ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

#121

ΑΣΚΗΣΗ 161
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[\alpha ,\beta ]\rightarrow R$ με $f(\beta )=2f(\alpha )$ ώστε να ισχύει :
f'(x)=2f^2(x)-4f(x)+4

, για κάθε $x\in[\alpha ,\beta ]$ . Nα δείξετε ότι:
i) η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα.
ii) $f(\alpha)>0$ .
iii) ισχύει $\int_{\alpha }^{\beta }{f(x)dx}<ln2$ .
iv) αν $f(\alpha)>1$ , να δείξετε ότι:
1) η

είναι κυρτή
2) δεν υπάρχουν στη γραφική παράσταση της

, τρία διαφορετικά σημεία τα οποία να είναι συνευθειακά.

Χρήστος

Αλλάζω την άσκηση μετά από μήνυμα του Δημήτρη
(είναι η άσκηση 67 από τα επαναληπτικά θέματα 51 - 100 που ανέβασε ο xgastone)

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #122

Έγινε η αντικατάσταση της άσκησης

apotin · #123

Άσκηση 162

Έστω συνάρτηση $\displaystyle{f}$ συνεχής στο $\displaystyle{[0, 1]}$ και με σύνολο τιμών το $\displaystyle{[0, 1]}$ .

α) να δείξετε ότι $\displaystyle{\int_0^1 {f\left( t \right)dt} < 1}$

β) να δείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle{\int_0^x {f\left( t \right)dt} = 2x - 1}$ έχει μοναδική λύση $\displaystyle{{x_0} \in \left( {0,\,\,1} \right)}$

γ) Να βρείτε τον αριθμό $\displaystyle{{x_0}}$ του (β) ερωτήματος αν γνωρίζετε ότι το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται:

από την $\displaystyle{{C_f}}$ , τον άξονα $\displaystyle{x'x}$ και τις ευθείες $\displaystyle{x=0}$ και $\displaystyle{x=x_0}$ είναι 0,5 τ.μ.

δ) να δείξετε ότι $\displaystyle{\int_0^x {f\left( t \right)dt} < 2x}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \left( {0,\,\,1} \right)}$

apotin · #124

xr.tsif έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 161
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[\alpha ,\beta ]\rightarrow R$ με $f(\beta )=2f(\alpha )$ ώστε να ισχύει :
, για κάθε $x\in[\alpha ,\beta ]$ . Nα δείξετε ότι:
i) η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.
ii) $f(\alpha)>0$ .
iii) ισχύει $\int_{\alpha }^{\beta }{f(x)dx}<ln2$ .
iv) αν $f(\alpha)>1$ , να δείξετε ότι:
1) η είναι κυρτή
2) δεν υπάρχουν στη γραφική παράσταση της , τρία διαφορετικά σημεία τα οποία να είναι συνευθειακά.

Χρήστος
(είναι η άσκηση 67 από τα επαναληπτικά θέματα 51 - 100 που ανέβασε ο xgastone)

i) Η δοθείσα σχέση γράφεται

$\displaystyle{f'\left( x \right) = {f^2}\left( x \right) + {\left[ {f\left( x \right) - 2} \right]^2} > 0}$ , για κάθε $\displaystyle{x \in \left[ {\alpha ,\,\,\beta } \right]}$ (*)

Άρα η $\displaystyle{f}$ είναι γν. αύξουσα στο $\displaystyle{\left[ {\alpha ,\,\,\beta } \right]}$

ii) $\displaystyle{\alpha < \beta \mathop {\,\, \Rightarrow \,\,}\limits^{f \uparrow } f\left( \alpha \right) < f\left( \beta \right) \Rightarrow f\left( \alpha \right) < 2f\left( \alpha \right) \Rightarrow f\left( \alpha \right) > 0}$

iii) Είναι $\displaystyle{x \ge \alpha \mathop {\,\, \Rightarrow \,\,}\limits^{f \uparrow } f\left( x \right) \ge f\left( \alpha \right) > 0}$

Τότε από την (*) για κάθε $\displaystyle{x \in \left[ {\alpha ,\,\,\beta } \right]}$ έχουμε $\displaystyle{f'\left( x \right) > {f^2}\left( x \right) \Rightarrow \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} > f\left( x \right) \Rightarrow \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} - f\left( x \right) > 0}$

Άρα $\displaystyle{\int_\alpha ^\beta {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}dx - } \int_\alpha ^\beta {f\left( x \right)dx} > 0 \Rightarrow \left[ {\ln f\left( x \right)} \right]_\alpha ^\beta > \int_\alpha ^\beta {f\left( x \right)dx} \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow \ln f\left( \beta \right) - \ln f\left( \alpha \right) > \int_\alpha ^\beta {f\left( x \right)dx} \Rightarrow \ln 2f\left( \alpha \right) - \ln f\left( \alpha \right) > \int_\alpha ^\beta {f\left( x \right)dx} \Rightarrow \ln 2 > \int_\alpha ^\beta {f\left( x \right)dx} }$

iv-1) Από την (*) για κάθε $\displaystyle{x \in \left[ {\alpha ,\,\,\beta } \right]}$ έχουμε

$\displaystyle{f''\left( x \right) = 2\left[ {f\left( x \right) - 1} \right]f'\left( x \right) > 0}$

γιατί $\displaystyle{x \ge \alpha \mathop {\,\, \Rightarrow \,\,}\limits^{f \uparrow } f\left( x \right) \ge f\left( \alpha \right) > 1}$

Άρα η $\displaystyle{f}$ είναι κυρτή

iv-2) Έστω ότι υπάρχουν 3 σημεία $\displaystyle{A\left( {{x_1},f\left( {{x_1}} \right)} \right),\,\,B\left( {{x_2},f\left( {{x_2}} \right)} \right),\,\,\Gamma \left( {{x_3},f\left( {{x_3}} \right)} \right)}$ της $\displaystyle{C_f}$ με $\displaystyle{\alpha \le {x_1} < {x_2} < {x_3} \le \beta }$ που είναι συνευθειακά.

Τότε για την $\displaystyle{f}$ εφαρμόζεται το ΘΜΤ στα διαστήματα $\displaystyle{\left[ {{x_1},{x_2}} \right]}$ και $\displaystyle{\left[ {{x_2},{x_3}} \right]}$ .

Άρα υπάρχουν $\displaystyle{{\xi _1} \in \left( {{x_1},{x_2}} \right)}$ και $\displaystyle{{\xi _2} \in \left( {{x_2},{x_3}} \right)}$ τέτοια ώστε:

$\displaystyle{f'\left( {{\xi _1}} \right) = \frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = {\lambda _{{\rm A}{\rm B}}}}$ και $\displaystyle{f'\left( {{\xi _2}} \right) = \frac{{f\left( {{x_3}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_3} - {x_2}}} = {\lambda _{{\rm B}\Gamma }}}$ .

