Συναρτησιακές Εξισώσεις

#141

346.
-Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{ f:[1,e] \to [a,e^2 ] }$ για την οποία ισχύει:
$\displaystyle{ \left| {f(x) - f(y)} \right| \ge \left| {x^2 \ln x - y^2 \ln y} \right|,\forall x,y \in \left[ {1,e} \right] }$
Να καθορίσετε τον τύπο της και να βρείτε τις αρχικές της συναρτήσεις.
(viewtopic.php?f=56&t=17406)

-Να βρεθεί το σύνολο των παραγουσών της συνάρτησης :

$f: [0,\frac{\pi}{4}] \rightarrow [0,\frac{\pi}{4}]$

η οποία ικανοποιεί τη σχέση :

$|f(x) - f(y)| \geq |x sin(2x) - y sin(2y)|, \forall x,y \in [0,\frac{\pi}{4}]$
(viewtopic.php?f=54&t=4605)

347.
Έστω συνεχής συνάρτηση ορισμένη στο R. Αν |f(x)|=< M, για κάθε πραγματικό αριθμό x και τέτοια ώστε
$\displaystyle{ x\int_{x}^{x+1}f(t)\,\text{d}t=\int_{0}^{x}f(t)\,\text{d}t,\quad\text{for any}\ x\in\mathbb{R}. }$

Να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή.
(viewtopic.php?f=56&t=12901)

348.
Έστω $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ μία συνάρτηση με την ιδιότητα $f(x+y)=f(x)+f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}$

(προσθετική). Αν το σύνολο $A=\{x \in \mathbb{R}/f(x)=x\}$ είναι πεπερασμένο, πόσα στοιχεία έχει;
(viewtopic.php?f=109&t=17455)

349.
Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{ f:R \to R }$ ισχύει:
$\displaystyle{ f'(x) = n\left[ {f(x + \frac{1}{n}) - f(x)} \right],\forall x \in R,\forall n \in N^ * }$
Να βρείτε τον τύπο της $\displaystyle{ f }$
(viewtopic.php?f=9&t=17542)

350.
Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα $P \in C[t]$ με την εξής ιδιότητα : Για κάθε μιγαδικό

με μέτρο

, το

έχει επίσης μέτρο

.
(viewtopic.php?f=9&t=17433, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 1&t=406144&, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=392284)

351.
Έστω P(x),Q(x)

πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές του ίδιου βαθμού. Αν $P^{\prime}(x)Q(x)-Q^{\prime}(x)P(x)\ne 0 , \forall x\in R$ τότε δείξτε ότι $\forall a\in R$ τα πολυώνυμα P(x) , aP(x)+(1-a)Q(x)

έχουν το ίδιο πλήθος πραγματικών ριζών
(viewtopic.php?f=111&t=746)

352.
Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε
$2\cdot f(x)-g(x)=f(y)-y,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ και
$f(x)\cdot g(x)\geq x+1 ,$ για κάθε $x \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=52&t=17863, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 51&t=16098&)

353.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\forall$ $x,y \in \mathbb{R}$
$\displaystyle{ f(x - f(y)) = f(x + y) + f(y) }$
(http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 1&t=255931, http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?s ... 2&t=249175)

354.
Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα

με πραγματικούς συντελεστές, αν

$\displaystyle{ xP\bigg(\frac{y}{x}\bigg)+yP\bigg(\frac{x}{y}\bigg)=x+y. }$
(viewtopic.php?f=21&t=17881, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=420362&)

355.
Βρείτε την παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ αν $f(2x) = (e^{x}+1)f(x), \ \forall x \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=56&t=17880, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=188879)

356.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x-y)-xf(y)\leq 1-x ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=17882, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 36&t=97965)

357.
Θεωρούμε συνεχή και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση $f:(0,+\infty) \to (0,+\infty)$ , τέτοια ώστε
f(x+y)+f(f(x)+f(y)) = f(f(x+f(y))+f(y+f(x))) ,

για κάθε $x,y\in (0,+\infty).$

Να δείξετε ότι f(f(x))=x .

