Συναρτησιακές Εξισώσεις

#121

87.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle { f(xf(y))=f(xy)+x ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$
(viewtopic.php?f=111&t=14888)

88.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(x^{2}+xy+f(y))=\left(f(x)\right)^{2}+xf(y)+y ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=14917)

89.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(x+xy+f(y)) =\left(f(x)+\frac{1}{2}\right)\left(f(y)+\frac{1}{2}\right) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=14935)

90.
Θεωρούμε συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ τέτοια ώστε

$\displaystyle{ | f(x + y) + \sin x +\sin y| \leq 2 }$ , για κάθε $x, y \in \mathbb{R}.$

α) Να δείξετε ότι $|f(x)| \leq 1 + \cos x,$ για κάθε $x \in \mathbb{R}.$
β) Βρείτε παράδειγμα τέτοιας συνάρτησης για την οποία $f(x)\ne 0, \ \forall x \in (-\pi,\pi).$
(viewtopic.php?f=111&t=14934)

91.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle 2f(x) = f(x + y) + f(x + 2y) ,$ για κάθε $x \in \mathbb{R}, \ y \geq 0.$
(viewtopic.php?f=111&t=14981)

92.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(x^{3}+y^{3})=xf^{2}(x)+yf^{2}(y) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=14983)

93.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(x+yf(x))=f(f(x))+xf(y) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=14984)

94.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:Q^+ \to Q^+:$ $f(x)+f(y)+2xyf(xy)=\frac{f(xy)}{f(x+y)}$
(viewtopic.php?f=111&t=15021)

95.
Δίνεται συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $\displaystyle f(x + \sin x) \leq x \leq f(x) + \sin f(x),$ για κάθε $x \in \mathbb{R}.$

Να λυθεί η ανίσωση $f(x) \geq x.$
(viewtopic.php?f=56&t=15025)

96.
Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle x^2f(x)=f(x^2) ,$ για κάθε $x \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=56&t=15026)

97.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle (1 + yf(x))(1 - yf(x + y)= 1 ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$
(viewtopic.php?f=56&t=15027)

98.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(x) = \max_y (2xy-f(y)) ,$ για κάθε $x \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=15236)

99.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(1) = 1

και $\displaystyle f(x + f(y)) = f(x) + f(f(y)) + 3xy^6 + 3x^2f(y) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=15237)

100.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(x) f(y) = f(y) f(x f(y))+\frac{1}{xy},$ για κάθε x,y>0.

$\mathbb{R}^+=(0,+\infty)$
(viewtopic.php?f=111&t=15238)

#122

101.
Να βρεθούν οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , οι οποίες ικανοποιούν τη σχέση

$f(e^x+e^y)=f(x+y), \forall x \ge 0 \wedge \forall y \le 0$
(viewtopic.php?f=111&t=15274)

102.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f \left((x - y)^2\right) = f(x)^2 -2xf(y) + y^2 ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=15276)

103.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(xf(y) + x) = xy + f(x),$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=15277)

104.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(f(x)+xy) = f(x)\cdot f(y+1),$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=15278)

105.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(f(x) + y) = x + f(y + 2006) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{Z}.$
(viewtopic.php?f=111&t=15279)

106.
Να προσδιορίσετε όλα τα πολυώνυμα

, με πραγματικούς συντελεστές, τέτοια ώστε $\displaystyle xp(x)p(1 - x) + x^3 + 100 \geq 0 ,$ για κάθε $x \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=15275)

107. (ΕΜΕ, Άσκηση του Μήνα- Μάρτιος,Απρίλιος 2011)
Η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ικανοποιεί τη σχέση:

$\displaystyle{ \displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{2}f(x)=f(x+1)+f(x-1)}$ για κάθε $x \in \mathbb{R} \ \ \ \ \ \ (1).$

1) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

είναι περιοδική με περίοδο 10.

2) Να εξηγήσετε γιατί υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις που ικανοποιούν τη σχέση (1).

(viewtopic.php?f=111&t=15280)

108.
Έστω $a,b \in \mathbb{R}^*$ και $f: \mathbb{R} \to [0,+\infty)$ συνάρτηση με την ιδιότητα

$\displaystyle{f(x+a+b)+f(x)=f(x+a)+f(x+b), \forall x \in \mathbb{R}}$

1) Αν $\displaystyle{\frac {a}{b} \in \mathbb{Q}}$ , να αποδείξετε ότι η

είναι περιοδική.

2) Αν $\displaystyle{\frac {a}{b} \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}}$ , υπάρχει μη περιοδική συνάρτηση

που ικανοποιεί την παραπάνω σχέση;
(viewtopic.php?f=111&t=15178)

109.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με την ιδιότητα :

$\displaystyle{(x-2)f(y)+f(y+2f(x))= f(x+yf(x)), \qquad \forall x,y \in \mathbb R.}$
(viewtopic.php?f=111&t=15189)

110.
Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις $f\mathbb{R}\leftrightarrow\mathbb{R}$ ώστε να ισχύει

f(a +b - c) = f(a) + f(b) - f(c)

για κάθε

πραγματικούς.
(viewtopic.php?f=111&t=15281)

111.
Να βρεθούν οι συναρτήσεις $f,g: \mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις:

$f\left( g\left(x\right)-g\left(y\right) \right)=f\left(g\left(x\right) \right) \right)-y (1)$

$g\left( f\left(x\right)-f\left(y\right) \right)=g\left(f\left(x\right) \right) \right)-y (2)$

για κάθε $x,y \in \mathbb{Q}$ .
(viewtopic.php?f=58&t=14850)

112.
Αν για κάθε $x,y\in \mathbb{R}$ ισχύει $f(x)-f(y)\le {{(x-y)}^{2}}$ με f(e)=1

να βρείτε την f.
(viewtopic.php?f=53&t=12694)

113.
Δίνεται μια συνάρτηση $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $|f(a)-f(b)|<|a-b|,\forall a,b \in \mathbb{R},a\neq b$

Αν ισχύει f(f(f(0)))=0

να δειχθεί οτι: f(0)=0

(viewtopic.php?f=52&t=10634)

114.
Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το IR ικανοποιεί τη σχέση $f(2x+f(y))=x+y +f(f(x)) , \forall x ,y \in \mathbb R$ .
Να αποδειχθεί ότι η f είναι 1-1 και να βρεθούν όλες αυτές οι συναρτήσεις με τη δοσμένη ιδιότητα.
(viewtopic.php?f=52&t=7585)

#123

115.
Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , για τις οποίες ισχύουν τα εξής:

f(2)>1

,

και $f(f(x))=[f(x)]^{2n+1}, \forall x \in \mathbb{R}$ , όπου

είναι ένας θετικός ακέραιος.
(viewtopic.php?f=111&t=15317)

116.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x^2 + f(y))= (x - y)^2 \cdot f(x + y),$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=15324)

117.
Να προσδιορίσετε όλες τις μονότονες συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(xy)f\left(\frac{f(y)}{x}\right)=1,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+,$ όπου $\mathbb{R}^+=(0,+\infty).$
(viewtopic.php?f=111&t=15369)

118.
Να προσδιορίσετε όλες τις αύξουσες συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+_0 \rightarrow \mathbb{R}^+_0$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(yf(x))=x^2f(xy),$ για κάθε $x,y\geq 0,$ όπου $\mathbb{R}^+_0=[0,+\infty).$

Πιο γενικά:
Να προσδιορίσετε όλες τις μονότονες συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+_0 \rightarrow \mathbb{R}^+_0$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(yf(x))=x^2f(xy),$ για κάθε $x,y\geq 0,$ όπου $\mathbb{R}^+_0=[0,+\infty).$
(viewtopic.php?f=111&t=15370)

119.
α) Υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ τέτοια ώστε f(1 + xy) = f(x) + 2x(1 + xy - x),

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ ;

β) Υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R}^* \to \mathbb{R}$ τέτοια ώστε f(1 + xy) = f(x) + 2x(1 + xy - x),

για κάθε $x\ne 0,xy+1\ne 0$ ;
(viewtopic.php?f=111&t=15375)

120.
Να βρεθούν όλες οι διαφορίσιμες συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

$f(f(f(x)))=f(x)\geq 0$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .
(viewtopic.php?f=59&t=13862)

121.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ που ικανοποιούν τις σχέσεις : $f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1,\,\,$ για κάθε $x,y\in\mathbb{Q}$ και f(1)=2

(viewtopic.php?f=111&t=4277)

122.
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ τέτοιες ώστε: $f(m^2+f(n))=f(m)^2+n,\forall m,n \in \mathbb{N}$
(viewtopic.php?f=111&t=7799)

123.
Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{N}^*\to \mathbb{N}^*$ , με $\displaystyle{f(n)=\left[\frac {an+b}{cn+d}\right]}$ ,

όπου $a,b,c,d \in \mathbb{N}$ και $c+d \neq 0$ .

Να αποδειχθεί ότι η

είναι 1-1, αν και μόνον αν c=0

και $a \ge d$

([.]=ακέραιο μέρος)
(viewtopic.php?f=111&t=13478)

124.
Να βρεθουν ολες οι συναρτησεις $f,g: R \rightarrow R$ για τις οποιες:

$f(x - f(y)) = xf(y) - yf(x) + g(x) \forall x,y \in R$
(viewtopic.php?p=40371#p40371)

125.
Να βρεθούν οι γνησίως μονότονες και επί συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ για τις οποίες αληθεύει η σχέση

$\displaystyle{(f \circ f)(x+y)=f^{-1}(x)+f^{-1}(y), \forall x,y \in \mathbb{R}}$
(viewtopic.php?f=111&t=12696)

126.
Να βρεθούν οι τιμές των πραγματικών αριθμών a,b,c

έτσι ώστε να αληθεύει η σχέση $|ax^2+bx+c| \le |cx^2+bx+a|, \forall x \in \mathbb{R}$
(viewtopic.php?f=69&t=14577)

127.
Έστω $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ μία συνάρτηση με την ιδιότητα

$2^{1+f(x+1)} \ge 2^{f(x)}+2^{f(x+2)}, \forall x \in \mathbb{R}$

Αν υπάρχει το $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)$ , να αποδείξετε ότι η

είναι σταθερή.
(viewtopic.php?f=111&t=12452)

128.
Έστω $a\in\mathbb{R}$ και $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ τέθοια ώστε $f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)\,\,\,\,\,\forall x,y\in\mathbb{R}$ και $f(0)=\frac{1}{2}$ . Ας δειχθεί ότι η

είναι σταθερή.
(viewtopic.php?f=56&t=1135)