Αλλά $\displaystyle{{\lambda _{{\rm A}{\rm B}}} = {\lambda _{{\rm B}\Gamma }}}$ $\displaystyle{ \Leftrightarrow f'\left( {{\xi _1}} \right) = f'\left( {{\xi _2}} \right)}$ , άτοπο γιατί η $\displaystyle{{f'}}$ είναι γν. αύξουσα οπότε $\displaystyle{f'\left( {{\xi _1}} \right) < f'\left( {{\xi _2}} \right)}$

Άρα δεν υπάρχουν ...

#125

apotin έγραψε:Άσκηση 162

Έστω συνάρτηση $\displaystyle{f}$ συνεχής στο $\displaystyle{[0, 1]}$ και με σύνολο τιμών το $\displaystyle{[0, 1]}$ .

α) να δείξετε ότι $\displaystyle{\int_0^1 {f\left( t \right)dt} < 1}$

β) να δείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle{\int_0^x {f\left( t \right)dt} = 2x - 1}$ έχει μοναδική λύση $\displaystyle{{x_0} \in \left( {0,\,\,1} \right)}$

γ) Να βρείτε τον αριθμό $\displaystyle{{x_0}}$ του (β) ερωτήματος αν γνωρίζετε ότι το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται:

από την $\displaystyle{{C_f}}$ , τον άξονα $\displaystyle{x'x}$ και τις ευθείες $\displaystyle{x=0}$ και $\displaystyle{x=x_0}$ είναι 0,5 τ.μ.

δ) να δείξετε ότι $\displaystyle{\int_0^x {f\left( t \right)dt} < 2x}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \left( {0,\,\,1} \right)}$

ΛΥΣΗ

α) Επειδή ισχύει σύμφωνα με την υπόθεση ότι $f(x)\le 1,\,\,\,x\in [0,\,1]$ και

όχι σταθερή ,ολοκληρώνοντας θα ισχύει ότι

$\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}<\int\limits_{0}^{1}{dx}=1$

β) Για την συνάρτηση $g(x)=\int\limits_{0}^{x}{f(t)dt}-2x+1,\,\,\,x\in [0,\,\,1]$ ισχύει ότι είναι συνεχής και ότι

$g(1)=\int\limits_{0}^{1}{f(t)dt}-1<0$ λόγω (α) και $g(0)=\int\limits_{0}^{0}{f(t)dt}+1=1>0$ άρα ισχύει ότι g(0)g(1)<0

οπότε σύμφωνα με το θεώρημα του BOLZANO θα έχει λύση στο $(0,\,1)$ και επειδή είναι και παραγωγίσιμη με

{g}'(x)=f(x)-2<0

αφού $f(x)\le 1,\,\,\,x\in [0,\,1]$ από υπόθεση

θα είναι γνήσια φθίνουσα άρα θα έχει μοναδική λύση στο $(0,\,1)$

γ) Είναι το εμβαδό $E=\int\limits_{0}^{{{x}_{0}}}{f(x)dx}=\frac{1}{2}$ και επειδή από (β) ισχύει

$g({{x}_{0}})=0\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{{{x}_{0}}}{f(t)dt}=2{{x}_{0}}-1$ θα ισχύει ότι

$2{{x}_{0}}-1=\frac{1}{2}\Leftrightarrow {{x}_{0}}=\frac{3}{4}$

δ) Για την $h(\kappa )=\int\limits_{0}^{\kappa }{f(t)dt}\,\,\,\kappa \in [0,\,\,x],\,\,\,\,0<x<1$ επειδή είναι παραγωγίσιμη

σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής θα υπάρχει $\xi \in (0,\,\,x)$ ώστε ${h}'(\xi )=\frac{h(x)-h(0)}{x}$ ή $f(\xi )=\frac{h(x)}{x}$ και αφού

$f(x)\le 1<2,\,\,\,x\in [0,\,\,1]$ θα ισχύει ότι $\frac{h(x)}{x}<2\Leftrightarrow h(x)<2x$ για κάθε $\,x\in (0,\,\,1)$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#126

...δημιουργώντας από τις ασκήσεις του σχολικού....

ΑΣΚΗΣΗ 163

Α) Να βρεθεί η μεγαλύτερη τιμή του x>0

για την οποία ισχύει $x-x\ln x\ge 0$

Β) Αν $f(x)=x-\lambda \ln x,\,\,\,x>0$ με $\lambda >0$ να βρείτε την εφαπτομένη $(\varepsilon )$ της γραφικής παράστασης της

,

ώστε τα σημεία της

, να είναι όλα πάνω από τα σημεία της $(\varepsilon )$ εκτός του σημείου επαφής

Γ) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση $F(x)=\int\limits_{1}^{\ln x}{({{e}^{t}}-et)dt}$

Δ) Αν a>0

να δείξετε ότι $\int\limits_{1}^{a}{({{e}^{t}}-et)dt}>1-\frac{e}{2}$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

perpant · #127

KAKABASBASILEIOS έγραψε:...δημιουργώντας από τις ασκήσεις του σχολικού....

ΑΣΚΗΣΗ 163

Α) Να βρεθεί η μεγαλύτερη τιμή του για την οποία ισχύει $x-x\ln x\ge 0$

Β) Αν $f(x)=x-\lambda \ln x,\,\,\,x>0$ με $\lambda >0$ να βρείτε την εφαπτομένη $(\varepsilon )$ της γραφικής παράστασης της ,

ώστε τα σημεία της , να είναι όλα πάνω από τα σημεία της $(\varepsilon )$ εκτός του σημείου επαφής

Γ) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση $F(x)=\int\limits_{1}^{\ln x}{({{e}^{t}}-et)dt}$

Δ) Αννα δείξετε ότι $\int\limits_{1}^{a}{({{e}^{t}}-et)dt}>1-\frac{e}{2}$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

A) Έχουμε $\displaystyle{x - x\ln x \ge 0 \Rightarrow x\left( {1 - \ln x} \right) \ge 0 \Rightarrow 1 - \ln x \ge 0 \Rightarrow \ln x \le \ln e \Rightarrow x \le e}$ . Άρα η μεγαλύτερη τιμή για την οποία

ισχύει $\displaystyle{x - x\ln x \ge 0}$ είναι η $\displaystyle{x = e}$

Β) Η συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right) = x - l \cdot \ln x,x}$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με $\displaystyle{f'\left( x \right) = 1 - \frac{l}{x}}$ και $\displaystyle{f''\left( x \right) = \frac{l}{{x^2 }} > 0}$ για κάθε $\displaystyle{x > 0}$ .

Οπότε η $\displaystyle{f}$ κυρτή για $\displaystyle{x > 0}$ και συνεπώς η εφαπτομένη σε οποιοδήποτε σημείο της γραφικής της παράστασης βρίσκεται κάτω από τη

γραφική παράσταση (εκτός από το σημείο επαφής).

