Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Grosrouvre · #121

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 54

Δύο φίλοι ξεκινάνε να τρέχουν σε μια κυκλική πίστα μήκους αρχίζοντας από το ίδιο σημείο με ταχύτητες και αλλά τρέχουν σε αντίθετη κατεύθυνση .

α ) Σε πόσα λεπτά θα συναντηθούν για πρώτη φορά ;

β) Υπάρχει περίπτωση να συναντηθούν ξανά στο σημείο κι αν ναι, πότε θα γίνει αυτό για πρώτη φορά μετά την εκκίνηση ;

Μπ

Και οι δύο φίλοι εκτελούν ομαλή κυκλική κίνηση στον ίδιο κύκλο, με ταχύτητες μέτρου $\displaystyle{ v_1 = 7 km/h = \frac{7000}{60} m/min = \frac{700}{6} m/min$ και $\displaystyle{ v_2 = 8 km/h = \frac{8000}{60} m/min = \frac{800}{6} m/min$ αντίστοιχα.

α) Έστω $\Delta t$ το χρονικό διάστημα κίνησης των δύο φίλων (κοινό) μέχρι την πρώτη τους συνάντηση (θεωρούμε ότι ξεκινούν ταυτόχρονα από το σημείο

. Επειδή κινούνται αντίθετα, τα μήκη των τόξων που θα διαγράψουν μέχρι τη στιγμή της πρώτης τους συνάντησης θα συνδέονται με τη σχέση S_1 + S_2 = S

, όπου $S_1 = v_1 \Delta t$ , $S_2 = v_2 \Delta t$ και S = 300 m

. Επομένως, για το ζητούμενο χρονικό διάστημα θα ισχύει ότι

$\displaystyle{ \Delta t = \frac{S}{v_1 + v_2} = \frac{300}{\frac{700}{6} + \frac{800}{6}} \Longrightarrow \Delta t = \frac{3 \cdot 6}{7 + 8} = 1,2 min$ (Δηλαδή, η πρώτη τους συνάντηση θα γίνει μετά από 1 min

και

από την εκκίνηση).

β) Εάν οι δύο φίλοι συναντηθούν ξανά στο σημείο

, τότε θα έχουν εκτελέσει και οι δύο ακέραιο πλήθος πλήρων περιστροφών (και μάλιστα για πρώτη φορα, ο γρήγορος μια στροφή παραπάνω). Έστω $\Delta t'$ το αντίστοιχο χρονικό διάστημα από τη στιγμή της εκκίνησης. Τότε, για τα μήκη των τόξων που θα έχουν διαγράψει θα ισχύει αντίστοιχα ότι

$v_1 \cdot \Delta t' = N_1 \cdot S$ και $v_2 \Delta t' = N_2 \cdot S$ , όπου $N_1, N_2 \in \mathbb{N}$ το πλήθος των αντίστοιχων περιστροφών. Με διαίρεση κατά μέλη των παραπάνω, προκύπτει ότι

$\displaystyle{ \frac{N_1}{N_2} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{7}{8}$ . Το κλάσμα αυτό είναι ανάγωγο. Άρα, επειδή θέλουμε την πρώτη τους συνάντηση στο

θα ισχύει ότι N_1 = 7

περιστροφές και N_2 = 8

περιστροφές. Άρα, υπάρχει όντως περίπτωση νέας συνάντησης στο σημείο εκκίνησής τους.

Οπότε, για το ζητούμενο χρονικό διάστημα θα έχουμε ότι

$\displaystyle{ \frac{700}{6} \cdot \Delta t' = 7 \cdot 300 \Longrightarrow \Delta t' = 18 min$ .

#122

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 54

Δύο φίλοι ξεκινάνε να τρέχουν σε μια κυκλική πίστα μήκους αρχίζοντας από το ίδιο σημείο με ταχύτητες και αλλά τρέχουν σε αντίθετη κατεύθυνση .

α ) Σε πόσα λεπτά θα συναντηθούν για πρώτη φορά ;

β) Υπάρχει περίπτωση να συναντηθούν ξανά στο σημείο κι αν ναι, πότε θα γίνει αυτό για πρώτη φορά μετά την εκκίνηση ;

Μπ

Ας δούμε και μια διαφορετική διατύπωση της λύσης:

(α) Έστω ότι θα συναντηθούν για πρώτη φορά σε χρόνο

Από την υπόθεση, ο Α μέσα σε χρόνο

min διανύει τόξο μήκους $\displaystyle{\frac{760}{6} m}$ , δηλαδή $\displaystyle{\frac{350}{3} m}$ .