129.
Έστω $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ τέθοια ώστε $f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1\,\,\,\,\,\forall x,y \in\mathbb{R}$ και f(1)=1

. Να βρεθεί ο αριθμός των ακεραίων

για τους οποίους f(n)=n

.
(viewtopic.php?f=56&t=1135)

130.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(x+y)-2f(x-y)+f(x)-2f(y)=y-2,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=15379)

#124

131.
Αν $a \in \mathbb{R}$ και

θετικός ακέραιος, να βρεθούν οι 1-1 συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , οι οποίες

έχουν την ιδιότητα $f^{[n+1]}(x)+f^{[n]}(x)=a, \forall x \in \mathbb{R}$

( $f^{[1]}=f$ και $f^{[n+1]}=f \circ f^{[n]}$ )
(viewtopic.php?f=111&t=15467)

132.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $\displaystyle f:\mathbb{R}_{\geq 0} \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(1)=\frac{1}{2}$ και $f(y\cdot f(x))\cdot f(x) = f(x + y),$ για κάθε $x,y {\geq 0}.$
(viewtopic.php?f=111&t=15477)

133.
Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις $\displaystyle{f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}}$ , για τις οποίες ισχύει

$\displaystyle{f(x)+f(x^2)+f(x^4)=x^8-x+7lnx, \forall x>0}$
(viewtopic.php?f=111&t=15398)

134.
Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα

, με πραγματικούς συντελεστές, βαθμού $n \ge 1$ για τα οποία αληθεύει η σχέση

$\displaystyle{p(nx)=p^{\prime}(x)p^{\prime\prime}(x)p^{(3)}(x)\cdot \cdot \cdot p^{(n)}(x), \forall x \in \mathbb{R}}$
(viewtopic.php?f=27&t=15397)

135.
Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με τις ιδιότητες:
$f\left(g\left(x \right) \right)=g\left(f\left(x \right) \right)$ για κάθε $x\in R$ (1)
και
$2\left[f\left(g\left(x \right) \right) \right]^{4}+2=\left(g\left(x \right) \right)^{4}+g\left(x \right)^{3}$ για κάθε $x\in R$ (2).
Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει $c\in R$ τέτοιο, ώστε $f\left(c \right)=c$ .
(viewtopic.php?f=56&t=12300)

136.
Να βρείτε τις συναρτήσεις $f:(0,+\infty) \to \mathybb{R}$ με την ιδιότητα $\displaystyle{1+f(x-y) \leq (\frac {1}{x}-\frac {1}{y})^2(1+f(xy)), \forall x,y \in \(0,+\infty)}$ με x>y

(viewtopic.php?f=111&t=10741)

137.
Να βρεθεί η συνάρτηση $\displaystyle{f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}}$ , η οποία έχει την ιδιότητα $\displaystyle{|f(x)|\leq |xf(\{x\})|, \forall x \in \mathbb{R}}$ (οι αγκύλες σημαίνουν το κλασματικό μέρος του αριθμού)
(viewtopic.php?f=40&t=9987)

138.
Αν

είναι ένας φυσικός $\geq2$ , να βρεθεί η συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , για την οποία για κάθε $A\subset \mathbb{R}$ με card(A)=n

αληθεύει η σχέση f(A)=A

(viewtopic.php?f=111&t=10359)

139.
Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , οι οποίες έχουν την ιδιότητα $f(x)+y=f(x+f(y)), \forall x,y \in \mathbb{R}$
(viewtopic.php?f=61&t=7919)

140.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb R\to \mathbb R$ για τις οποίες ισχύει : $f\big(f(x+y)\big)=xf(x)+yf(y)$ για κάθε $x,y \in \mathbb R$
(viewtopic.php?f=111&t=9602)

141.
Να βρεθούν οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ για τις οποίες
$f^{\prime}(x+g(y))=g(x)+y, \forall x,y \in \mathbb{R}$
(viewtopic.php?f=61&t=10406)

142.
Δίνονται οι συναρτήσεις $f,g: R \rightarrow R^{*}$ για τις οποίες για κάθε $x_{1},x_{2},x_{3} \in R$

με $x_{1}<x_{2}<x_{3}$ ισχύει ότι $f(x_{1}).f(x_{2}).f(x_{3})=g(x_{1}).g(x_{2}).g(x_{3})$

Να αποδείξετε ότι f=g.
(viewtopic.php?f=52&t=15146)

143.
Έστω $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ μία γνησίως μονότονη συνάρτηση. Αν για τις μονότονες συναρτήσεις $h,g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ισχύει $g(f(x))=h(f(x))=x, \forall x \in \mathbb{R}$ , να αποδειχθεί ότι g=h

(viewtopic.php?f=64&t=15097)

144.
Ας είναι $f:\Big[0,1\Big] \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε f(0)=f(1)

και ας είναι $n \in \mathbb{N} \ n \ge 2$ . Να δειχθεί ότι υπάρχει $x \in (0,1)$ τέτοιο ώστε:

$\displaystyle{ f(x)=f\left( x+\frac{1}{n} \right)}$
(viewtopic.php?f=111&t=12195)

145.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x+y)f(x-y)=\left(f(x)+f(y)\right)^{2}-4x^{2}f(y),$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=15478)

#125

146.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $\displaystyle{f:[0,+\infty) \to [0,+\infty)}$ με

$\displaystyle{f(x^2+x) \le x \le f^2(x)+f(x), \forall x \ge 0}$
(viewtopic.php?f=109&t=15508)

147.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:[a,b] \to [a,b]$ για τις οποίες

$\displaystyle{f(f(x))+f(x)=2x, \forall x \in [a,b]}$
(viewtopic.php?f=111&t=15509)

148.
Αν a,b

θετικοί ακέραιοι, να βρεθούν οι συναρτήσεις $f:\mathbb{Z} \to \mathbb{N}$ με την ιδιότητα

$af(x-1)+bf(x)=(a+b)f(x+1), \forall x \in \mathbb{Z}$
(viewtopic.php?f=111&t=15549)

149.
Να βρεθούν οι συναρτήσεις $f:\mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ που ικανοποιούν τη σχέση

$\displaystyle{f(x+y)=min\{f(x),f(f(y))\}+max\{f(f(x)),f(y)\}, \forall x,y \in \mathbb{Q}}$
(viewtopic.php?f=111&t=15554)

150.
Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με την ιδιότητα

$\displaystyle{f(x)=\int_0^{sinx}f(t)dt, \forall x \in \mathbb{R}}$
(viewtopic.php?f=9&t=15568)

151.
Έστω

ένα σύνολο αριθμών και $f:A \to A$ μία συνάρτηση, για την οποία ισχύει

$f(a)-f(b)=a-b, \forall a,b \in A$ . Να αποδειχθεί ότι το

είναι απειροσύνολο ή η

είναι η ταυτοτική.
(viewtopic.php?f=111&t=15535)

152.
Αν m,n

είναι θετικοί ακέραιοι και

το σύνολο των συναρτήσεων $f:\{1,2,...,m\}\to \{\pm1,\pm2,...,\pm n\}$ ώστε $\displaystyle \frac {|f(x)|-|f(y)|}{x-y}>0, \forall x,y \in \{1,2,...,m\}, x \neq y$ .
Να αποδείξετε ότι $m \le n$ και να βρείτε το πλήθος των στοιχείων του

(viewtopic.php?f=111&t=14155)

153.
Έστω $n \in \mathbb{N}$ , τέτοιο ώστε $\sqrt {n} \notin \mathbb{N}$ και $A=\{ a+b \sqrt {n}/ a,b \in \mathbb{N}, a^2-nb^2=1 \}$
Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση $f:A \to \mathbb{N}, f(x)=[x]$ είναι 1-1, αλλά όχι επί. ( $\mathbb{N}=\{1,2,...\}$ )
(viewtopic.php?f=111&t=7438)

154.
Δίνονται οι παραγωγίσιμες στους πραγματικούς συναρτήσεις $\displaystyle{ f,g }$ (μή σταθερές),για τις οποίες ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} f(x + y) = f(x)f(y) - g(x)g(y),\forall x,y \in R \\ g(x + y) = f(x)g(y) + f(y)g(x),\forall x,y \in R \\ \end{array} }$

Αν είναι γνωστό πως $\displaystyle{ f'(0) = 0 }$ τότε να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{ f^2 (x) + g^2 (x) = 1,\forall x \in R }$
(viewtopic.php?f=61&t=15007)

155.
Να βρεθούν όλες οι πολυωνυμικές συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , με ακέραιους συντελεστές, οι οποίες είναι 1-1 και ικανοποιούν τη σχέση $f^2(x)=f(x^2)-2f(x)+a, \forall x \in \mathbb{R}$ , όπου $a \in \mathbb{R}$
(viewtopic.php?f=111&t=6874)

156.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:R\rightarrow R$ οι οποίες για κάθε $x,y\epsilon R$ ικανοποιούν την ισότητα:
$\displaystyle f([x]y)=f(x)[f(y)]$ όπου [x]

είναι ο μέγιστος ακέραιος,μικρότερος ή ίσος του

(viewtopic.php?f=50&t=8234, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 4&t=356075&)

157.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις

, με πεδίο ορισμού το σύνολο των θετικών ακεραίων και με τιμές στο σύνολο των θετικών ακεραίων, που είναι τέτοιες ώστε για όλους τους θετικούς ακεραίους

και

να υπάρχει (μη εκφυλισμένο) τρίγωνο $(\star)$ με μήκη πλευρών $a, \ \ f(b)$ και $f\left(b+f(a)-1\right)$ .