Γ) Η συνάρτηση $\displaystyle{e^t - et}$ είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών και συνεπώς η συνάρτηση $\displaystyle{\int\limits_1^x {\left( {e^t - et} \right)} dt}$ είναι παραγωγίσιμη. Οπότε και η συνάρτηση $\displaystyle{F\left( x \right) = \int\limits_1^{\ln x} {\left( {e^t - et} \right)} dt }$ είναι παραγωγίσιμη ως σύνθεση παραγωγίσιμων. Τότε $\displaystyle{F'\left( x \right) = \left( {\int\limits_1^{\ln x} {\left( {e^t - et} \right)} dt} \right)^\prime = \left( {e^{\ln x} - e\ln x} \right)\frac{1}{x} = \frac{{x - e\ln x}}{x}}$ . Θεωρώ τη συνάρτηση $\displaystyle{g\left( x \right) = x - e\ln x,x > 0}$ . Η $\displaystyle{g}$ έχει

προφανή ρίζα $\displaystyle{x = e}$ και επιπλέον είναι παραγωγίσιμη με $\displaystyle{g'\left( x \right) = 1 - \frac{e}{x} = \frac{{x - e}}{x}}$ . Τότε $\displaystyle{g'\left( x \right) > 0 \Rightarrow x > e}$

και $\displaystyle{g'\left( x \right) < 0 \Rightarrow x < e}$ . Η $\displaystyle{g}$ λοιπόν είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{(0,e]}$ και γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{[e, + \infty )}$ και παρουσιάζει ελάχιστο για

$\displaystyle{x = e}$ το $\displaystyle{g\left( e \right) = e - e\ln e = 0}$ . Άρα $\displaystyle{g\left( x \right) \ge g\left( e \right) = 0}$ για κάθε $\displaystyle{x > 0}$ . Οπότε και $\displaystyle{F'\left( x \right) > 0}$ για κάθε $\displaystyle{x > 0}$ . Δηλαδή η $\displaystyle{F}$

γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\left( {0, + \infty } \right)}$

Δ)Για $\displaystyle{a > 0}$ έχουμε $\displaystyle{a > 0 \Rightarrow e^a > e^0 \Rightarrow e^a > 1 \Rightarrow F\left( {e^a } \right) > F\left( 1 \right)}$ Αφού η $\displaystyle{F}$ γνησίως αύξουσα. Τότε

$\displaystyle{F\left( {e^a } \right) > F\left( 1 \right) \Rightarrow \int\limits_1^{\ln e^a } {\left( {e^t - et} \right)dt > } \int\limits_1^{\ln 1} {\left( {e^t - et} \right)dt \Rightarrow } \int\limits_1^{\ln e^a } {\left( {e^t - et} \right)dt > } \int\limits_1^0 {\left( {e^t - et} \right)dt} }$ $\displaystyle{ \Rightarrow \int\limits_1^{\ln e^a } {\left( {e^t - et} \right)dt > } \left[ {e^t - \frac{{et^2 }}{2}} \right]^0 _1 = 1 - 0 - \left( {e - \frac{e}{2}} \right) = 1 - \frac{e}{2}}$

perpant · #128

ΑΣΚΗΣΗ 164η

Έστω η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{f:R \to R}$ για την οποία ισχύει $\displaystyle{f\left( x \right) = \int\limits_0^x {\frac{4}{{f^2 \left( t \right) + 1}}dt} }$ , για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ .

i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{R}$

ii) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει ένα σημείο καμπής, το οποίο και να βρείτε

iii) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f^3 \left( x \right) + 3f\left( x \right) = 12x}$

iv) Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{f\left( x \right) = x}$

v) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int\limits_0^3 {f\left( x \right)} dx}$

perpant · #129

ΑΣΚΗΣΗ 165η

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:\left[ {a,b} \right] \to R}$ με $\displaystyle{0 < a < b}$ τέτοια, ώστε για τους μιγαδικούς $\displaystyle{z_1 = a + if\left( a \right)}$ και

$\displaystyle{z_2 = b + if\left( b \right)}$ να ισχύει $\displaystyle{w = \frac{{z_1 }}{{z_2 }} \in R}$ .

i) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\left| {z_1 + iz_2 } \right| = \left| {z_1 - iz_2 } \right|}$

ii) Να αποδείξετε ότι ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος $\displaystyle{Rolle}$ για την συνάρτηση $\displaystyle{g\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{x} }$ στο διάστημα $\displaystyle{\left[ {a,b} \right]}$

iii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων

iv) Αν ισχύει $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \int\limits_a^x {\frac{{f\left( {x + a - t} \right)}}{{\left( {x - a} \right)\left( {x + a - t} \right)}}dt = 1} }$ , να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle{f'\left( x \right) = 1}$ έχει λύση στο διάστημα $\displaystyle{\left( {a,b} \right)}$

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #130

perpant έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 165η

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:\left[ {a,b} \right] \to R}$ με $\displaystyle{0 < a < b}$ τέτοια, ώστε για τους μιγαδικούς $\displaystyle{z_1 = a + if\left( a \right)}$ και

$\displaystyle{z_2 = b + if\left( b \right)}$ να ισχύει $\displaystyle{w = \frac{{z_1 }}{{z_2 }} \in R}$ .

i) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\left| {z_1 + iz_2 } \right| = \left| {z_1 - iz_2 } \right|}$

ii) Να αποδείξετε ότι ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος $\displaystyle{Rolle}$ για την συνάρτηση $\displaystyle{g\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{x} }$ στο διάστημα $\displaystyle{\left[ {a,b} \right]}$

iii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων

iv) Αν ισχύει $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \int\limits_a^x {\frac{{f\left( {x + a - t} \right)}}{{\left( {x - a} \right)\left( {x + a - t} \right)}}dt = 1} }$ , να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle{f'\left( x \right) = 1}$ έχει λύση στο διάστημα $\displaystyle{\left( {a,b} \right)}$

ΛΥΣΗ

i . $\displaystyle{w \in R \Leftrightarrow w = \overline w \Leftrightarrow \frac{{z_1 }}{{z_2 }} = \frac{{\overline {z_1 } }}{{\overline {z_2 } }} \Leftrightarrow z_1 \overline {z_2 } = \overline {z_1 } z_2 \Leftrightarrow \left( {\alpha + if(\alpha )} \right)\left( {\beta - if(\beta )} \right) = \left( {\alpha - if(\alpha )} \right)\left( {\beta + if(\beta )} \right) \Leftrightarrow \alpha f(\beta ) = \beta f(\alpha ) }$

$\displaystyle{ \left| {z_1 + iz_2 } \right| = \left| {z_1 - iz_2 } \right| \Leftrightarrow \left| {\alpha + if(\alpha ) + i\left( {\beta + if(\beta )} \right)} \right| = \left| {\alpha + if(\alpha ) - i\left( {\beta + if(\beta )} \right)} \right| \Leftrightarrow \left| {\alpha + if(\alpha ) + i\beta - f(\beta )} \right| = \left| {\alpha + if(\alpha ) - i\beta + f(\beta )} \right| \Leftrightarrow }$

