκε 451 φορές

Προφανώς τα ορθογώνια τρίγωνα BCH, CLL_1

είναι ίσα, όπως και τα ABH, AKK_1.

Άρα, $\displaystyle K{K_1} = HA,L{L_1} = CH \Rightarrow$ $\boxed{K{K_1} + L{L_1} = CA}$ (1)

Η

είναι διάμεσος του τραπεζίου KK_1L_1L

κι επειδή

το

είναι μέσο και του AC,

άρα

Αλλά, $\displaystyle MN = \frac{{K{K_1} + L{L_1}}}{2}\mathop = \limits^{(1)} \frac{{CA}}{2} \Rightarrow C\widehat MA = 90^\circ$ και το ζητούμενο αποδείχτηκε.

#4

Με Αναλυτική Γεωμετρία είναι εύκολο, χωρίς να χρειαστεί να σκεφτούμε πολύ.

Με άξονα των

την

και άξονα των

το ύψος από το

έχουμε συντεταγμένες $C(c,0),\, B(-b,0),\, A(0,a)$ . Είναι τώρα εύκολο να δούμε ότι είναι $K(-a,\, a+b)$ , L(c,-b-c)

και άρα το μέσον

είναι $\left ( \dfrac {c-a}{2},\, \dfrac {a-c}{2} \right )$ .

Τώρα εύκολα βρίσκουμε τις κλίσεις των $MA,\,MC$ ως $\dfrac {a+c}{a-c}$ και $\dfrac {c-a}{a+c}$ , αντίστοιχα, από όπου η ζητούμενη καθετότητα. Επίσης $MA^2=\frac {a^2+c^2}{2}=MC^2$ , δηλαδή ισότητα.

Ισοσκελές και ορθογώνιο

Ισοσκελές και ορθογώνιο

Re: Ισοσκελές και ορθογώνιο

Re: Ισοσκελές και ορθογώνιο

Re: Ισοσκελές και ορθογώνιο

Μέλη σε σύνδεση