$(\star)$ Ένα τρίγωνο είναι μη εκφυλισμένο, αν οι κορυφές του δε βρίσκονται σε μία ευθεία.
(viewtopic.php?f=50&t=2094, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 0&t=289055&)

158.
'Εστω $N^{*} = \{1,2,3,...\}$ το σύνολο των θετικών ακεραίων. Βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f: N^{*}\to N^{*}$ που είναι τέτοιες ώστε

f(f^2(m) + 2f^2(n)) = m^2 + 2n^2

για κάθε $m,n\in N^{*}$ .
(viewtopic.php?f=50&t=1253, http://rms.unibuc.ro/gazeta/gmb/2009/7-8-9/articol.pdf, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=274322&)

159.
Να προσδιορίσετε όλα τα πολυώνυμα

, με πραγματικούς συντελεστές, τέτοια ώστε p(0)=0

και $\displaystyle { p \left( (x+1)^3 \right) = (p(x)+1)^3 }.$
(viewtopic.php?f=111&t=15622)

160.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f\left( \frac{x-3}{x+1} \right )+f \left( \frac{x+3}{1-x} \right) = x ,$ για κάθε $x \in \mathbb{R}-\{-1,1\}.$
(viewtopic.php?f=111&t=15620)

#126

161.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(x+y)+f(xy)=x+y+xy ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+,$ όπου $\mathbb{R}^+=(0,+\infty).$
(viewtopic.php?f=111&t=15654)

162.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle {x^2y^2 \left( f(x + y) - f(x) - f(y) \right) = 3(x + y)f(x)f(y) },$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=15656)

163.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle {f\left( f \left(\frac{x+y}{2} \right)\right)=f(x+y) \cdot f(x-y),$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=15660)

164.
Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(x+f(y))=y+f(x+1) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=15661)

165.
Να δείξετε ότι υπάρχουν άπειρες συνεχείς συναρτήσεις $f: [0,+\infty) \to [0,+\infty)$ τέτοιες ώστε f(1)=1

και $f(f(x))=f^2(x), \ \forall x \in [0,+\infty),$
ενώ μοναδική μη σταθερή παραγωγίσιμη με αυτές τις ιδιότητες.
(viewtopic.php?f=111&t=15781)

166.
Να προσδιορίσετε όλες τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle \frac{f(x)-f(y)}{x-y}\geq \max \{f^{\prime}(x),f^{\prime}(y)\} ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}, \ x\ne y.$
(viewtopic.php?f=56&t=15782)

167.
Να βρεθούν τα πολυώνυμα P(x)

( $x \in \mathbb{R}$ ) που είναι τέτοια ώστε P(x^2) +P(x)P(x+1)=0

.
Αν αντί για πολυώνυμο είχαμε συνάρτηση?
(viewtopic.php?f=111&t=15682)

168.
Έστω f(x)

τετραγωνικό πολυώνυμο.
Να δείξετε ότι υπάρχουν τετραγωνικά πολυώνυμα g(x),h(x)

τέτοια ώστε f(x)f(x + 1) = g(h(x)).

(viewtopic.php?f=111&t=15783)

169.
Θεωρούμε την ακολουθία $\{x_n\}_{n\geq 0}$ που ορίζεται ως $x_0=1,\ x_1=41, \ x_{n+2}=3x_n+\sqrt{8(x_n^2+x^2_{n+1})}, \ n\geq 0.$

Να δείξετε ότι η ακολουθία αποτελείται από όρους που είναι φυσικοί αριθμοί και να βρείτε κλειστό τύπο για την x_n.

(viewtopic.php?f=111&t=15780)

170.
Να βρεθούν όλες οι 1-1, συνεχείς και επί συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , για τις οποίες

$f(x)f(y)+f(x)+f(y)=f(xy)+a, \forall x,y \in \mathbb{R}$ , όπου

σταθερός πραγματικός αριθμός.
(viewtopic.php?f=59&t=15766)

171.
Δείξτε ότι για κάθε συνάρτηση $\varphi : (1,+\infty) \to \mathbb{R}$ υπάρχει μοναδική συνάρτηση $f:(1,+\infty)\to \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $\sin f(t) + tf(t) = \varphi(t), \forall t \in (1,+\infty)$ .

Επιπλέον, αν η $\varphi$ είναι συνεχής, τότε και η

είναι συνεχής, ενώ αν η $\varphi$ είναι παραγωγίσιμη το ίδιο ισχύει και για την

(viewtopic.php?f=56&t=15657)

172.
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με f(x)=ax^2+bx+c

, οι οποίες έχουν

την ιδιότητα για κάθε $n \in \mathbb{N}^*$ και για κάθε $x \in [n,n+1]$ , αληθεύει η πρόταση

$f(x) \in [n^2-2n,n^2-1]$
(viewtopic.php?f=111&t=14601)

#127

173.
Να βρεθούν όλες οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$ για τις οποίες

$\displaystyle{f\left(e^{f(x)}\right)=f(x), \forall x>0}$
(viewtopic.php?f=59&t=15888)

174.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle xf(y)+yf(x)=(x+y)f(xy)-xyf(x+y),$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=15901)

175.
Υπάρχει γνησίως αύξουσα συνάρτηση $f :\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $f^{\prime}(x) = f(f(x)),$ για κάθε

; (Putnam 2010)
(viewtopic.php?f=59&t=15902, http://amc.maa.org/a-activities/a7-prob ... /2010s.pdf)

176.
Να προσδιορισθούν όλες οι συνεχείς $f:\mathbb R \to \mathbb R$ ώστε για κάθε

να ισχύει: f(f(f(x)))-3f(x)+2x=0

.
(viewtopic.php?f=59&t=15949)

177.
Να προσδιορίσετε όλες τις μονότονες συναρτήσεις $f:\mathbb{R}_0^+ \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε
$\displaystyle f(x+y)-f(x)-f(y)=f(xy+1)-f(xy)-f(1),$ για κάθε $x,y \geq 0$ και
f(3)+3f(1)=3f(2)+f(0).

(http://www.mathnet.or.kr/mathnet/olympi ... 05(30).pdf, viewtopic.php?f=111&t=15976, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=410339)

178.
Να βρεθούν όλες οι μη μηδενικές συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , οι οποίες είναι συγχρόνως προσθετικές ( $f(x+y)=f(x)+f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}$ ) και πολλαπλασιαστικές ( $f(xy)=f(x)f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}$ )
(viewtopic.php?f=111&t=15917, viewtopic.php?f=111&t=12924)

179.
Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f:R \rightarrow R$ που είναι τέτοιες ώστε

$\displaystyle (f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)$

για όλους τους πραγματικούς αριθμούς x,y,z,t

.
(viewtopic.php?f=111&t=15827, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 38&t=17333&)

180.
Ύπάρχει παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{ f:\left[ {0,2} \right] \to R }$ με $\displaystyle{ f(0) = 0 }$ που να ικανοποιεί τη σχέση: $\displaystyle{ f'(x) - f^4 (x) = 1,\forall x \in \left[ {0,2} \right] }$ ;
(viewtopic.php?f=61&t=15899)

181.
Άραγε να υπάρχει συνάρτηση f : R -> (0,+00) παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο,για την οποία να ισχύει: $\displaystyle{ f^{\prime} = f \circ f }$ ;
(viewtopic.php?f=53&t=1801)

182.
Bρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ που ικανοποιούν την εξίσωση $f(xy)\left(f(x)-f(y)\right)=(x-y)f(x)f(y)$ για κάθε

και

.
(viewtopic.php?f=59&t=15575, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 38&t=17450&)

183.
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις f : R -> R που ικανοποιούν την εξίσωση
$f(x + y) + f(x)f(y) = f(xy) + f(x) + f(y), \ \forall x,y\in\mathbb{R}$
(viewtopic.php?f=111&t=409, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=385670&)

184.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(x)f(y)=g(x)g(y)+g(x)+g(y) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=15978, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=408195)

185.
Να προσδιορίσετε όλες τις ακολουθίες $\{a_n\}_{n>0}$ , θετικών ακεραίων τέτοιες ώστε $\displaystyle a_{a_{n}}+a_n=2n,$ για κάθε $n \in \mathbb{N}.$
(viewtopic.php?f=111&t=15977)

#128

186.
Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $\displaystyle{f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}}$ που έχουν την ιδιότητα σε κάθε μη τετριμμένο κλειστό διάστημα, παρουσιάζουν ελάχιστο και μέγιστο στο εσωτερικό του διαστήματος.
(viewtopic.php?f=61&t=16030)

187.
Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}}$ , η οποία έχει αρχική και για μία οποιαδήποτε

αρχική της $\displaystyle{F}$ ικανοποιεί τις σχέσεις $\displaystyle{\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\left(F\circ f\right)=+\infty}$ και $\displaystyle{\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\left(F\circ f\right)=-\infty}$
(viewtopic.php?f=61&t=16066)

188.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις

με πεδίο ορισμού το $\mathbb R$ που έχουν την ιδιότητα :

x^2+y^2+2f(x)f(y) = f(x+y)(f(x)+f(y))

για όλες τις τιμές των x,y

.
(viewtopic.php?f=111&t=15986)

189.
Nα βρεθούν οι 1-1 συναρτήσεις $\displaystyle{f:R \to R}$
για τις οποίες ισχύει $\displaystyle{f\left( {x + f\left( {y + f\left( z \right)} \right)} \right) = f\left( {x + y + z+1} \right) + 1,\forall x,y,z \in R}$
(viewtopic.php?f=52&t=16010, viewtopic.php?p=83715#p83715)

190.
Έστω συνεχής στο

συνάρτηση

για την οποία ισχύει $f(f(x))=a\ f(x)+b \ x$ για κάθε πραγματικό αριθμό

, όπου

και

. Να αποδείξετε ότι f(0)=0

(viewtopic.php?f=61&t=4135)

191.
Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, f(x)=a[x]+b\{x\}$ , όπου [x]

το ακέραιο μέρος του

και $\{x\}$ το δεκαδικό μέρος του

Να αποδειχθεί ότι
1) Αν $|a|\geq |b|>0$ , τότε η

είναι 1-1
2) Αν $|b|\geq |a|>0$ , τότε η

είναι επί
(viewtopic.php?f=61&t=5866)

192.
Αν η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ είναι συνεχής και για κάθε $a,b\in \mathbb{R}$ με a<b

, υπάρχουν c,d

ώστε $a\leq c\leq d\leq b$ και $f(c)=min\{f(x),x\in [a,b]\}, f(d)=max\{f(x),x\in [a,b]\}$ . Να αποδειχθεί ότι η

είναι αύξουσα
(viewtopic.php?f=9&t=6215)

193.
$f,g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ συναρτήσεις, ώστε:
1) Η

είναι 1-1
2) $f(g(x))=g(f(x)), \forall x\in \mathbb{R}$
3) Το σύνολο $A=\{x \in \mathbb{R}/f(x)=x \}$ είναι μη κενό και πεπερασμένο
Να αποδειχθεί ότι υπάρχει θετικός ακέραιος

ώστε $g^n(x)=x, \forall x\in A$
( $g^1(x)=g(x), g^{n+1}(x)=g(g^n(x))$ )
(viewtopic.php?f=111&t=9059)

194.
Έστω $\mathcal{U}$ το σύνολο των συναρτήσεων $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , οι οποίες έχουν την ιδιότητα
$f(f(x)+y)=f(x)+f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}$
α) Να βρείτε τις συναρτήσεις του συνόλου $\mathcal{U}$ , οι οποίες είναι 1-1
β) Να βρείτε τις συναρτήσεις του συνόλου $\mathcal{U}$ , οι οποίες είναι επί
γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει συνάρτηση στο $\mathcal{U}$ , η οποία δεν είναι ούτε 1-1, ούτε επί.
(viewtopic.php?f=111&t=8995)