Ακόμα, $\displaystyle{ \left| {\left( {\alpha - f(\beta )} \right) + i(f(\alpha ) + \beta )} \right| = \left| {\left( {f(\beta ) + \alpha } \right) + i(f(\alpha ) - \beta )} \right| \Leftrightarrow \sqrt {\left( {\alpha - f(\beta )} \right)^2 + (f(\alpha ) + \beta )^2 } = \sqrt {\left( {f(\beta ) + \alpha } \right)^2 + (f(\alpha ) - \beta )^2 } \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \left( {\alpha - f(\beta )} \right)^2 + (f(\alpha ) + \beta )^2 = \left( {f(\beta ) + \alpha } \right)^2 + (f(\alpha ) - \beta )^2 \Leftrightarrow - 2\alpha f(\beta ) + 2\beta f(\alpha ) = 2\alpha f(\beta ) - 2\beta f(\alpha ) \Leftrightarrow \alpha f(\beta ) = 2f(\alpha ) }$

Επομένως $\left| {z_1 + iz_2 } \right| = \left| {z_1 - iz_2 } \right|$

ii. H $\displaystyle{g(x) = \frac{{f(x)}}{x},x \in [\alpha ,\beta ],0 < \alpha < \beta }$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{[\alpha ,\beta ]}$ ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων, παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{x \in (\alpha ,\beta )}$ και $\displaystyle{g(\alpha ) = \frac{{f(\alpha )}}{\alpha }}$ ενώ $\displaystyle{ g(\beta ) = \frac{{f(\beta )}}{\beta }}$ .

Όμως $\displaystyle{\alpha f(\beta ) = \beta f(\alpha ) \Leftrightarrow \frac{{f(\alpha )}}{\alpha } = \frac{{f(\beta )}}{\beta } \Leftrightarrow g(\alpha ) = g(\beta ) }$ .Συνεπώς η $\displaystyle{g}$ ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος του $\displaystyle{Rolle}$ στο $\displaystyle{[\alpha ,\beta ]}$

iii. Οπότε υπάρχει τουλάχιστον ένα $\displaystyle{\xi \in (\alpha ,\beta )}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{ g'(\xi ) = 0 \Leftrightarrow \frac{{\xi f'(\xi ) - f(\xi )}}{{\xi ^2 }} = 0 \Leftrightarrow f'(\xi ) = \frac{{f(\xi )}}{\xi },\xi \in (\alpha ,\beta )}$

Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ στο $\displaystyle{\xi }$ είναι η
$\displaystyle{y - f(\xi ) = f'(\xi )(x - \xi ) \Leftrightarrow y - f(\xi ) = \frac{{f(\xi )}}{\xi }(x - \xi ) \Leftrightarrow y = \frac{{xf(\xi )}}{\xi }}$

Επειδή οι συντεταγμένες του $\displaystyle{{\rm O}(0,0)}$ επαλυθεύουν την εξίσωση της εφαπτομένης, έχουμε ότι υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων

iv. Θέτω $\displaystyle{x + \alpha - t = u}$ , έχουμε $\displaystyle{dt = - du}$ . Για $\displaystyle{t = \alpha \Rightarrow u = x}$ ενώ για $\displaystyle{t = x \Rightarrow u = \alpha }$ .

Επομένως $\displaystyle{ \int\limits_\alpha ^x {\frac{{f(x + \alpha - t)}}{{(x - \alpha )(x + \alpha - t)}}} dt = \int\limits_x^\alpha { - \frac{{f(u)}}{{(x - \alpha )u}}} du = \int\limits_a^\chi {\frac{{f(u)}}{{(x - \alpha )u}}} du }$

Συνεπώς έχουμε οτι $\displaystyle{ 1 = \mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } \int\limits_a^\chi {\frac{{f(u)}}{{(x - \alpha )u}}} du = \mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } \frac{{\int\limits_\alpha ^x {g(u)du} }}{{(x - \alpha )}}\mathop = \limits^{\frac{0}{0}DLH} \mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } g(x) = g(a) }$ .

Συνεπώς $\displaystyle{g(\alpha ) = 1 \Leftrightarrow \frac{{f(\alpha )}}{\alpha } = 1 \Leftrightarrow f(\alpha ) = \alpha }$

Οπότε $\displaystyle{\beta f(\alpha ) = \alpha f(\beta ) \Leftrightarrow f(\beta ) = \beta }$

Θεωρώ $\displaystyle{h(x) = f(x) - x,x \in [\alpha ,\beta ]}$
Η $\displaystyle{h}$ συνεχής στο $\displaystyle{[\alpha ,\beta ]}$ , παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{(\alpha ,\beta )}$ και $\displaystyle{ h(\alpha ) = f(\alpha ) - \alpha = 0}$ , $\displaystyle{h(\beta ) = f(\beta ) - \beta = 0}$ .

Συνεπώς από θεώρημα $\displaystyle{Rolle}$ υπάρχει ένα τουλάχιστον $\displaystyle{x_0 \in (\alpha ,\beta )}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{h'(x_0 ) = 0 \Leftrightarrow f'(x_0 ) - 1 = 0 \Leftrightarrow f'(x_0 ) = 1}$ .

Επομένως η εξίσωση $\displaystyle{f'(x) = 1}$ έχει μια τουλάχιιστον ρίζα στο διάστημα $\displaystyle{(\alpha ,\beta )}$

#131

perpant έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 164η

Έστω η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{f:R \to R}$ για την οποία ισχύει $\displaystyle{f\left( x \right) = \int\limits_0^x {\frac{4}{{f^2 \left( t \right) + 1}}dt} }$ , για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ .

i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{R}$

ii) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει ένα σημείο καμπής, το οποίο και να βρείτε

iii) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f^3 \left( x \right) + 3f\left( x \right) = 12x}$

iv) Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{f\left( x \right) = x}$

v) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int\limits_0^3 {f\left( x \right)} dx}$

...είναι παρόμοια με την 153 του Δημήτρη...δίνω μία αντιμετώπιση στα διαφορετικά ερωτήματα και βλέπουμε...