Άρα σε χρόνο

θα διανύσει τόξο μήκους $\displaystyle{\frac{350}{3}.t }$ μέτρα

Όμοια, ο Β μέσα σε χρόνο

θα διανύσει τόξο μήκους $\displaystyle{\frac{400}{3}.t }$ μέτρα.

Όμως το άθροισμα των δύο τόξων συμπληρώνουν όλο το μήκος του κύκλου, δηλαδή τα 300 m

. Άρα έχουμε την εξίσωση:

$\displaystyle{\frac{350}{3}.t +\frac{400}{3}.t = 300}$ , και άρα $\displaystyle{(\frac{350}{3} + \frac{400}{3}).t =300}$ , ή $\displaystyle{\frac{750}{3}.t = 300}$ ,

και άρα $\displaystyle{250 .t =300}$ , ή $\displaystyle{t=\frac{300}{250}}$ δηλαδή $\displaystyle{t=1,2 min}$ .

(β) O A διανύει σε χρόνο 1 min

τόξο μήκους $\displaystyle{\frac{350}{3}}$ μέτρα. Άρα τα $\displaystyle{300 m}$ θα τα διανύει σε χρόνο $\displaystyle{\frac{300}{\frac{350}{3}}}$ min

Δηλαδή, ο Α την μία στροφή, την κάνει σε χρόνο $\displaystyle{\frac{18}{7}}$ min. Ή , τις

στροφές τις κάνει σε χρόνο

min

O B διανύει σε χρόνο

min τόξο μήκους $\displaystyle{\frac{400}{3}}$ μέτρα. Άρα τα 300 m

θα τα διανύει σε χρόνο $\displaystyle{\frac{300}{\frac{400}{3}}}$ min

Δηλαδή, ο Β την μία στροφή την κάνει σε χρόνο $\displaystyle{\frac{9}{4}}$ min. Άρα τις

στροφές τις κάνει σε χρόνο

min, δηλαδή

τις

στροφές , τις κάνει σε χρόνο

min.

Άρα μέσα σε χρόνο

λεπτά, ο Α έχει κάνει

στροφές και ο Β

στροφές, οπότε μέσα σε

λεπτά, θα ξανασυναντηθούν για πρώτη φορά

μετά την εκκίνηση στο σημείο από όπου ξεκίνησαν.

#123

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 54

Δύο φίλοι ξεκινάνε να τρέχουν σε μια κυκλική πίστα μήκους αρχίζοντας από το ίδιο σημείο με ταχύτητες και αλλά τρέχουν σε αντίθετη κατεύθυνση .

α ) Σε πόσα λεπτά θα συναντηθούν για πρώτη φορά ;

β...............
Μπ
Ας δούμε και μια διαφορετική διατύπωση της λύσης:

(α) Έστω ότι θα συναντηθούν για πρώτη φορά σε χρόνο

Από την υπόθεση, ο Α μέσα σε χρόνο min διανύει τόξο μήκους $\displaystyle{\frac{760}{6} m}$ , δηλαδή $\displaystyle{\frac{350}{3} m}$ .

Άρα σε χρόνο θα διανύσει τόξο μήκους $\displaystyle{\frac{350}{3}.t }$ μέτρα

Όμοια, ο Β μέσα σε χρόνο θα διανύσει τόξο μήκους $\displaystyle{\frac{400}{3}.t }$ μέτρα.

Όμως το άθροισμα των δύο τόξων συμπληρώνουν όλο το μήκος του κύκλου, δηλαδή τα . Άρα έχουμε την εξίσωση:

$\displaystyle{\frac{350}{3}.t +\frac{400}{3}.t = 300}$ , και άρα $\displaystyle{(\frac{350}{3} + \frac{400}{3}).t =300}$ , ή $\displaystyle{\frac{750}{3}.t = 300}$ ,

και άρα $\displaystyle{250 .t =300}$ , ή $\displaystyle{t=\frac{300}{250}}$ δηλαδή $\displaystyle{t=1,2 min}$ .