(viewtopic.php?f=61&t=17892, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=416312, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 36&t=41361, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 37&t=51456, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=325436, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=137765)

358.
Έστω $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ μια πραγματική συνάρτηση ορισμένη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών που ικανοποιεί την σχέση

$f({x + y}) \leq y\,f(x) + f(f(x))$ ,

για όλους τους πραγματικούς

και

. Να αποδειχθεί ότι f(x) = 0

, για κάθε $x \leq 0$ .
(viewtopic.php?f=58&t=17495, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 9&t=418798)

359.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f({x + y}) \geq y\,f(x) + f(f(x))$ , για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=17937)

360.
Έστω

μια συνάρτηση από το σύνολο των ακεραίων στο σύνολο των θετικών ακεραίων. Υποθέτουμε ότι, για δύο οποιουσδήποτε ακεραίους

και

, η διαφορά f(n)-f(m)

διαιρείται από το f(m-n)

. Αποδείξτε ότι, για όλους τους ακεραίους

και

με $f(m)\leq{f(n)}$ , ο αριθμός f(n)

διαιρείται από τον f(m)

.
(viewtopic.php?f=58&t=17495, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 9&t=418981)

#142

361.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(0)\leq 0$ και $f(x+y)\leq x+f(f(x))$ , για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18043, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=367995)

362.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(x+f(y))=3f(x)+f(y)-2x

, για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18044, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=378090)

363.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)

, για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18045, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=421589)

364.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε (x+y)f(y)+yf(f(x))=(2x+y)f(f(y))

, για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18046, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=421775)

365.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $x^{2}+x^{2}f(y)+yf(x)=xf(y)+x+yf(x^{2})$ , για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18047, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=422231)

366.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f ( x+f(x)+2f(y)) = x+f(x)+y+f(y)

, για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18111, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=423738&)

367.
Υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοια ώστε $(x+y)f(f(x)y)=x^{2}(f(f(x)+f(y))$ , για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+ ;$

$\mathbb{R}^+=(0,+\infty)$
(viewtopic.php?f=111&t=18112, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=407046&)

368.
Θεωρούμε συνάρτηση $f:\mathbb{Z}\rightarrow\{-1,1\}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{ f(mn) =f(m)f(n),\ \forall m,n\in\mathbb{Z}. }$

Να δείξετε ότι υπάρχει ακέραιος

τέτοιος ώστε $1\leq a\leq 12$ και f(a) = f(a+1) = 1 .

(viewtopic.php?f=111&t=18113, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 51&t=57326&)

369.
Έστω f(x,y,z)

πολυώνυμο, με ακέραιους συντελεστές, τέτοιο ώστε $\displaystyle{ f(x,y,z) =-f(x,z,y) =-f(y,x,z) =-f(z,y,x) .}$

Να δείξετε ότι αν $a,b,c\in\mathbb{Z}$ τότε ο αριθμός f(a,b,c)

είναι άρτιος.
(viewtopic.php?f=111&t=18114, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=246918)

370.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+f(y))=f(y^{2}+3)+2x\cdot f(y)+f(x)-3, }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18115, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=412431)

371.
Έστω συνάρτηση $g:\mathbb{N}_0\to\mathbb{N}_0$ τέτοια ώστε g(0)=0

και

για κάθε $n\ge 1$ .

Δείξτε ότι:
α) $g(k)\ge g(k-1)$ για κάθε θετικό ακέραιο

.
β) δεν υπάρχει

τέτοιος ώστε g(k-1)=g(k)=g(k+1)

.
(viewtopic.php?f=111&t=18116, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=408646)

372.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle{ f(x)f(y) = (x+y+1)^{2}\cdot f\left(\frac{xy-1}{x+y+1}\right) ,}$ για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$ με $x+y+1\neq 0$

και f(x) > 1

για κάθε

(viewtopic.php?f=111&t=18129, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=418609&)

373.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f :\mathbb{R^{+}}\to\mathbb{R^{+}}$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle f(x-y) = f(x)-f(x) f\left(\frac{1}{x}\right) y ,$ για κάθε x > y >0 .

(viewtopic.php?f=111&t=18130, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=424694&)

374.

ένα μη κενό σύνολο και $f,g: M \to M$ δύο 1-1 συναρτήσεις, ώστε κάθε σημείο του

να είναι σταθερό σημείο ακριβώς μιας από τις

ή

.
Να αποδειχθεί ότι $f \circ g=g \circ f$
(viewtopic.php?f=27&t=18311)

375.
Έστω η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{f:\left[ {0,1} \right] \to R}$ η οποία είνα αύξουσα και ισχύουν $\displaystyle{\int_0^1 f (x)dx = \int_0^1\left ( \int_0^x f (t)dt\right )dx = 0}$ . Να βρείτε τον τύπο της

.
(viewtopic.php?f=56&t=18087)

Αξιόλογες συλλογές:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 1&t=399535

http://www-bcf.usc.edu/~lototsky/PiMuEp ... oblems.pdf
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 4&t=416634&