ΛΥΣΗ

i) Επειδή η $\frac{4}{{{f}^{2}}(x)+1}$ είναι συνεχής στο

η $f(x)=\int\limits_{0}^{x}{\frac{4}{{{f}^{2}}(t)+1}dt}$

είναι παραγωγίσιμη με ${f}'(x)=\frac{4}{{{f}^{2}}(x)+1}$ και η {f}'

τότε παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων

ii) Έχουμε από ${f}'(x)=\frac{4}{{{f}^{2}}(x)+1}>0$ ότι ${{f}'}'(x)=-\frac{4({{f}^{2}}(x)+1{)}'}{{{({{f}^{2}}(x)+1)}^{2}}}=-\frac{8f(x){f}'(x)}{{{({{f}^{2}}(x)+1)}^{2}}}$ (1)

τώρα επειδή είναι f(0)=0

και

η

θα είναι γνήσια αύξουσα άρα ${{x}_{0}}=0$

μοναδική ρίζα της f(x)=0

άρα και της {f}''

λόγω της ισότητας (1)

και επίσης αφού ισχύει για x>0

ότι

από (1) θα ισχύει ${f}''(x)<0,\,\,x>0$

άρα η

κοίλη στο $[0,\,\,+\infty )$ και επειδή για x<0

ότι

από (1) θα ισχύει ${f}''(x)>0,\,\,x<0$

άρα η

κυρτή στο $(-\infty ,\,\,0]$ άρα το $O(0,\,0)$ είναι το μοναδικό σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της

iii) Από ${f}'(x)=\frac{4}{{{f}^{2}}(x)+1}$ θα ισχύει ότι ${{f}^{2}}(x){f}'(x)+{f}'(x)=4$ ή ότι $3{{f}^{2}}(x){f}'(x)+3{f}'(x)=12$

άρα $({{f}^{3}}(x)+3f(x){)}'=(12x{)}',\,\,\,x\in R$ επομένως ότι ${{f}^{3}}(x)+3f(x)=12x+c$ και αφού f(0)=0

προκύπτει ότι c=0

άρα και ${{f}^{3}}(x)+3f(x)=12x,\,\,\,x\in R$

iv) Προφανής ρίζα της f(x)=x

είναι η

τώρα αν υπάρχει ${{x}_{0}}\ne 0$ ώστε να ισχύει

$f({{x}_{0}})={{x}_{0}}$ τότε από ${{f}^{3}}(x)+3f(x)=12x$ θα ισχύει ότι

${{f}^{3}}({{x}_{0}})+3f({{x}_{0}})=12{{x}_{0}}\Leftrightarrow x_{0}^{3}+3{{x}_{0}}=12{{x}_{0}}\Leftrightarrow x_{0}^{3}+9{{x}_{0}}=0$ που αφού ${{x}_{0}}\ne 0$

προκύπτει ότι $x_{0}^{2}+9=0$ που είναι άτοπο άρα μοναδική ρίζα της f(x)=x

είναι η

v) Αν $g(x)={{x}^{3}}+3x$ θα ισχύει από ${{f}^{3}}(x)+3f(x)=12x,\,\,\,x\in R$ ότι g(f(x))=12x

και επειδή

${g}'(x)=3{{x}^{2}}+3>0$ η

είναι γνήσια αύξουσα στο

άρα και αντιστρέψιμη και αφού το σύνολο τιμών της θα είναι

$g(R)=(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x),\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x))=(-\infty ,\,\,+\infty )$

το πεδίο ορισμού τη αντίστροφης θα είναι το

έτσι αφού από g(f(x))=12x

θα έχουμε $f(x)={{g}^{-1}}(12x)$ η

θα έχει σύνολο τιμών το σύνολο τιμών της ${{g}^{-1}}$ που είναι το πεδίο ορισμού της

δηλαδή το

έτσι αφού η

αντιστρέφεται (επειδή είναι γνήσια αύξουσα) με πεδίο ορισμού της ${{f}^{-1}}$ το

από την

${{f}^{3}}(x)+3f(x)=12x,\,\,\,x\in R$ θα έχουμε ότι

${{f}^{3}}({{f}^{-1}}(x))+3f({{f}^{-1}}(x))=12{{f}^{1}}(x),\,\,\,x\in R$ ή ${{x}^{3}}+3x=12{{f}^{1}}(x),\,\,\,x\in R$ ή $\frac{1}{12}{{x}^{3}}+\frac{1}{4}x={{f}^{1}}(x),\,\,\,x\in R$

μετά είναι όπως η απάντηση στην άσκηση 153 του Δημήτρη και με σχήμα οπότε την αφήνω
και αν είναι κάνουμε επικόλληση την απάντηση….

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #132

Όντως η 164 είναι το αδελφάκι της 153, ίδια δεδομένα, αλλά ζήτάει τα ίδια με άλλο τρόπο. Είχα ζήτήσει απο τον Περικλή, με προσωπικό μήνυμα να αντικατασταθεί. Δεν περίμένα, να λύθεί τόσο γρήγορα (για αυτό και δεν έκανα δημοσίευση), αλλά δεν υπολόγισα τον Βασίλη

.Για να μην χάθεί η λύση του Βασίλη, προτείνω να την αφήσουμε, οπως έχει.

Μέχρι τώρα, έχουν μείνει χωρίς λύση οι ασκήσεις 135,158 και 160.Τις βάζω και σε αυτή την δημοσίευση, ώστε να μην ψάχνουμε
Ελπίζω να μην έχω ξεχάσει κάποια

dennys έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 135

Δίνεται η συνεχής συναρτηση $f(x): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ,και $\int_0^{f(x)} \cfrac{du}{\sqrt{(1+u^2)}}=x$ .

1) Να δειχθει οτι:

2) Nα βρείτε την μονοτονία και τα ακρότατα της

3) Nα βρείτε τo σύνολο τιμών της

4) Aν ειναι η παραγωγίσιμη να δείξετε οτι η , είναι σταθερή.

5) Να βρεθεί ο τύπος της

Φιλικα dennys

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 158
Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{}$ $\displaystyle{f:R\to R}$ συνεχής στο $\displaystyle{\text{R}}$ με $\displaystyle{\text{f}}$ γνησίως φθίνουσα και η $\displaystyle{\text{g}}$ με $\displaystyle{g(x)=\int_{0}^{1}{f(xt)dt}}$ ,

Α1. Να δειχτεί ότι η $\displaystyle{\text{g}}$ γράφεται $\displaystyle{g(x)=\left\{ \begin{matrix} \frac{\int_{0}^{x}{f(t)dt}}{x}, & x\ne 0 \\ f(0), & x=0 \\ \end{matrix} \right.}$

Α2. Να δειχτεί ότι η $\displaystyle{\text{g}}$ είναι συνεχής

Α3. Να δειχτεί ότι η $\displaystyle{\text{g}}$ παραγωγίσιμη στο R αν $\displaystyle{{f}'\left( 0 \right)\in R}$

Α4. Να δειχτεί ότι για κάθε $\displaystyle{x>0}$ υπάρχει $\displaystyle{\xi >0}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{f\left( \xi \right)=\int_{0}^{x}{\frac{f(t)}{x}dt}}$

Α5. Να μελετηθεί η $\displaystyle{\text{g}}$ ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.