...................

Για το αρχείο μας και τους μικρούς φίλους ας δώσουμε μία ακόμα σκέψη :

Αν ένας δρομέας τρέχει με 8+7=15 km/h

, όσο δηλαδή είναι η σχετική ταχύτητα των δύο φίλων , τότε θα κάνει

την απόσταση τω 300m

σε χρόνο $\displaystyle 60\cdot \frac {300}{15000} = 1,2 min$ .

Τόσο ακριβώς χρόνο θέλουν και οι δύο φίλοι για να συναντηθούν για πρώτη φορά.

Μπ

#124

ΑΣΚΗΣΗ 56

Να συμπληρώσετε τα αστεράκια με τα ψηφία που λείπουν, ώστε οι παρακάτω πολλαπλασιασμοί να είναι σωστοί :

: ScreenShot002.png (7.59 KiB) Προβλήθηκε 4045 φορές

Δείχνει , μα δεν είναι δύσκολη.Είναι όμως έξυπνη για μαθητές αυτών των τάξεων !!!

Μπ

#125

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 56

Να συμπληρώσετε τα αστεράκια με τα ψηφία που λείπουν, ώστε οι παρακάτω πολλαπλασιασμοί να είναι σωστοί :

2013 2014 2015

Ωραία ασκησούλα. Κάνω την αρχή με το 2013

αλλά με τον ίδιο τρόπο λύνονται και οι άλλες.

Το βάζω σε hide για να μην χαλάσω το μυστικό στους μαθητές που θέλουν να δοκιμάσουν.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Grosrouvre · #126

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 55: Δίνεται ο αριθμός: $\displaystyle{a= 32^{4n}+26^{m} - 25^{k}}$ , όπου $\displaystyle{m,n,k }$ είναι φυσικοί αριθμοί.

(α) Να αποδείξετε ότι αν ο αριθμός αυτός λήγει σε , τότε $\displaystyle{k=0}$

(β) Να εξετάσετε αν ισχύει το αντίστροφο (Δηλαδή, αν $\displaystyle{k=0}$ τότε σίγουρα ο αριθμός αυτός θα λήγει σε )

Παρατηρούμε ότι ο αριθμός $32^{4n}$ λήγει σε

(αν

- και τότε είναι ο

) ή σε

(αν $n \neq 0$ ). Επίσης, ο αριθμός 26^m

λήγει σε

(αν

- και τότε είναι ο

) ή σε

(αν $m \neq 0$ ). Τέλος, ο αριθμός 25^k

λήγει σε

(αν

- και τότε είναι ο

) ή σε

(αν $k \neq 0$ ).

α) Εάν ο δοθέν αριθμός

λήγει σε

, τότε συμπεραίνουμε ότι αναγκαστικά k = 0

, διότι αν $k \neq 0$ τότε ο

θα λήγει σε $1 + 1 - 5 \rightarrow 7$ ή $1 + 6 - 5 \rightarrow 2$ ή $6 + 1 - 5 \rightarrow 2$ ή $6 + 6 - 5 \rightarrow 7$ .

β) Το αντίστροφο δεν ισχύει. Παρατηρούμε ότι αν k = 0, n = 0

και $m \neq 0$ ή k = 0, m = 0

και $n \neq 0$ , τότε ο δοθέν αριθμός

λήγει σε $1 + 6 - 1 \rightarrow 6$ ή $6 + 1 - 1 \rightarrow 6$ αντίστοιχα.

Grosrouvre · #127

ΑΣΚΗΣΗ 57

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός N = 2.016.201.520.142.013

δεν είναι τέλειο τετράγωνο.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#128

ΑΣΚΗΣΗ 58: Δίνεται ο αριθμός $\displaystyle{a=4^{10}.0,2^{20}.15^{41}.100^{5}}$

(1) Να αποδείξετε ότι ο

είναι φυσικός αριθμός

(2) Να βρείτε σε πόσα μηδενικά τελειώνει ο πιο πάνω φυσικός αριθμός

(3) Να βρείτε τον ελάχιστο θετικό ακέραιο με τον οποίο πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό

, ώστε να προκύψει τέλειο τετράγωνο φυσικού
αριθμού.