195.
Έστω $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ συνάρτηση με την ιδιότητα $f(f(x))=[x], \forall x \in \mathbb{R}$ ([x]=ακέραιο μέρος του x). Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν $a,b \in \mathbb{R}$ με $a\neq b$ και $|f(a)-f(b)| \geq |sina-sinb|$
(viewtopic.php?f=40&t=9543)

#129

196.
Να βρεθεί συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ , παραγωγίσιμη, με συνεχή παράγωγο, ώστε
$f(x)=max\{f^\prime(x),x+1\}$
(viewtopic.php?f=61&t=5618)

197.
P_0,P_1,...,P_n

, πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές και a_1,a_2,...,a_n

πραγματικοί αριθμοί. Να αποδειχθεί ότι αν η συνάρτηση $f(x)=P_0(x)+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}|P_{k}(x)|, x \in \mathbb{R}$ είναι 1-1, τότε θα είναι και επί του $\mathbb{R}$
(viewtopic.php?f=61&t=7094)

198.
Μπορούμε να βρούμε μη κενό σύνολο

και μἰα 1-1 και επί συνἀρτηση $f:A \to A$ , ώστε να υπάρχει ένα μη κενό και γνήσιο υποσύνολο

του

,
με την ιδότητα το f(H)

να είναι γνήσιο υποσύνολο του

;
(viewtopic.php?f=111&t=11654)

199.
Αν

είναι το σύνολο των 1-1 και επί συναρτσεων $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ και

ένα μη κενό γνήσιο υποσύνολο του

, ώστε αν $f \in H \Rightarrow f^{-1} \in H$ και $f,g \in H \Rightarrow f \circ g \in H$ , να αποδειχθεί ότι το G-H

είναι απειροσύνολο.
(viewtopic.php?f=112&t=7363)

200.
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}, f(z)=2z+|z|$ είναι 1-1 και επί
(viewtopic.php?f=27&t=14627)

201.
Η συνάρτηση $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ είναι συνεχής με την ιδιότητα

$\forall n \in \mathbb{N}^* \wedge \forall x_1,x_2,...,x_n \in [0,1] :$

$x_1+x_2+...+x_n=1 \Rightarrow f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)=1$ .

Να αποδειχθεί ότι $f(x)=x, \forall x \in [0,1]$
(viewtopic.php?f=61&t=13631)

202.
Να βρεθούν (με απόδειξη) όλες οι συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ που ικανοποιούν τη σχέση

f(f(x))+f(x)=x

για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .
(viewtopic.php?f=59&t=4366)

203.
Να αποδειχθεί ότι η ακολουθία που ορίζεται ως εξής

$\displaystyle{a_1=1, a_{2n}=1+\frac {1}{a_n}, n \in \mathbb{N}^*, a_{2n+1}=1-\frac {1}{a_{2n}}, n \in \mathbb{N}^*}$

αριθμεί τους θετικούς ρητούς με τρόπο ώστε κάθε όρος της να είναι ένας ακριβώς θετικός ρητός και κάθε θετικός ρητός να είναι ένας ακριβώς όρος της ακολουθίας
(viewtopic.php?p=73106#p73106)

204.
Να προσδιορίσετε όλες τις $\text{1-1}$ συναρτήσεις $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(f(x))=f(x)+1 ,$ για κάθε $x \in \mathbb{Z}.$
(viewtopic.php?f=111&t=16079)

205.
Να προσδιορίσετε όλες τις $\text{1-1}$ συναρτήσεις $f:\mathbb{N}^* \rightarrow \mathbb{N}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f\left(C^m_n \right)=C^{f(m)}_{f(n)} ,$ για κάθε $m,n \in \mathbb{N}^*, n \geq m,$

όπου $\displaystyle C^m_n=\binom n m.$
(viewtopic.php?f=111&t=16081)

#130

206.
Να βρείτε τις συναρτήσεις $f,g,h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με την ιδιότητα

$\displaystyle{(x-y)f(x)+h(x)-xy+y^2\le h(y) \le (x-y)g(x)+h(x)-xy+y^2, \forall x,y \in \mathbb{R}}$
(viewtopic.php?f=109&t=16177)

207.
Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ για τις οποίες αληθεύει η σχέση

$\displaystyle{\int_x^yf(t)dt \le f(x+y)}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$
(viewtopic.php?f=61&t=16319)

208.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f\left(xf(y-x)\right)=f\left(yf(x)\right)-x^{2} ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=16545, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=411407&)

Παρόμοιο πρόβλημα είναι το A7, IMO Shortlist 2009:

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f\left(xf(x+y)\right) = f\left(yf(x)\right)+x^{2} ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

209.
Να βρείτε τις συναρτήσεις $f,g:[0,+\infty) \to [0,+\infty)$ ώστε η

να είναι προσθετική και επί και να αληθεύει η

$g(y)+g(f(x))=f\left(x+g(y)\right), \forall x,y \in [0,+\infty)$
(viewtopic.php?f=111&t=16631)

210.
Να βρείτε όλες τις συνεχείς, 1-1 και επί συναρτήσεις $f:[0,1] \to [0,1]$ , οι οποίες ικανοποιούν τη σχέση

$\displaystyle{\int_0^1g(f(x))dx=\int_0^1g(x)dx}$ , για την οποιαδήποτε συνεχή συνάρτηση $g:[0,1] \to \mathbb{R}$
(viewtopic.php?f=9&t=16650)

211.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:R\rightarrow R$ που για κάθε πραγματικό x ικανοποιούν τη σχέση: f(f(x))=3f(x)-2x

(viewtopic.php?f=111&t=16529)

212.
Έστω συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε
$f(x+y)+f(xy-1)=f(x)f(y)+f(x)+f(y)+1,\ \forall x,y \in \mathbb{R}$ .

α) Αποδείξτε ότι υπάρχει συνάρτηση με την παραπάνω ιδιότητα.
β) Βρείτε τα f(0),f(-1)

.
γ) Αποδείξτε ότι η

είναι άρτια συνάρτηση.
δ) Βρείτε όλες τις μονότονες συναρτήσεις με την παραπάνω ιδιότητα.
ε) Βρείτε όλες τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις με την παραπάνω ιδιότητα.
(viewtopic.php?f=56&t=2683)

213.
Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις με την ιδιότητα
$f(x+y) = f(x)+f(y)+xy(x+y) ; x, y\in\mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=4257)

214.
Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα f(x) με πραγματικούς συντελεστές για τα οποία ισχύει $f\left( x \right) \cdot f\left( {2{x^2}} \right) = f\left( {2{x^3} + x} \right)$ για κάθε πραγματικό αριθμό χ.
Από Βουλγαρία 1979 shortlist IMO
(viewtopic.php?f=111&t=2914)

215.
Να βρείτε το πολυώνυμο Ρ(χ) ώστε να ισχύει Ρ(Ρ(χ)+χ)=Ρ(χ)Ρ(χ+1) για κάθε πραγματικό αριθμό χ
(viewtopic.php?f=21&t=4564)

216.
Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα P(x) που ικανοποιούν την $P^{2}(x)-P(x^{2})=2x^{4},\forall x\in\mathbb{R}$
(viewtopic.php?f=69&t=6400)

217.
Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα P με πραγματικούς συντελεστές που έχουν την ιδιότητα
$\displaystyle{P({X^2} - X + 1) = {P^2}(X) - P(X) + 1}$ για κάθε χ πραγματικό και $\displaystyle{P\left( 0 \right) = 0}$
(viewtopic.php?f=111&t=16222)

218.
Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα τα οποία έχουν τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα των οποίων οι συντελεστές παίρνουν τιμές από το σύνολο Α={-1,0,1}
(viewtopic.php?f=111&t=16499)

219.
Έστω n ένας θετικός ακέραιος. Να βρείτε το πλήθος των πολυωνύμων P(x) με συντελεστές που ανήκουν στο σύνολο $S = \left\{ 0 , 1 , 2 , 3 \right\}$ και τέτοια ώστε P(2)=n
(viewtopic.php?f=27&t=11943)

#131

220.
Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα P με πραγματικούς συντελεστές που έχουν την ιδιότητα

$P(x)P(2x^{2}-1)=P(x^{2})P(2x-1)$ , $\forall x\in R$
(viewtopic.php?f=59&t=16146)

221.
Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις $f: [0,1]\to R$ που ικανοποιούν την $f(x)\geq 2xf(x^{2}),\forall x\in [0,1]$
(viewtopic.php?f=59&t=16137)

222.
Έστω $G:R\rightarrow R$ μια γνησίως μονότονη συνάρτηση. Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:[0,1]\rightarrow R$ που είναι τέτοιες ώστε
$\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)G(f(x))dx=\int_{0}^{1}f(x)dx\int_{0}^{1}G(f(x))dx$
(viewtopic.php?f=61&t=16132)

223.
Αν $f:[-1,1]\to R$ συνεχής συνάρτηση : $f(2x^2-1)=2xf(x), \forall x\in[-1,1]$ να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης.
(viewtopic.php?f=56&t=1142)

224.
Έστω η $f(x+y)=g(x)+h(y), \ x,y$ οποιοιδήποτε πραγματικοί και

συνεχής.Nα προσδιορίσετε τους τύπους των συναρτήσεων f,g,h

(viewtopic.php?f=52&t=1887)

225.
Να βρείτε τον τύπο της f όταν για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x,y ισχύει $f(x+y+1)=(\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)})^{2}$ , f(0)=0.

(viewtopic.php?f=52&t=1885)

226.
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ που είναι τέτοιες ώστε να ισχύει f(x+y)=max(f(x),y)+min(x,f(y))

για όλους τους πραγματικούς x,y
(viewtopic.php?f=111&t=16198)

227.
Να βρείτε τον τύπο της συνεχούς συνάρτησης f:[0,1]--->[0,1] που είναι τέτοια ώστε να ισχύει $\displaystyle{\underbrace {f\left( {f\left( {...f\left( x \right)...} \right)} \right)}_{\nu - \varphi o\rho \varepsilon \varsigma } = x,\forall x \in \left[ {0,1} \right]}$ και f(0)=0
(viewtopic.php?f=52&t=16172, viewtopic.php?p=84347#p84347)

228.
Έστω f: (0,+00)-> R μια παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύουν:

1) $\displaystyle{ e^y f(x) - e^x f(y) \le e^{x + y} (x - y)^2 , \ }$ για κάθε x,y θετικούς.