Α6. Να δειχτεί ότι υπάρχει $\displaystyle{\xi \in \left( 0,1 \right)}$ τέτοιο ώστε $\int_{1}^{\xi }{f(t)dt=-2\xi f(\xi )}$

perpant έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 160η

Έστω η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{f:R \to R}$ για την οποία ισχύει $\displaystyle{f\left( x \right) = 5x + 1 + \int\limits_0^x {f\left( u \right)\left( {x - u} \right)du} }$ , για κάθε $\displaystyle{x \in R }$ .

i) Να αποδείξετε ότι η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύει $\displaystyle{f''\left( x \right) = f\left( x \right)}$ , για κάθε $\displaystyle{x \in R}$

ii) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\int\limits_0^x {\left( {f''\left( t \right) - f\left( t \right)} \right)} e^t dt = 0}$ , για κάθε $\displaystyle{x \in R}$

iii) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\left( {f'\left( x \right) - f\left( x \right)} \right)e^x = 4}$

iv) Να βρείτε τον τύπο της f

v) Να αποδείξετε ότι η f είναι $\displaystyle{1 - 1}$ και να βρείτε την αντίστροφή της

dennys · #133

ΑΣΚΗΣΗ 160

1)Αρχικα "σπάω" το ολοκλήρωμα και εχω $f(x)=5x+1+\int_0^x{xf(u)du}-\int_0^x{uf(u)du}$

παραγωγίζω και $f{'}(x)=5+\int_0^xf(u)du+xf(x)-xf(x)\Rightarrow f{'}{'}(x)=f(x)$

2)για x=0

ισχύει .για x>0 , x<0

απο 1) ισχύει.

3) απο το 1) εχουμε f{'}{'}(x)=f(x)

αρκει να δείξω οτι η συνάρτηση $h(x)=[f{'}(x)-f(x)]e^x$

είναι σταθερη με τιμη σταθερότητας το 4. Ετσι $h{'}(x)=[f{'}{'}(x)-f{'}(x)]e^x+(f{'}(x)-f(x))e^x=(f{'}{'}(x)-f(x))e^x=0$

αρα $h{'}(x)=c , x=0\rightarrow f(0)=1,f{'}(0)=5$ αρα h(0)=(5-1)e^0=4

αρα $(f{'}(x)-f(x))e^x=4$

4) Eχουμε απο το 3) $f{'}(x)-f(x)=4e^{-x} \Rightarrow f{'}(x)e^{-x}+(e^{-x}){'}f(x)=4e^{-2x} \Rightarrow (f(x)e^{-x}){'}=(-2e^{-2x}){'}$

$f(x)e^{-x}=-2e^{-2x}+c \Rightarrow x=0 c=3 \Rightarrow f(x)=-2e^{-x}+3e^x$

5) Ειναι $f{'}=2e^{-x}+3e^x>0 ,f(x) \nearrow \Rightarrow f(x) "1-1" ,f(x)=y \Rightarrow 3e^{2x}-ye^x-2=0$

για $e^x=t \Rightarrow 3t^2-yt-2=0 \Rightarrow D=y^2+24>0 t_{1,2}=\cfrac{y\pm\sqrt{y^2+24}}{6}$

αρα $f^{-1}(x)=ln[\cfrac{x+\sqrt{x^2+24}}{6}]$

φιλικά dennys

#134

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:
dennys έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 135

Δίνεται η συνεχής συναρτηση $f(x): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ,και $\int_0^{f(x)} \cfrac{du}{\sqrt{(1+u^2)}}=x$ .

1) Να δειχθει οτι:

2) Nα βρείτε την μονοτονία και τα ακρότατα της

3) Nα βρείτε τo σύνολο τιμών της

4) Aν ειναι η παραγωγίσιμη να δείξετε οτι η , είναι σταθερή.

5) Να βρεθεί ο τύπος της

Φιλικα dennys

Μια λύση:

Θα βρω κατευθείαν τον τύπο, οπότε τα προηγούμενα ερωτήματα θα είναι ημιπροφανή:

Επειδή ισχύει $\displaystyle{\Big(\ln (x+\sqrt{x^2+1})\Big)'=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}},}$

η δεδομένη γράφεται

$\displaystyle{\ln (u+\sqrt{u^2+1})\Big|_{0}^{f(x)}=x,}$ άρα $\displaystyle{\ln (f(x)+\sqrt{f^2(x)+1})=x}$ , οπότε $\displaystyle{f(x)+\sqrt{f^{2}(x)+1}=e^x}$ (1)

Αυτή η σχέση γράφεται και ως $\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{f^{2}(x)+1}-f(x)}=e^x}$ , δηλαδή

$\displaystyle{\sqrt{f^{2}(x)+1}-f(x)=e^{-x}.}$ (2)

Με αφαίρεση κατά μέλη των (1),(2) προκύπτει $\displaystyle{\boxed{f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}}}$

Τώρα, το i) είναι προφανές. Για το ii) βλέπουμε ότι $\displaystyle{f'(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}>0}$ άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ και δεν έχει ακρότατα.

Επίσης, επειδή είναι $\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty}$ και $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty}$ , είναι $\displaystyle{f(\mathbb{R})=\mathbb{R}.}$

Τέλος, το iv) είναι επίσης προφανές.

parmenides51 · #135

dennys έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 135

Δίνεται η συνεχής συναρτηση $f(x): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ,και $\int_0^{f(x)} \cfrac{du}{\sqrt{(1+u^2)}}=x$ .

1) Να δειχθει οτι:

2) Nα βρείτε την μονοτονία και τα ακρότατα της

3) Nα βρείτε τo σύνολο τιμών της

4) Aν ειναι η παραγωγίσιμη να δείξετε οτι η , είναι σταθερή.

5) Να βρεθεί ο τύπος της

Φιλικα dennys

εδώ

Για το word της συλλογής:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

perpant · #136

dennys έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 166η

Δινεται η συνάρτηση $f(x): (0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R},$ παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο

και $f{'}(x) \neq 0 ,\forall{x}>0.$ . Aν η γραφική παράσταση της περνά απο τα σημεία Α(1,1),Β(1/2,2)

και $g(x)=\int_2^{f(x)} \cfrac{1}{1-f(t)}{dt}$ τότε:

1) Να βρειτε το πεδίο ορισμού της g(x)

2) την μονοτονία και τα ακρότατα της g(x).

3) αν για καθε χ>0 ισχύει , τοτε να δείξετε οτι :

3a)

3b) Υπάρχει $x_o \in (0,1) : g{'}(x_o)=\cfrac{2}{x_o-1}$

3c)Υπάρχει $\xi \in(0,1): f{'}(\xi)=\frac{-3}{2}$

Φιλικα και μαθηματικα

dennys

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #137

ΑΣΚΗΣΗ 167

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση στο

συνάρτηση

, για την οποία ισχύουν: f(0)=1

καθώς και για κάθε $x\in [0,+\infty )$ {f}'(x)>f(x)

α. Να δείξετε ότι για κάθε $x\in [0,+\infty )$ ισχύει $f(x)>{{e}^{x}}$

β. Αν για κάθε $x\in (-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$ ισχύει $\int\limits_{0}^{x}{f(t)dt+2{{\alpha }^{x}}+{{e}^{x}}\ge 3},$ να προσδιορίσετε την τιμή του $\alpha \in (0,1)\cup (1,+\infty )$

γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση $\int\limits_{0}^{x}{f(t)dt+{{e}^{x}}=x+2}$ έχει τουλάχιστον μια λύση στο διάστημα (0,1)

19/3/2012 Εγινε τροποποιηση στην εκφώνηση της ασκησης.