Grosrouvre · #129

Grosrouvre έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 57

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός δεν είναι τέλειο τετράγωνο.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Με αφορμή το Θέμα 2 του Ευκλείδη Α Λυκείου 2016.

Δίνω λύση, μαζί και ένα γενικότερο σχόλιο για να προχωρήσει ο φάκελος.

Ο

δεν είναι τέλειο τετράγωνο, διότι λήγει σε

.

Σχόλιο

Το τελευταίο ψηφίο ενός τέλειου τετραγώνου, εξαρτάται μόνον από το τελευταίο ψηφίο της τετραγωνικής ρίζας του (και από κανένα άλλο). Γενικότερα, αν εξετάσουμε όλα τα ψηφία του δεκαδικού συστήματος, βρίσκουμε ότι το τετράγωνό τους δεν λήγει ούτε σε

, ούτε σε

. Παρατηρούμε ότι

το 0^2

λήγει σε

το

λήγει σε

το

λήγει σε

το

λήγει σε

το

λήγει σε

το

λήγει σε

το

λήγει σε

το

λήγει σε

το

λήγει σε

το

λήγει σε

.

Ουσιαστικά, αποδείξαμε ότι ένα τέλειο τετράγωνο, γραμμένο στο δεκαδικό σύστημα, λήγει σε ένα από τα ψηφία

,

και

.

Βέβαια, τα παραπάνω μπορούν να μας οδηγήσουν μόνο σε άρνηση. Δηλαδή, κάθε φυσικός αριθμός που λήγει σε ένα από τα παραπάνω ψηφία, δεν είναι σίγουρα και τέλειο τετράγωνο φυσικού αριθμού.

$\bullet$ Άμεσο επακόλουθο αποτελεί η απουσία τετραψήφιο αριθμού αποτελούμενου από τα ψηφία 2, 3, 7, 8

(με οποιαδήποτε διάταξη - και χωρίς την αναγκαστική χρήση όλων) που να είναι τέλειο τετράγωνο.

#130

ΑΣΚΗΣΗ 59: Τέσσερις σάκοι με νομίσματα είναι τέτοιοι ώστε όλα τα νομίσματα σε κάθε σάκο να ζυγίζουν το ίδιο.
Τα νομίσματα ζυγίζουν $\displaystyle{1}$ , ή $\displaystyle{2}$ ή $\displaystyle{3}$ γραμμάρια.
Παίρνουμε ένα νόμισμα από τον πρώτο σάκο, τρία από τον δεύτερο , εννιά από τον τρίτο και 27 από τον τέταρτο σάκο.
Όλα τα νομίσματα που πήραμε ζυγίζουν $\displaystyle{95}$ γραμμάρια.
Να υπολογίσετε το βάρος του κάθε νομίσματος καθενός σάκου.

(ΠΗΓΗ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ, των Κώστα Γκαζούλη και Γιώργου Ρίζου)

#131

ΑΣΚΗΣΗ 60

Σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ABC

φέρνουμε τη διάμεσο

και πάνω σε αυτή παίρνουμε εσωτερικό σημείο

έτσι , ώστε AD+DE=BC

.

Να υπολογιστεί η γωνία EBC

.

Μπ

#132

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 60

Σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο φέρνουμε τη διάμεσο και πάνω σε αυτή παίρνουμε εσωτερικό σημείο έτσι , ώστε .

Να υπολογιστεί η γωνία .

Μπ

Δίνω το σχήμα και τις βοηθητικές. Τώρα ότι οι μαθητές της Α Γυμνασίου που έχουν διδαχθεί το ισοσκελές τρίγωνο , μπορούν να αντιμετωπίσουν
το θέμα. (Στο παρακάτω σχήμα, έχουμε προεκτείνει την ΕD κατά τμήμα DZ = ED)

: SX 1.png (8.26 KiB) Προβλήθηκε 3701 φορές

#133

ΑΣΚΗΣΗ 61

Βρείτε το μικρότερο φυσικό αριθμό a>2

ώστε ταυτόχρονα:

$\bullet$ ο

να είναι άρτιος
$\bullet$ ο a+1

να είναι πολλαπλάσιο του

$\bullet$ ο a+2

να είναι πολλαπλάσιο του

$\bullet$ ο a+3

να είναι πολλαπλάσιο του

$\bullet$ ο a+4

να είναι πολλαπλάσιο του

#134

ΑΣΚΗΣΗ 62: Πόσα gr αλάτι πρέπει να ρίξουμε σε 368

gr διαλύματος αλατόνερου περιεκτικότητας $\displaystyle{5\%}$ , ώστε

ώστε να προκύψει διάλυμα περιεκτικότητας $\displaystyle{8\%}$

(ΔΙΟΡΘΩΣΗ: Στην αρχική δημοσίευση, ξέχασα να γράψω ότι το αρχικό διάλυμα έχει μάζα 368

gr). Το συμπλήρωσα στην εκφώνηση.