2) f(1)=1/e.

Να προσδιορίσετε τον τύπο της f.
(viewtopic.php?f=53&t=6407)

229.
Αν η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ ικανοποιεί τη σχέση: $\displaystyle{f'(x) + e^{f(x)} = x + \frac{1} {x},\forall x > 0 }$ με $\displaystyle{f(1) = 0}$
τότε να βρείτε τον τύπο της.
(viewtopic.php?f=27&t=14717)

230.
Να προσδιορίσετε όλες τισ συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ που ικανοποιούν την $f(xy)\le xf(y)$ για όλους τους πραγματικούς $x,\,y$
(viewtopic.php?f=52&t=2367)

#132

231.
Για κάθε πραγματικό αριθμό χ διαφορετικό του 0 και του 1, ισχύει $\displaystyle\ f(x)+f\left(\frac{1}{1-x}\right) =\frac{2(1-2x)}{x(1-x)}$ . Να βρείτε τον τύπο της f
(viewtopic.php?f=52&t=2052)

232.
Αν $f,g:[0,1] \to \mathbb{R}$ είναι δύο συναρτήσεις, να αποδειχθεί ότι υπάρχουν $x,y \in [0,1]$ , ώστε $|f(x)+g(y)-xy|\geq \frac {1}{4}$
(viewtopic.php?f=109&t=9524)

233.
Έστω η γνήσια φθίνουσα συνάρτηση $\displaystyle{f:\left( {0, + \infty } \right) \to \left( {0, + \infty } \right)}$ η οποία ικανοποιεί για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ τη σχέση $\displaystyle{f(x)f\left( {f(x) + \frac{1}{x}} \right) = \frac{1}{2}}$ .

Να βρεθεί το f(1) -και η f.
(viewtopic.php?f=52&t=2712)

234.
Να βρεθούν όλες οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f στο R που ικανοποιούν την σχέση $\int\limits_x^y {f\left( t \right)dt = \left( {y - x} \right)} f\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right),\forall x,y \in R,x < y$
(viewtopic.php?f=55&t=1150, viewtopic.php?f=5&t=287)

235.
Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο $P(x)\in\mathbb{R}[x]$ ώστε να ισχύει : $(x - 1)^{143} + (x + 1)^{2002} = [P(x)]^{13}$
(viewtopic.php?f=60&t=12070)

236.
Αν p(x)

είναι ένα μονικό πολυώνυμο βαθμού

, με ακέραιους συντελεστές και

πραγματικές μη ακέραιες ρίζες,
να αποδειχθεί ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον ρίζες του x_i,x_j

ώστε

Πιο ισχυρό:
Αν p(x)

ένα μονικό πολυώνυμο βαθμού

με ακέραιους συντελεστές και

πραγματικές ρίζες εκ των οποίων τουλάχιστον 1 δεν είναι ακέραια,
τότε υπάρχουν τουλάχιστον δύο ρίζες x_i,x_j

του

με

.
(viewtopic.php?f=60&t=11601)

237.
Δίνεται

απο το

στο R με τις εξής δύο ιδιότητες,

1)Η

ικανοποιεί το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών σε οποιοδήποτε κλειστό διάστημα [a,b]

υποσύνολο του [0,1]

2)Για κάθε

στο R , to $f^{-1}(c)$ ειναι κλειστό.

Να δειχτεί ότι οι συνθήκες αυτές είναι αρκετές για να δειχτεί ότι η

ειναι συνεχής.
(viewtopic.php?f=59&t=5832)

238.
Να αποδειχθεί ότι αν $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{2}$ με
1) $f\left( {\bf{0}} \right) = {\bf{0}}$
2) $\left| {f\left( {\bf{u}} \right) - f\left( {\bf{v}} \right)} \right| = \left| {{\bf{u}} - {\bf{v}}} \right|$ για όλα τα ${{\bf{u}},{\bf{v}}}$
τότε η

είναι γραμμική.
(viewtopic.php?f=11&t=4493)

239.
Εστω a_n

αναδιαταξη των φυσικων τετοια ωστε: $\frac {1}{1998} < \frac {|a_{n} - a_{m}|}{|n - m|} < 1998$ για καθε m,n

στο

.
Να αποδειξετε οτι $|a_{n} - n| < 2.000.000$ για καθε φυσικο αριθμο n
(viewtopic.php?f=111&t=6382)

240.
Στο διάστημα [0,1]

ορίζονται οι συναρτήσεις S(x)=1-x

και $T(x)=\frac{x}{2}$ .
Υπάρχει συνάρτηση της μορφής $f=g_{1}og_{2}o...og_{n}$ όπου οι συναρτήσεις $g_{k}$ είναι είτε η

είτε η

ώστε $f(\frac{1}{2})=\frac{1975}{2^{1975}}$ ;
(Πολωνία 1975)
(viewtopic.php?f=111&t=411)

#133

241.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(x+f(y))+f(y+f(x))=2(x+y) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=16798, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=413324&)

242.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(xf(y)+yf(x)) = 2f(xy) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=16799, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=413315&)

243.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(x+f(y)) = 2f(xf(y)) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=16800, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=413312&)

244.
Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , οι οποίες έχουν την ιδιότητα $\left(x,y \in \mathbb{R} \wedge x-y \in \mathbb{Q}\right) \Rightarrow f(x)-f(y) \in \mathbb{Q}$
(viewtopic.php?f=61&t=16815)

245.
Αν $a,b \in \mathbb{R}^*$ ώστε $b \ge a-1 \ge 0$ . Να εξεταστεί αν υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με $f(ax+b)-f\left(\frac {1}{x}\right)=x^2+1, \forall x \in [-1,1]-\{0\}$
(viewtopic.php?f=52&t=16829)

246.
Αν a,b

, διαφορετικοί μεταξύ τους θετικοί αριθμοί, f(x)=a^x

, αν $x\in \mathbb{Q}$ και f(x)=b^x

, αν $x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q}$ , τότε οι παρακάτω δύο προτάσεις είναι ισοδύναμες:
(1) Η

είναι 1-1
(2) Η

είναι επί του $(0,+\infty)$
(viewtopic.php?f=61&t=5977)

247.
Δίνεται η συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με $f(x)=\begin{cases} a_1x^2+b_1x+c_1 & x\in \mathbb{Q}\\ a_2x^2+b_2x+c_2 & x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q} \end{cases}$
Να αποδειχθεί ότι οι παρακάτω ισχυρισμοί είναι ισοδύναμοι
(1) η

είναι 1-1
(2) η

είναι επί
(3) $a_1=a_2=0, b_1b_2 \neq 0, \frac {b_1}{b_2} \in \mathbb{Q}$ και $\frac {c_1-c_2}{b_2} \in \mathbb{Q}$
(viewtopic.php?f=111&t=8128)

248.
Αν η συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ είναι μία συνάρτηση με την ιδιότητα

$\left|f(x)-f(y)\right|\le \frac {1}{3}\left|x-y\right|, \forall x,y \in \mathbb{R}$ , να εξεταστεί αν υπάρχει θετικός

ακέραιος

, τέτοιος ώστε $f^n(x)+f^{n-1}(x)+...+f(x)+1\le nx, \forall x \in \mathbb{R}$

( $f^2=f\circ f,...,f^n=f^{n-1} \circ f$ )
(viewtopic.php?f=9&t=16698)

249.
Αποδείξτε ότι ,αν το πολυώνυμο $X^n+X^{n-1}+...+X+1$ μπορεί να γραφεί σαν το γινόμενο δύο μονικών πολυωνύμων με πραγματικούς μη αρνητικούς συντελεστές, τότε αυτοί είναι 0 ή 1.
(viewtopic.php?f=59&t=16772)

250.
Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το σύνολο των πραγματικών αριθμών $\left( {f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}} \right)$ .
Αν για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x, y

ισχύει η σχέση
$f\left( {f\left( {f(x)} \right) - f(y)} \right) = f(x) - f\left( {f(y)} \right)$ (1)
να αποδείξετε ότι η

είναι περιττή.
(viewtopic.php?p=1243#p1243)

251.
Να προσδιορίσετε την τιμή του θετικού ακέραιου

και μη σταθερό πολυώνυμο P(x)

με
πραγματικούς συντελεστές, βαθμού

έτσι ώστε να ισχύει:
$(x-k)P(3x)=k(x-1)P(x), \forall x \in \mathbb{R}$ (1).
(viewtopic.php?p=1245#p1245)

252.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(m + f(f(n))) = -f(f(m + 1))-n ,$ για κάθε $m,n \in \mathbb{Z}.$
(viewtopic.php?p=86850#p86850)

253.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{Q}^+ \rightarrow \mathbb{Q}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(f^{2}(x)y)=x^{3}f(xy) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{Q}^+.$
(viewtopic.php?f=111&t=16854, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=412941&)

254.
Έστω $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ μια συνάρτηση.

α) Αν για κάθε γνησίως αύξουσα συνάρτηση $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R},$ η συνάρτηση f+g

είναι αύξουσα, τότε η

είναι αύξουσα.

β) Αν για κάθε γνησίως αύξουσα συνάρτηση $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R},$ η συνάρτηση $f \cdot g$ είναι αύξουσα, τότε η

είναι αύξουσα.
(viewtopic.php?f=111&t=16855)

255.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(x+f(y))+f(2+f(y)-x)=y(x-1)f(y) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=16853, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=411607&)

$\bullet$ Συναρτησιακή Εξίσωση Cauchy
$\bullet$ Πάλι με την Cauchy αλλά με παράγουσα !