#138

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 158
Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{}$ $\displaystyle{f:R\to R}$ συνεχής στο $\displaystyle{\text{R}}$ με $\displaystyle{\text{f}}$ γνησίως φθίνουσα και η $\displaystyle{\text{g}}$ με $\displaystyle{g(x)=\int_{0}^{1}{f(xt)dt}}$ ,

Α1. Να δειχτεί ότι η $\displaystyle{\text{g}}$ γράφεται $\displaystyle{g(x)=\left\{ \begin{matrix} \frac{\int_{0}^{x}{f(t)dt}}{x}, & x\ne 0 \\ f(0), & x=0 \\ \end{matrix} \right.}$

Α2. Να δειχτεί ότι η $\displaystyle{\text{g}}$ είναι συνεχής

Α3. Να δειχτεί ότι η $\displaystyle{\text{g}}$ παραγωγίσιμη στο R αν $\displaystyle{{f}'\left( 0 \right)\in R}$

Α4. Να δειχτεί ότι για κάθε $\displaystyle{x>0}$ υπάρχει $\displaystyle{\xi >0}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{f\left( \xi \right)=\int_{0}^{x}{\frac{f(t)}{x}dt}}$

Α5. Να μελετηθεί η $\displaystyle{\text{g}}$ ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.

Α6. Να δειχτεί ότι υπάρχει $\displaystyle{\xi \in \left( 0,1 \right)}$ τέτοιο ώστε $\int_{1}^{\xi }{f(t)dt=-2\xi f(\xi )}$
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Κατασκευη μου

ΛΥΣΗ

A1.Είναι για u=xt

το

και ακόμη $t=0\to u=0,\,\,\,t=1\to u=x$

Τώρα για $x\ne 0$ η $g(x)=\frac{1}{x}\int\limits_{0}^{1}{f(xt)(xdt)}$ επομένως η $g(x)=\frac{1}{x}\int\limits_{0}^{x}{f(u)du}$

και για x=0

είναι $g(0)=\int\limits_{0}^{1}{f(0)dt=f(0)}$

Α2. Είναι τώρα για $x\ne 0$ η

συνεχής ως πηλίκο συνεχών της

και της $\int\limits_{0}^{x}{f(u)du}$ ως

παραγωγίσιμης αφού η

είναι συνεχής.

Επίσης για το x=0

έχουμε

και $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,g(x)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\int\limits_{0}^{x}{f(u)du}}{x}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{1}=f(0)=g(0)$

άρα η

είναι συνεχής και στο x=0

οπότε σε όλο το

Α3. Για $x\ne 0$ είναι παραγωγίσιμη ως πηλίκο παραγωγίσιμων και για το x=0

έχουμε ότι

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)-g(0)}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{x}\int\limits_{0}^{x}{f(t)dt}-f(0)}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\int\limits_{0}^{x}{f(t)dt}-xf(0)}{{{x}^{2}}}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,$ $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{2x}=\frac{1}{2}{f}'(0)$

άρα παραγωγίσιμη και στο x=0

Α4. Για την $F(t)=\int\limits_{0}^{t}{f(u)du}$ που είναι παραγωγίσιμη με

{F}'(t)=f(t)

στο $[0,\,\,x]$ με x>0

ισχύουν οι προυποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής άρα υπάρχει

$\xi \in (0,\,\,x)$ ώστε ${F}'(\xi )=\frac{F(x)-F(0)}{x}\Leftrightarrow f(\xi )=\frac{F(x)}{x}=\int\limits_{0}^{x}{\frac{f(u)}{x}}du$

Α5. Είναι για x>0

ότι ${g}'(x)=\frac{xf(x)-\int\limits_{0}^{x}{f(t)dt}}{{{x}^{2}}}$

και επειδή από (Α4) ισχύει $f(\xi )x=\int\limits_{0}^{x}{f(u)}du$ θα έχουμε ότι

${g}'(x)=\frac{xf(x)-xf(\xi )}{{{x}^{2}}}=\frac{f(x)-f(\xi )}{x}<0$ γιατί είναι $\xi <x$ και

γνήσια φθίνουσα.

Άρα η

είναι γνήσια φθίνουσα στο $[0,\,\,+\infty )$

Τώρα για x<0

από ${g}'(x)=\frac{xf(x)-\int\limits_{0}^{x}{f(t)dt}}{{{x}^{2}}}$ επειδή με ανάλογο τρόπο δείχνουμε ότι υπάρχει

$\xi \in (x,\,\,0)$ ώστε $f(\xi )=\int\limits_{0}^{x}{\frac{f(u)}{x}}du\Leftrightarrow xf(\xi )=\int\limits_{0}^{x}{f(t)dt}$ ισχύει ότι

${g}'(x)=\frac{xf(x)-xf(\xi )}{{{x}^{2}}}=\frac{f(x)-f(\xi )}{x}>0$ γιατί είναι $\xi >x$ και

γνήσια φθίνουσα.

Άρα η

είναι γνήσια αύξουσα στο $(-\infty ,\,\,0]$ και επομένως στο ${{x}_{0}}=0$ θα έχει ολικό μέγιστο το g(0)=f(0)

...αναμένεται και το Α6....
Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #139

ΑΣΚΗΣΗ 168

Δίνεται κύρτη συνάρτηση $\displaystyle{f}$ : $\displaystyle{[0, + \infty ) \to R}$ με συνεχή δεύτερη παράγωγο, για την οποία ισχύει $\displaystyle{f(0) = 1}$ και $\displaystyle{\int\limits_0^1 {\frac{{f''(x) - f(x)}}{{e^x }}dx = \frac{{f'(1) + f(1) - e}}{e}} }$ .