Ζητώ συγνώμη από τα παιδιά που ασχολήθηκαν και ταλαιπωρήθηκαν

Grosrouvre · #135

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 58: Δίνεται ο αριθμός $\displaystyle{a=4^{10}.0,2^{20}.15^{41}.100^{5}}$

(1) Να αποδείξετε ότι ο είναι φυσικός αριθμός

(2) Να βρείτε σε πόσα μηδενικά τελειώνει ο πιο πάνω φυσικός αριθμός

(3) Να βρείτε τον ελάχιστο θετικό ακέραιο με τον οποίο πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό , ώστε να προκύψει τέλειο τετράγωνο φυσικού
αριθμού.

1) Ο αριθμός που μας δίνεται, γράφεται ως:

$\displaystyle{ a = 4^{10} \cdot \left( \frac{1}{5} \right)^{20} \cdot 15 ^{41} \cdot 10^{10} = \left( 4 \cdot 10 \right) ^{10} \cdot \frac{ \left( 3 \cdot 5 \right)^{41} }{5^{20}} = 40^{10} \cdot 3^{41} \cdot 5^{21} \in \mathbb{N}$ .

2) Συνεχίζοντας να εφαρμόζουμε τις ιδιότητες των δυνάμεων, έχουμε:

$\displaystyle{ a = \left( 40 \cdot 5 \right)^{10} \cdot 3^{41} \cdot 5^{11} = \left( 2 \cdot 10^2 \right)^{10} \cdot 3^{41} \cdot 5^{11} = 2^{10} \cdot 3^{41} \cdot 5^{11} \cdot 10^{20} \Longrightarrow$

$\Longrightarrow \displaystyle{ a = 3^{31} \cdot 5^1 \cdot 10^{10} \cdot 10^{20} = 5 \cdot 3^{31} \cdot 10^{30}$

Επομένως, ο φυσικός αριθμός

τελειώνει σε

μηδενικά.

3) Ο

επίσης γράφεται

$\displaystyle{ a = 5 \cdot 3 \cdot 30^{30} = 15 \cdot 30^{30}$ .

Παρατηρούμε ότι ο ελάχιστος θετικός ακέραιος με τον οποίο πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό

, ώστε να προκύψει τέλειο τετράγωνο φυσικού αριθμού, είναι ο

. Και τότε

$b = 15a = \left( 15 \cdot 30^{15} \right)^2$ .

Karanus · #136

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 61

Βρείτε το μικρότερο φυσικό αριθμό ώστε ταυτόχρονα:

$\bullet$ ο να είναι άρτιος
$\bullet$ ο να είναι πολλαπλάσιο του
$\bullet$ ο να είναι πολλαπλάσιο του
$\bullet$ ο να είναι πολλαπλάσιο του
$\bullet$ ο να είναι πολλαπλάσιο του

Αφού ο α είναι άρτιος τότε το τελευταίο του ψηφίο θα είναι ένας από τους αριθμούς 0,2,4,6,8. Τότε ο α+3 θα έχει τελευταίο ψηφίο έναν από τους αριθμούς 3,5,7,9,1, αλλά αφού ο α+3 είναι πολ5 , τότε πρέπει να τελειώνει σε 5 η 0 , άρα έχω την περίπτωση ο α+3 να τελειώνει σε 5 , άρα ο α τελειώνει σε 2. Τώρα με δοκιμές αφού α>2, ξεκινώντας από το 12,22,32,42,52 βλέπω ότι δεν επαληθεύουν, το 62 είναι ο μικρότερος που επαληθεύει. Άρα α=62.