#134

256.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ για τις οποίες

$f(0)=\frac {1}{2}$ και $f(x+y)=f(x)f(-y)+f(y)f(-x), \forall x,y \in \mathbb{R}$
(viewtopic.php?f=109&t=16964)

257.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f: \matghbb{R} \times \mathbb{R} \t0 \mathbb{R}$ για τις οποίες

α) f(1,1)=0

β) $f(x,y+z)=f(x,y)-z, \forall x,y,z \in \mathbb{R}$ και

γ) $f(y+z,x)=f(y,x)+z, \forall x,y,z \in \mathbb{R}$
(viewtopic.php?f=111&t=16965)

258.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(x^{2}+y)+f(x+y^{2}) = (x+y)f(x+y) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=16998)

259.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:(0,\infty) \rightarrow (0,\infty)$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle \frac{\sqrt{y}}{2-y}f\left(\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{2-y}}\right)\leq \frac{f(xy)}{(2-y)^{\frac{3}{2}}} \leq \frac{y}{\sqrt{2-y}}f\left(\frac{x}{2-y}\right) ,$

για κάθε $x \in (0,\infty)$ και για κάθε $y \in (0,2) .$
(viewtopic.php?f=111&t=16999)

260.
Υπάρχει παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ με την ιδιότητα

$f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x \in [0,1] \cap \mathbb{Q}$ ;
(viewtopic.php?f=9&t=17008)

261.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , οι οποίες επαληθεύουν τη σχέση

$\frac {1}{2}f(xy)+\frac {1}{2}f(xz)-f(x)f(yz) \ge \frac {1}{4}, \forall x,y,z \in \mathbb{R}$
(viewtopic.php?f=109&t=17093)

262.
Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , για τις οποίες

$f(x-y)f(y-z)f(z-x)+8=0, \forall x,y,z \in \mathbb{R}$
(viewtopic.php?f=59&t=17156)

263.
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ για τις οποίες

$f(ax+by) \le af(x)+bf(y)$ , για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ και για κάθε $a,b \in [0,1]$
(viewtopic.php?f=111&t=16863)

264.
Να βρείτε όλες τις μονότονες συναρτήσεις $f:[0,+\infty) \to [0,+\infty)$ για τις οποίες

$f\left(\left[f(x)\right]\right)+\{f(x)\}=x, \forall x \ge 0$

([...]=ακέραιο μέρος και {...}=κλασματικό μέρος)
(viewtopic.php?f=111&t=16864)

265.
Αν $\displaystyle z\in C^*$ και $\displaystyle z+\frac{1}{z}=x$
να δειχθεί ότι $\displaystyle z^n +\frac{1}{z^n}=P_n \left(x \right)$ όπου $\displaystyle P_n \left(x \right)$ πολυώνυμο $\displaystyle n$ βαθμού.
Να δειχθεί ακόμα ότι το $\displaystyle P_n \left(x \right)$ έχει όλες τις ρίζες του πραγματικές και άνισες.
(viewtopic.php?f=46&t=17150)

266.
Αν $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ είναι μία συνάρτηση, να αποδειχθεί ότι $inf \{|f(x)-f(y)|/x,y \in \mathbb{R}, x\neq y\}=0$
(viewtopic.php?f=9&t=9004)

267.
Να βρεθούν οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ για τις οποίες υπάρχουν $k \in (0,1)$ και $b \in \mathbb{R}$ ώστε
(1) $|f(x)-f(y)| \leq k|x-y|, \forall x,y \in \mathbb{R}$ και
(2) $f(f(x)-x)=b(f(x)-x), \forall x \in \mathbb{R}$
(viewtopic.php?f=9&t=7831)

268.
Έστω συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , η οποία έχει τις εξής ιδιότητες
1) f(1)=1

2) $f(x+y)=f(x)+f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}$ και
3) $f(\frac {1}{x})=\frac {1}{f(x)}, \forall x \neq 0$
Να αποδειχθεί ότι $f(x)=x, \forall x\in \mathbb{R}$
(viewtopic.php?f=111&t=8303)

269.
Να βρεθεί η συνάρτηση $f:\mathbb R \to \mathbb R$ που ικανοποιεί την εξίσωση : $\displaystyle{\big(f(x+y)-f(x)-f(y)\big)^2-4\;f(x)\;f(y)=0}$ για κάθε $x,y \in \mathbb R$
(viewtopic.php?f=111&t=8663)

270.
Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , για τις οποίες υπάρχει συνάρτηση $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , 1-1, ώστε $f(g(x+y))=g(f(x)+f(y)), \forall x,y \in \mathbb{R}$
(viewtopic.php?f=61&t=7814)

#135

271.
Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , για τις οποίες υπάρχουν σταθεροί πραγματικοί

$a_1,a_2,...,a_n \in (-1,1)$ ώστε $f(a_1x)+f(a_2x)+...+f(a_nx)=nf(x), \forall x \in \mathbb{R}$
(viewtopic.php?f=61&t=17198)

272.
Εάν f(x) = x^2-2x

να προσδιορίσετε το c ώστε f(f(f(f(c))))=3

(viewtopic.php?f=19&t=15095)

273.
Έστω η ορισμένη στο R και δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f με συνεχή δεύτερη παράγωγο και τέτοια ώστε
$\displaystyle{\left| {f\left( x \right)} \right| \le 1,\forall x \in R}$
$\displaystyle{{{f^2}\left( 0 \right) + {{\left( {f'\left( 0 \right)} \right)}^2} = 4}}$
Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας πραγματικός αριθμός χο τέτοιος ώστε $\displaystyle{f\left( {{x_0}} \right) + f''\left( {{x_0}} \right) = 0}$
(viewtopic.php?f=56&t=11887)

274.
Θεωρούμε τις συναρτήσεις $f,g,h: \mathbb{R}^*_+\to \mathbb{R}^*.$
Η

είναι γνησίως αύξουσα, η

φθίνουσα και θετική και ισχύει

$\displaystyle \frac{h(y)}{f(y)}>\frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}>\frac{h(x)}{f(x)}, \ \forall x>y>0.$

Να δείξετε ότι $f(x)>0, \ \forall x>0$ και ότι η

είναι γνησίως αύξουσα.
(viewtopic.php?f=52&t=16988)

275.
Αν η συνεχής συνάρτηση $f: [0,1]\to \mathbb{R}$ είναι τέτοια ώστε $\displaystyle xy\left(f(x^2)+f(y^2)\right)\leq 1, \ \forall x,y \in [0,1],$

να δείξετε ότι $\displaystyle \int^1_0 f(x)dx \leq \frac{\pi}{2}.$
(viewtopic.php?f=54&t=16976)

276.
Έστω η συνάρτηση f:[0,1] -> R συνεχής και τέτοια ώστε για κάθε x,y να ισχύει $\displaystyle{xf\left( y \right) + yf\left( x \right) \le 1}$ . Να αποδείξετε ότι
$\displaystyle{\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \le \frac{\pi }{4}}$
(viewtopic.php?f=54&t=7522)

277.
Να βρείτε (αν υπάρχουν) τα πολυώνυμα P(x)

για τα οποία ισχύει

$\displaystyle{P(x+2)=P(x)+x^2}$ για κάθε πραγματικό

.
(viewtopic.php?f=60&t=9121)

278.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $\displaystyle{f:\mathbb{R}\rightarrow (0,+\infty)}$ , οι οποίες ικανοποιούν τη συνθήκη

$\displaystyle{\frac{f(x)}{f(y)}\leq 3^{(x-y)^2},}$ για κάθε $\displaystyle{x,y \in \mathbb{R}.}$
(viewtopic.php?f=27&t=10186)

279.
Έστω $f:R\rightarrow R$ συνεχής συνάρτηση, για την οποία ισχύει

$f(f(f(x)))+f(x)=2x, \forall x \in R$ .
Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης.
(viewtopic.php?f=27&t=7478)

280.
Αν $f:R\rightarrow R$ παραγωγίσιμη συνάρτηση με f'(x)<0

, αποδείξτε ότι έχει ένα τουλάχιστον σταθερό σημείο.
(viewtopic.php?f=27&t=7474)

281.
1) Υπάρχει παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$ , για την οποία ισχύει

$\displaystyle{|f(x)|<2}$ και $\displaystyle{f(x)f^{\prime}(x)\geq \sin x}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ ;

2) Το ίδιο ερώτημα με τη διαφορά, ότι τώρα $\displaystyle{|f(x)|\leq 2.}$
(viewtopic.php?f=56&t=16897)

282.
Αν για μια συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ,δύο φορές παραγωγίσιμη ισχύει η συναρτησιακή εξίσωση
f(x+y)f(x-y)=f(x)f(x)+f(y)f(y)-1

,να βρείτε την f''(t)

(συναρτήσει της

).
(viewtopic.php?f=53&t=16720)

283.
Να δείξετε ότι δεν υπάρχει παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: (1,\infty)\to\mathbb{R}$ τέτοια ώστε $f'(x) <\frac{2}{x}-e^{-f(x)}$ και $f'(x)\le 0$ για κάθε χ > 1
(viewtopic.php?f=61&t=16103)

284.
Δίνεται η συνάρτηση $f:(0,1) \to \mathbb{R}$ με f(x) = 0

αν

άρρητος και f(m/n) = 1/(m+n)^3

αν

θετικοί ακέραιοι με (m,n) = 1

.

Να δειχθεί ότι η

είναι παραγωγίσιμη σε τουλάχιστον ένα σημείο.
(viewtopic.php?f=59&t=16867)

285.
1. Αν $f:\mathbb R\to \mathbb R$ με f(x)>0

αν $x\in \mathbb Q$ και f(x)=0

αν $x\notin \mathbb Q$ , τότε η

δεν είναι παραγωγίσιμη σε ένα υπεραριθμήσιμο υποσύνολο του $\mathbb R\setminus \mathbb Q$ .

2. Έστω $A\subset \mathbb R\setminus \mathbb Q$ αριθμήσιμο. Τότε υπάρχει $f:{\mathbb R}\to {\mathbb R}$ με f(x)>0

αν $x\in {\mathbb Q}$ , f(x)=0

αν $x\notin {\mathbb Q}$ και παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο του

.
(viewtopic.php?f=59&t=16962)

#136

286.
Να προσδιορίσετε όλα τα πολυώνυμα P(x)

τέτοια ώστε $P(2P(x)) = 2P(P(x))+2(P(x))^{2} .$
(viewtopic.php?f=111&t=17215)

287.
Να προσδιορίσετε όλα τα πολυώνυμα $P(x) \in \mathbb{C} [x]$ τέτοια ώστε $x\in\mathbb{R}\iff p(x)\in\mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=17216)

288.
Δίνεται συνάρτηση $g:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ και οι πραγματικοί αριθμοί $a,b,\lambda$ με $\lambda \ne \pm 1$ . Nα βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης

$f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ η οποία ικανοποιεί τη σχέση: $f(a+x)+\lambda f(b-x)=g(x), \; x\in \mathbb R$ .
(viewtopic.php?f=52&t=17329)

289.
Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει ρητή συνάρτηση

ώστε $f(n)=1+\frac {1}{2}+...+\frac {1}{n}, \forall n \in \mathbb{N}$
(viewtopic.php?f=9&t=17303)

290.
Αν οι συναρτήσεις: $\displaystyle f,g:\left[0,1 \right]\rightarrow R$

είναι δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις για τις οποίες ισχύουν