α. Να αποδείξετε οτι $\displaystyle{f'(0) = 0}$

β. Να αποδείξετε οτι για κάθε $\displaystyle{x \in (0, + \infty )}$ ισχύει $\displaystyle{f(x) > 1}$

γ. Αν επιπλέον ισχύει οτι $\displaystyle{f(1) = 2}$ , να δείξετε οτι $\displaystyle{1 < \int\limits_0^1 {f(x)dx < \frac{3}{2}} }$

Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{g(x) = \int\limits_1^x {\left[ {f(t) - \ln \left( {f(t)} \right)} \right]dt,x} \in [0, + \infty )}$

δ.i. Να δείξετε οτι η $\displaystyle{g}$ είναι κυρτή

δ.ii Να αποδείξετε οτι για κάθε $\displaystyle{x \in (0, + \infty )}$ ισχύει $\displaystyle{e^{f(x)} > ef(x)}$

δ.iii. Να αποδείξετε οτι $\displaystyle{\int\limits_1^2 {e^{f(x) - 1} dx > \int\limits_1^2 {\ln \left( {f(x)} \right)dx} } }$

Β.Παπαδάκης (Η Επανάληψη, εκδόσεις Σαββάλας)

perpant · #140

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 167
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση στο συνάρτηση , για την οποία ισχύουν: καθώς και για κάθε $x\in [0,+\infty )$

α. Να δείξετε ότι για κάθε $x\in [0,+\infty )$ ισχύει $f(x)>{{e}^{x}}$

β. Αν για κάθε $x\in (-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$ ισχύει $\int\limits_{0}^{x}{f(t)dt+2{{\alpha }^{x}}+{{e}^{x}}\ge 3},$ να προσδιορίσετε την τιμή του $\alpha \in (0,1)\cup (1,+\infty )$

γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση $\int\limits_{0}^{x}{f(t)dt+{{e}^{x}}=x+2}$ έχει τουλάχιστον μια λύση στο διάστημα

α. Για κάθε $x\in [0,+\infty )$ έχουμε ${f}'\left( x \right)>f\left( x \right)\Rightarrow {f}'\left( x \right){{e}^{-x}}>f\left( x \right){{e}^{-x}}\Rightarrow$ ${f}'\left( x \right){{e}^{-x}}-f\left( x \right){{e}^{-x}}>0$ , οπότε ${{\left( f\left( x \right){{e}^{-x}} \right)}^{\prime }}>0$ .

Θεωρώ τη συνάρτηση $g\left( x \right)=f\left( x \right){{e}^{-x}}$ με $x\in [0,+\infty )$ . Η

συνεχής και γνησίως αύξουσα στο $[0,+\infty )$ .

Άρα για κάθε $x\in (0,+\infty )$ έχουμε $x>0\Rightarrow g\left( x \right)>g\left( 0 \right)\Rightarrow f\left( x \right){{e}^{-x}}>f\left( 0 \right){{e}^{0}}$
$\Rightarrow f\left( x \right){{e}^{-x}}>1\Rightarrow f\left( x \right)>{{e}^{x}}$

β.Για $\displaystyle{x>0}$ έχουμε $\int\limits_{0}^{x}{f(t)dt+2{{\alpha }^{x}}+{{e}^{x}}\ge 3}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{x}{f(t)dt\ge 3-2{{\alpha }^{x}}-{{e}^{x}}\overset{x>0}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,}\frac{\int\limits_{0}^{x}{f(t)dt}}{x}\ge \frac{3-2{{\alpha }^{x}}-{{e}^{x}}}{x}.$

Επειδή η

παραγωγίσιμη, είναι και συνεχής. Συνεπώς η συνάρτηση $h(x)=\int\limits_{0}^{x}{f\left( t \right)dt}$ είναι παραγωγίσιμη στο

, άρα και συνεχής. Οπότε $\displaystyle{\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \int\limits_{0}^{x}{f(t)dt} \right)=h(0)=0.}$

Επομένως, $\displaystyle{\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\int\limits_{0}^{x}{f(t)dt}}{x}\underset{{D}'LH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( f(x) \right)=f(0)}$ ,αφού η

συνεχής .

Ακόμα, $\displaystyle{\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{3-2{{\alpha }^{x}}-{{e}^{x}}}{x} \right)\underset{{D}'LH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{-2{{\alpha }^{x}}\ln \alpha -{{e}^{x}}}{1} \right)=-2\ln \alpha -1}$

Άρα $\displaystyle{f(0)\ge -2\ln \alpha -1}$ \displaystyle{\displaystyle{(1)} Για

\displaystyle{x<0} έχουμε

\int\limits_{0}^{x}{f(t)dt+2{{\alpha }^{x}}+{{e}^{x}}\ge 3}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{x}{f(t)dt\ge 3-2{{\alpha }^{x}}-{{e}^{x}}\overset{x<0}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,}\frac{\int\limits_{0}^{x}{f(t)dt}}{x}\le \frac{3-2{{\alpha }^{x}}-{{e}^{x}}}{x}. Επειδή η

f

h(x)=\int\limits_{0}^{x}{f\left( t \right)dt} είναι παραγωγίσιμη στο

R

\displaystyle{\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \int\limits_{0}^{x}{f(t)dt} \right)=h(0)=0} Επομένως,

\displaystyle{\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\int\limits_{0}^{x}{f(t)dt}}{x}\underset{{D}'LH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( f(x) \right)=f(0)} ,αφού η

f

\displaystyle{\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{3-2{{\alpha }^{x}}-{{e}^{x}}}{x} \right)\underset{{D}'LH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{-2{{\alpha }^{x}}\ln \alpha -{{e}^{x}}}{1} \right)=-2\ln \alpha -1.} Άρα

\displaystyle{f(0)\le -2\ln \alpha -1}} $\displaystyle{(2)}$

Από $\displaystyle{(1)}$ , $\displaystyle{(2)}$ έχουμε $\displaystyle{f(0)=-2\ln \alpha -1.}$ . Όμως f(0)=1,

οπότε $\displaystyle{-2\ln \alpha -1=1\Leftrightarrow -2\ln \alpha =2\Leftrightarrow \ln \alpha =-1\Leftrightarrow \alpha ={{e}^{-1}}=\frac{1}{e}}$

γ. Θεωρώ τη συνάρτηση $G\left( x \right)=\int\limits_{0}^{x}{f\left( t \right)dt+{{e}^{x}}-x-2}$ με $x\in \left[ 0,1 \right]$ . Η

συνεχής στο $\left[ 0,1 \right]$ ως πράξεις συνεχών και επιπλέον $G\left( 0 \right)=\int\limits_{0}^{0}{f\left( t \right)dt+{{e}^{0}}-0-2}=-1<0$ και $G\left( 1 \right)=\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)dt+e-1-2}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)dt+e-3}$ .

Από το (α) έχουμε $f\left( t \right)>{{e}^{t}}\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)dt>\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{t}}dt=\left[ {{e}^{t}} \right]_{0}^{1}}=e-1\Rightarrow }$ $\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)dt}>e-1\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)dt}+e-3>2e-4>0$

Άρα $G\left( 0 \right)\cdot G\left( 1 \right)<0$ και συνεπώς από το Θεώρημα Bolzano

υπάρχει ένα τουλάχιστον ${{x}_{1}}\in \left( 0,1 \right)$ τέτοιο ώστε $G\left( {{x}_{1}} \right)=0\Rightarrow \int\limits_{0}^{{{x}_{1}}}{f\left( t \right)dt+{{e}^{{{x}_{1}}}}-{{x}_{1}}-2}=0\Rightarrow \int\limits_{0}^{{{x}_{1}}}{f\left( t \right)dt+{{e}^{{{x}_{1}}}}={{x}_{1}}+2}$

EDIT: Έγινε τροποποίηση στη λύση, μετά την τροποποίηση στην εκφώνηση

ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΟΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Μέλη σε σύνδεση