Για να αποφύγω τις δοκιμές που στην περίπτωση της άσκησης δεν είναι πολλές, μπορώ να βρω το ΕΚΠ(3,4,5,6)=60 . Ο αριθμός που ψάχνω είναι σίγουρα μεγαλύτερος η ίσος του 60, το 60 δεν ικανοποιεί τα κριτήρια,το 61 δεν είναι άρτιος, το 62 όμως τα ικανοποιεί . Άρα α=62.

#137

ΑΣΚΗΣΗ 63: Δίνεται τρίγωνο ABC και θεωρούμε τα συμμετρικά

,

των κορυφών

και

, ως προς τις ευθείες

και

αντιστοίχως. Αν η γωνία BDA

ισούται με $\displaystyle{30^o}$ και η γωνία $\displaystyle{BEC}$ ισούται με $\displaystyle{50^o}$ , α αποδείξετε ότι:
(α) Η γωνία Α του τριγώνου ABC είναι διπλάσια από την γωνία C
(β) AE = AB = BD

: SXHMA.png (15.15 KiB) Προβλήθηκε 3285 φορές

#138

ΑΣΚΗΣΗ 64:

: ΣΧΔ1.png (14.59 KiB) Προβλήθηκε 3115 φορές

Δίνεται παραλληλόγραμμο $\displaystyle{ABCD}$ με την γωνία

ίση με $130^{o}$ . Στην προέκταση της

παίρνουμε το σημείο

ώστε να είναι CZ=BC

και στην προέκταση της

παίρνουμε το σημείο

ώστε να είναι DE=DZ

. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο BEZ

είναι ορθογώνιο και σκαληνό.

Eυ. N. · #139

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 64:

ΣΧΔ1.png
Δίνεται παραλληλόγραμμο $\displaystyle{ABCD}$ με την γωνία ίση με $130^{o}$ . Στην προέκταση της παίρνουμε το σημείο ώστε να είναι
και στην προέκταση της παίρνουμε το σημείο ώστε να είναι . Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και σκαληνό.

Οι γωνίες

και

είναι ίσες ως απέναντι γωνίες στο πλάγιο παραλληλόγραμμο ABCD

. Επομένως $DCB=130^{o}$ . Οι γωνίες ADC

και

είναι ίσες για τον ίδιο λόγο. Έχουμε: $ADC=BCA=\frac{360^{ο}-DCB-DAB}{2}=50^{o}$ . Η $BCZ=50^{o}$ ως παραπληρωματική με την DCB

. Η $CBZ=BZC=65^{o}$ , ως ίσες γωνίες στην βάση του ισοσκελούς τριγώνου CBZ

. Η $EDZ=130^{o}$ , ως παραπληρωματική με την ADC

. Επομένως, $DEZ=DZE=25^{o}$ . H γωνία $BZE=BZC+DZE=65^{o}+25^{o}=90^{o}$ . Συνεπώς, το BZE

είναι ορθογώνιο. Επομένως έχουμε δύο περιπτώσεις:
α)Το BZE

να είναι ισοσκελές.
β)Το BZE

να είναι σκαληνό
*(Ισόπλευρο αποκλείεται να είναι, αφού δεν υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο που να είναι ισόπλευρο.)
Επομένως, πρέπει να αποδείξουμε ότι η ZBE

δεν είναι $45^{o}$ , γιατί αν ισχυέι ότι $ZBE=45^{o}$ , τότε το BZE

θα ήταν ισοσκελές.
Αυτό είναι αδύνατο καθώς η $ZBE=ZBC+CBE=65^{o}+CBE$ , που θα ήταν άτοπο αν ίσχυε ότι το BZE

είναι ισοσκελές.
Άρα το BZE

είναι ορθογώνιο σκαληνό.

#140

Eυ. N. έγραψε: $ZBE=ZBC+CBE=65^{o}+CBE$

Προσοχή σε αυτό το βήμα. Έχεις πάρει την

να κόβει την

εξωτερικά του τριγώνου BCZ

. Αυτό, αν και σωστό, δεν είναι αυτονόητο. Χρειάζεται απόδειξη (και όχι "με το μάτι") να τεκμηριώσουμε το βήμα.

Άλλος τρόπος είναι BZ < CZ

(απέναντι από μικρότερη γωνία τριγώνου κείται μικρότερη πλευρά), και όμοια CZ < DZ < ZE

, και λοιπά.

Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Μέλη σε σύνδεση