$\displaystyle 1) f(1)=g(0)+1$

$\displaystyle 1) f(x)\geq g(x), \ \ \forall x\in \left[0,1 \right]$

$\displaystyle 3) f'(sin^2x)+g'(cos^2x)=2,\ \ \forall x\in R$

τότε να δειχθεί ότι: $\displaystyle f=g$
(viewtopic.php?f=53&t=17304)

291.
Να βρείτε τον τύπο της παραγωγίσιμης συνάρτησης στο R για την οποία ισχύει

$\displaystyle{f'\left( x \right) = {\left[ {f\left( x \right) - x} \right]^{2011}} + 1,\forall x \in R}$
(viewtopic.php?f=53&t=17299)

292.
Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα $\displaystyle P(x)$ με πραγματικούς συντελεστές
για τα οποία ισχύει:
$\displaystyle 2x\leq P(x)\leq x^2+1, \ \ \forall x\in R$
(viewtopic.php?f=27&t=17279)

293.
Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R με f(2009)=2009, η συνάρτηση g είναι συνεχής στο R με $\displaystyle{ g(x) \ne 0,\forall x \in \mathbb{R} }$ και ισχύει : g(x)f ' (x)=g(f(x)), για κάθε χ στο R, τότε να δείξετε οτι f(x)=x, για κάθε χ στο R.
(viewtopic.php?f=56&t=1596)

294.
Αν η συνάρτηση
$f:[0,1]\rightarrow [0,1]$
είναι συνεχής, αύξουσα και ισχύουν:
$\displaystyle 1^o)\ \ f^{<1>}(x)+f^{<2>}(x)+...+f^{<n>}(x)\geq nx$
για κάθε $x\in \left[0,1 \right]$ και
$\displaystyle f^{<1>}(x)=f(x), f^{<2>}(x)=(f\circ f)(x),\ ...\ ,f^{<n>}(x)=(f\circ f\circ...\circ f)(x)$
(οι συνθέσεις)
και
$\displaystyle 2^o)\ \ 2\int_{0}^{1}{f\left(x \right)dx}=1$
Να δειχθεί ότι:
$\displaystyle f\left(x \right)=x,\ \ x\in \left[0,1 \right]$
(viewtopic.php?f=54&t=13411)

295.
Έστω $f:(0,+\infty) \to (0,+\infty)$ , συνάρτηση με $\displaystyle{f(f(x))+f(x)+x=f(3x), \forall x>0}$ .

Αν η y=x

είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της

στο $+\infty$ , να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{f(x)=x, \forall x>0}$
(viewtopic.php?f=59&t=12950)

296.
Αν η συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ είναι συνεχής στο 0 και $f(x)=f(\frac {x}{1-x}), \forall x \neq 1$ , να αποδειχθεί ότι είναι σταθερή
(viewtopic.php?f=61&t=12893)

297.
Έστω $f:(a,b) \to (a,b)$ συνάρτηση με $f(f(x))+x=2f(x), \forall x \in (a,b)$ .

Να αποδειχθεί ότι $f(x)=x, \forall x \in (a,b)$
(viewtopic.php?f=111&t=12773)

298.
Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση
$f:R\rightarrow R$
ισχύει:
$\left(f'(x) \right)^2=\left(f(x) \right)^2$
για κάθε $x\in R$
και για κάποιο $\alpha \in R$ ισχύει: $f\left(\alpha \right)=0.$
Να δειχθεί ότι: $f\left(x \right)=0$ για κάθε $x\in R$
(viewtopic.php?f=56&t=12728)

299.
Δίνεται η συνάρτηση $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ , για την οποία ισχύει
$\displaystyle{(i) \ f(x) \geqslant 0, \forall x\in [0,1]}$
$\displaystyle{(ii) \ f(1)=1}$
$(iii) \ \forall x, y \in [0,1]$ τέτοιοι ώστε $x +y \leqslant 1$ , $f(x +y) \geqslant f(x)+f(y)$

Nα δειχθεί ότι $f(x) < 2x, \forall x \in (0,1]$
(viewtopic.php?f=9&t=12652)

300.
Αν για τη συνάρτηση:
$f:[0,+\propto)\rightarrow [0,+\propto )$
ισχύει:
$f\left(f^2\left(x \right) \right+f^2\left(y \right))=\sqrt{x+y}$
για κάθε $x,y\geq 0$
να δειχθεί ότι:
$f\left(x) \right=\sqrt{x},x\geq 0$
(viewtopic.php?f=56&t=12643)

#137

301.
Για τη συνάρτηση $f:R^{*}_{+}\rightarrow R$ ισχύει:
$\alpha x<f\left(x \right)\leq \alpha x+1$ , για καθε x>0

όπου $\alpha \in R^{*}$ και
$f^2\left(x \right)=xf\left(2x+1 \right)+x+1$ , για καθε x>0

Να δειχθεί ότι:
$f\left(x \right)=2x+1$ ,για καθε x>0

(viewtopic.php?f=56&t=12361)

302.
Δίνεται συνάρτηση $\displaystyle{f:R \to R}$ τέτοια ώστε να ισχύουν τα εξής:

1. f: περιττή
2. $\displaystyle{\left| {f\left( x \right) - f\left( y \right) - x + y} \right| < \left| {x - y} \right|}$ για κάθε $\displaystyle{x,y \in R}$ και $\displaystyle{x \ne y}$
3. $\displaystyle{f\left( {f\left( x \right) - 2x} \right) = 2f\left( x \right) - 3x}$ για κάθε $\displaystyle{x \in R}$

να δείξετε ότι: f(x) = x για κάθε $\displaystyle{x \in R}$
(viewtopic.php?f=56&t=11809)

303.
Για τη συνάρτηση:
$f:\left(1,+\propto \right)\rightarrow \left(1,+\propto \right)$
ισχύει:
f(x).f(x^2).f(x^4)=x^7

για κάθε $x\in \left(1,+\propto \right)$
Να δειχθεί ότι:
f(x)=x

, για κάθε $x\in \left(1,+\propto \right)$
(viewtopic.php?f=111&t=11578)

304.
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{f:{\cal R} \to {\cal R}}$ τέτοια ώστε:

$\displaystyle{99f\left( x \right) = f\left( {\frac{x}{2}} \right) + f\left( {\frac{x}{3}} \right) + ... + f\left( {\frac{x}{{100}}} \right)}$

Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή στο $\displaystyle{{\cal R}}$
(viewtopic.php?f=52&t=11448)

305.
Έστω f συνεχής στο R συνάρτηση για την οποία ισχύει:
$3f\left(x \right)=f\left(\frac{x}{2} \right)+f\left(\frac{x}{3} \right)$ για κάθε $x\epsilon R$ .
Να δείξετε ότι f(x)=0 για κάθε $x\epsilon R$ .
(viewtopic.php?f=52&t=11295)

306.
Για τη συνεχή συνάρτηση: $\displaystyle f:R\rightarrow R$ ισχύει:
$\displaystyle f(5x)=f(3x)+f(4x),\forall x\in R$ .
Αν η $\displaystyle f$ είναι παραγωγίσιμη σε διάστημα της μορφής: $\displaystyle (-\delta ,\delta ),\delta >0$
και υπάρχει η $\displaystyle f''(0)$ , να αποδειχθεί ότι η $\displaystyle f$ έχει τύπο της μορφής:
$\displaystyle f(x)=\alpha x^2,x\in R$
όπου $\displaystyle \alpha$ οποιαδήποτε πραγματική σταθερά.
(viewtopic.php?f=111&t=14141)

307.
Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:\left( {0, + \infty } \right) \to R}$ τέτοια ώστε:

1. $\displaystyle{\left( {x - \eta \mu x} \right)f'\left( x \right) - f\left( x \right) = \eta \mu \left( {x - f\left( x \right)} \right) - \eta \mu x,\,}$ για κάθε x > 0

2. $\displaystyle{f\left( x \right) \ne x}$ για κάθε x > 0

3. $\displaystyle{f\left( 1 \right) = 2}$

τότε να δείξετε ότι: $\displaystyle{f\left( x \right) = 2x}$ για x > 0.
(viewtopic.php?f=56&t=13821)

308.
Η συνάρτηση $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ είναι συνεχής με την ιδιότητα

$\forall n \in \mathbb{N}^* \wedge \forall x_1,x_2,...,x_n \in [0,1] :$

$x_1+x_2+...+x_n=1 \Rightarrow f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)=1$ .

Να αποδειχθεί ότι $f(x)=x, \forall x \in [0,1]$
(viewtopic.php?f=61&t=13631)

309.
Η συνάρτηση
$\displaystyle f:[1,+\propto )\rightarrow R$
είναι συνεχής στο $\displaystyle x_0=1$
και ισχύουν:
$\displaystyle f(x^2)\leq xf(x),\ \ \forall x\geq 1$
καθώς και
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{f(x)}{x}=f\left(1 \right)$
Να δειχθεί ότι:
$\displaystyle f(x)=f(1)x,\ \ \forall x\geq 1$
(viewtopic.php?f=111&t=14244)

310.
Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις $f: [0,1]\to R$ που ικανοποιούν την $f(x)\geq 2xf(x^{2}),\forall x\in [0,1]$
(viewtopic.php?f=59&t=16137)

311.
Η συνάρτηση $\displaystyle{ f:\left[ {0,1} \right] \to R }$ είναι παραγωγίσιμη και ισχύει:

$\displaystyle{ f'(x) = x^a f(x^\beta ),\forall x \in \left[ {0,1} \right] }$ με $\displaystyle{ a }$ θετικό πραγματικό, $\displaystyle{ \beta > 1 }$ και $\displaystyle{ f(0) = 0 }$ .

Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{ f(x) = 0,\forall x \in \left[ {0,1} \right] }$
(viewtopic.php?f=61&t=15617)

312.
Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ισχύει $(f^2(x)+xf(x)+x^2)f^{\prime}(x)=3x^2, \forall x \in \mathbb{R}$ και f(0)=0

. Να αποδειχθεί ότι $f(x)=x, \forall x \in \mathbb{R}$
(viewtopic.php?f=56&t=15070)

313.
Έστω οι συναρτήσεις:
$\displaystyle f:R_+\rightarrow R$ παραγωγίσιμη
και
$\displaystyle g:R\rightarrow R$ αύξουσα,
για τις οποίες ισχύει:
$\displaystyle f(0)=g(0)=0$ και $\displaystyle f'(x)+g(f(x))=0, \forall x\geq 0$ .
Να δειχθεί ότι:
$\displaystyle f(x)=0, \forall x\geq 0$
(viewtopic.php?f=56&t=14790)

314.
Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση:
$\displaystyle f:[0,+\propto )\rightarrow R$
ισχύει:
$\displaystyle f(0)=0$
και
$\displaystyle f'(x)+f(x)=sin(f(x))$ για κάθε $\displaystyle x\geq 0$ .
Να δείξετε ότι:
$\displaystyle f(x)=0$
για κάθε $\displaystyle x\geq 0$ .
(viewtopic.php?f=56&t=14768)

315.
Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ με $e^{f(x)}+f^{\prime}(x)=e^x+1, \forall x \in [0,1]$ ,

f(0)=0

και

. Να αποδειχθεί ότι $f(x)=x, \forall x \in [0,1]$
(viewtopic.php?f=53&t=14585)

#138

316.
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f :\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ με την ιδιότητα $f(x^{2}+y)\ge (x+1)f(y)$ για κάθε x,y πραγματικούς.
(viewtopic.php?f=111&t=8606)

317.
Να εξεταστεί αν υπάρχει πολυώνυμο P(x)

, μη σταθερό με πραγματικούς συντελεστές, άρτιου βαθμού ώστε $P(\mathbb{R})=Q(\mathbb{R})$ , όπου $Q=P+P^{\prime}$
(viewtopic.php?f=111&t=8330)

318.
$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ συνάρτηση με την ιδιότητα $f(x)+f(x+y) \in \mathbb{Q}, \forall x \in \mathbb{R}$ και $\forall y>0$ . Να αποδειχθεί ότι $f(x) \in \mathbb{Q}, \forall x \in \mathbb{R}$
(viewtopic.php?f=111&t=7377)

319.
Έστω η f:R->R. Να βρεθει ο τυπος της f αν : f(f(x) - f(y)) = (x - y)^2f(x + y)

(viewtopic.php?f=111&t=5099)

320.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f: \mathbb R \times \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ με την ιδιότητα :

$xf(-x,y) + yf(x,-y) = (x-y)^2 , \forall x,y \in \mathbb R$
(viewtopic.php?f=111&t=4074)

321.
Να υπολογίσετε τις συναρτήσεις
$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\mu \varepsilon \,\tau \eta \nu \,\iota \delta \iota o\tau \eta \tau \alpha \;f\left( {x^4 + y + f\left( y \right)} \right) = 4y + \left[ {f\left( x \right)} \right]^4 ,\forall x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=3302)

322.
Έστω συνάρτηση f:N-{0}->N-{0} η οποία ικανοποιεί την σχέση f(f(m)+f(n))=m+n, για κάθε m,n που ανήκουν στο Ν-{0}. Να βρείτε τις δυνατές τιμές του f(2002)
(viewtopic.php?f=111&t=593)

323.
Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει γνησίως αύξουσα συνάρτηση $\displaystyle{f:N^* \to R}$ με $\displaystyle{f(N^*) \subseteq N^*}$ , f(2)=3 και για την οποία ισχύει:
f(xy)=f(x)f(y), για κάθε x και y στο N* .
(viewtopic.php?f=111&t=3066)

324.
Να αποδείξετε πως υπάρχει μοναδική συνάρτηση f απο το R+(σύνολο των θετικών πραγματικών, λέει ο θεματοδότης)
στο R+ τέτοια ώστε να ικανοποιεί τα παρακάτω:

1) f(f(x))=6x-f(x)

2)f(x)>0 για κάθε x>0.
(viewtopic.php?f=111&t=6406)

325.
Έστω η συνάρτηση f: R -> R με συνεχή πρώτη παράγωγο στο R και f(0)=0.

Eπιπλέον, για κάθε χ πραγματικό αληθεύει πως: f(f(x))+x=2f(x).

Nα αποδείξετε πως :

1) Η f είναι γνησίως αύξουσα.

2) f '(0)=1
(viewtopic.php?f=53&t=6603)

326.
Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση f: R --> R,
για την οποία να ισχύει $\left|f(x) - f(y) \right|\geq \sqrt{\left|x-y \right|}$ για κάθε x, y.
(viewtopic.php?f=56&t=12812)

327.
Ας είναι f μία συνεχής συνάρτηση με f: $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ τέτοια ώστε $|f(x)-f(y)|\geq|x-y|$ για όλους τους πραγματικούς αριθμούς x,y.
Να αποδείξετε ότι f(R)=R
(viewtopic.php?f=61&t=2265)

328.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $\displaystyle{f:[0,1] \to [0,1]}$ , αν για κάθε x,y από το [0,1] ισχύει ότι: $\displaystyle{\left| {f(x) - f(y)} \right| \ge \left| {x - y} \right|}$
(viewtopic.php?p=12515#p12515)

329.
Αν για τη συνάρτηση $\displaystyle{f:[0,1] \to [0,1]}$ ισχύει για κάθε x,y από το [0,1] ότι: $\displaystyle{\left| {f(x) - f(y)} \right| \ge \left| {{2^x} - {2^y}} \right|}$ , να βρεθεί το όριο $\displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x)}}{x}}$
(viewtopic.php?p=12515#p12515)

330.
Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f:R->R τέτοια ώστε |f(x)-f(y)|>1 για κάθε x,y, πραγματικούς αριθμούς με x διαφορετικό του y
(viewtopic.php?f=9&t=2263)

Marios V. · #139

δεν ξέρω αν μου διαφεύγει κάτι, αλλά απότι είδα δεν έχει δημοσιευτεί λύση στην 8.( μπορεί όπως είπα να μου διαφεύγει κάτι)
8.
για n=1

πέρνουμε

δηλαδή

Προφανώς,

Για

πέρνουμε

Και για

πέρνουμε

.
Δοκιμάζοντας και για n=2

, παρατηρούμε τις δυο περιπτώσεις
f(n)=n

και $f(n)=n+(-1)^{n+1}$
τις οποίες και θα αποδείξουμε με επαγωγή.

Στην πρώτη.
Ισχύει για n=1

.
Υποθέτουμε ότι για n=k

γράφεται

ή

Αρα (επαγωγικά) ισχύει.

Στην δεύτερη.
Ισχύει για n=1

υποθέτουμε ότι για n=k

$k+(-1)^{k+1}+f(k+1)+f(k+(-1)^{k+1})=3k+1$
$k+(-1)^{k+1}+f(k+1)+k+(-1)^{k+1}+(-1)^{k+(-1)^{k+1}+1}=3k+1$
παρατηρούμε ότι $(-1)^{k+1}+(-1)^{k+(-1)^{k+1}+1}=0$
οπότε $k+(-1)^{k+1}+f(k+1)+k=3k+1$
$f(k+1)=k+1-(-1)^{k+1}$
$f(k+1)=k+1+(-1)^{k+2}$
Αρα ισχύει

Οπότε, f(n)=n

or $f(n)=n+(-1)^{n+1}$

#140

331.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(0)=0

και

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=17779 , http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=420317)

332.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{Q}^+ \rightarrow \mathbb{Q}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f\left(\frac{x}{x+1}\right) =\frac{f(x)}{x+1}$ και $\displaystyle f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{f(x)}{x^{3}},$ για κάθε $x,y \in \mathbb{Q}^+.$
(viewtopic.php?f=111&t=17780, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=419811)

333.
Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $f:{{\mathbb{R}}^{+}}\to{{\mathbb{R}}^{+}}$ τέτοια ώστε f(x+y)>f(x)(1+yf(x)) ,

για κάθε $x,y\in{{\mathbb{R}}^{+}} .$
(viewtopic.php?f=111&t=17784, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=421476)

334.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(xy) =\max\{f(x),y\}+\min\{f(y),x\} ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=17788, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=339995)

335.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x^{2}+xf(y))=[f(x)]^{2}+yf(x) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=17805, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=417461)

336.
Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχώς παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\int_{x+k+1}^{x+k}f'(t)dt+\frac{n}{2}f'(x)=0 ,}$
για κάθε $x \in \mathbb{R}$ και για κάθε άρτιο θετικό ακέραιο

(viewtopic.php?f=111&t=17807, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7&t=421135&)

337.
Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα

με πραγματικούς συντελεστές, τα οποία έχουν την ιδιότητα

$p(x) \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \mathbb{Z}$
(viewtopic.php?f=60&t=17453)

338.
Βρείτε όλα τα πολυώνυμα $P\in\mathbb{C}[x]$ τέτοια ώστε:

$\forall x\in\mathbb{C}: P(x)\in\mathbb{Z}\Rightarrow P(x+1)\in\mathbb{Z} .$
(viewtopic.php?f=60&t=17778, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=420103)

339.
Α)
Θεωρούμε συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$ τέτοια ώστε f(f(x))=xf(x)+x-1,

για κάθε $x \in \mathbb{R}.$
Να βρείτε το f(-1)

και όλες τις δυνατές τιμές του f(1).

Β)
Θεωρούμε συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$ τέτοια ώστε f(f(x))=0.5(x^2-x)f(x)+2-x,

για κάθε $x \in \mathbb{R}.$
Να βρείτε το f(2)

και όλες τις δυνατές τιμές του f(1).

(viewtopic.php?f=111&t=17700)

340.
Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=0$ και $f(x)+3f(x^{2})=5f(x^{3}) ,$ για κάθε $x\geq 0.$
(viewtopic.php?f=111&t=17622)

341.
Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις f, στο R, για τις οποίες ισχύει:

$f\left( {x + y} \right) = yf(x) + f\left( {f(x)} \right)$ , $x \in R$
(viewtopic.php?f=52&t=17508)

342.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:[a,b]\to[a,b],\ 0<a<b,$ τέτοιες ώστε $f(x)f(f(x))=x^{2},$ για κάθε $x\in [a,b].$
(viewtopic.php?f=111&t=17356)

343.
Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=0$ και $f(x)+3f(x^{2})=5f(x^{3}+1) ,$ για κάθε $x\geq 0.$
(viewtopic.php?f=111&t=17395, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7&t=418042)

344.
Να προσδιορίσετε όλες τις μη φθίνουσες συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow\mathbb{R}^{+}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f\left(\frac{x+f(x)}{2}+y\right) = 2x-f(x)+f(f(y)) ,$ για κάθε $x, y\in\mathbb{R}^{+} .$
(viewtopic.php?f=111&t=17396, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=418065)

345.
Υπάρχει συνάρτηση $f:(0,+\infty) \to (0,+\infty)$ , συνεχής και γνησίως φθίνουσα με την ιδιότητα
$f(x+y)+f(f(x)+f(y))=f(f(x+f(y)))+f(y+f(x)), \forall x,y \in (0,+\infty)$
(viewtopic.php?f=61&t=7263)

Συναρτησιακές Εξισώσεις

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Μέλη σε σύνδεση