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 4&t=411461&

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 4&t=406530&

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 4&t=397768&

#143

376.
Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(xy)+f(x+y)=f(xy+x)+f(y) ,

για κάθε $x,y\in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18283, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=426004&)

377.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(f(x))+y^{2}=f(x+yf(y)) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18282, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=424527&)

378.
A)
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $(f(x)+f(y)-2f(xy))\cdot(f(x)+f(z)-2f(xz)) \geq 0,$ για κάθε $x,y,z \in \mathbb{R}.$

B)
Θεωρούμε μη σταθερή συνάρτηση $f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+.$

Να δείξετε ότι υπάρχουν x,y,z>0

τέτοιοι ώστε

$(f(x)+f(y)-2f(xy))\cdot(f(x)+f(z)-2f(xz)) < 0.$
(viewtopic.php?f=111&t=18284, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=396823&)

379.
Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f: [0,1]\to \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}\left(f\left(\frac{x}{2}\right)+f\left(\frac{x+1}{2}\right)\right),$ για κάθε $x\in [0,1].$
(viewtopic.php?f=111&t=18281, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=425282)

380.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(x)+f(y)=f(f(x)f(y)) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18323, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=385996&)

381.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{N}^* \rightarrow \mathbb{N}^*$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(n)+m\ |\ f(f(m))+n, }$ για κάθε $m,n \in \mathbb{N}^*.$
(viewtopic.php?f=111&t=18320, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=370532&)

382.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

$f(x^{2})=f(x)^{2}, \ \forall x\in\mathbb{R}$ και

$f(x+1)=f(x)+1, \ \forall x\in\mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18322, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=400287&, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=331537&,
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=386824&)

383.
Να προσδιορίσετε όλες τις μονότονες συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(f(x)-y)+f(x+y) = 0, }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18321, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=377077&)

384.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(|x|+y+f(y+f(y))) = 3y+|f(x)| ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18367, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=372591&)

385.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f\left[{{x^{2}}+{y^{2}}+2f\left({xy}\right)}\right] ={\left[{f\left({x+y}\right)}\right]^{2}},$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$
και οι οποίες είναι 1-1 στο $(2011,+\infty).$
(viewtopic.php?f=111&t=18368, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=388872&)

386.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f\left(x+f(y)\right)=f(x+xy)+yf(1-x) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18369, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=412726&)

387.
Να προσδιορίσετε όλες τις επί συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+f(x)+2f(y))=f(2x)+f(2y), }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18370, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=405971&)

388.
Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη συναρτήσεων $f,g:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ που ικανοποιούν τη συναρτησιακή εξίσωση

$\displaystyle{ f(x+g(y))=g(x)+2y+f(y), }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{Q}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18424, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=427313)

389.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(xy+x+y)+f(xy-x-y)=2(f(x)+f(y)), }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18464, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=427315, http://forum.gil.ro/viewtopic.php?f=21&t=812&start=0)

390.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x-f(y))=f(x)+f(f(y))-2xf(y), }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18457)

Την ίδια ιδέα συναντάμε στα επόμενα προβλήματα:

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1 ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
IMO 1999

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(f(x)+y) = f(f(x)-y)+4f(x)y , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
ΒMO 2007

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+f(y))=f(x-f(y))+4xf(y) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
International Zhautykov Olympiad 2011

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x)^{2}+2yf(x)+f(y)=f(y+f(x) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
Στην ίδια ιδέα!

#144

391.
Έστω $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ συνάρτηση τέτοια ώστε $|f(x+y)-f(x)-f(y)|\le |x-y|\ ,\ \forall\ x,y\in\mathbb{R} .$

Να δείξετε ότι $\displaystyle \lim_{x\to 0}\, f(x)=0\iff\lim_{x\to 0}\, xf(x)=0 .$
(viewtopic.php?f=9&t=18422, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7&t=401585)

392.
Οι συναρτήσεις f,g

είναι συνεχείς στο $\mathbb{R}$ και επιπλέον

1) $f(x)=0, \forall x \in \mathbb{Z}$

2) $\displaystyle{f(x)= \int_0^x f(t)e^{g(t)}dt, \forall x \in \mathbb{R}}$

Να αποδειχθεί ότι $f(x)=0, \forall x \in \mathbb{R}$
(viewtopic.php?f=54&t=18241)

393.
Να εξετασετε αν:
α) Υπαρχουν γνησια αυξουσες συναρτησεις f,g: R --> R, ωστε f(x) - g(x) = sinx σε ολο το R
β) Υπαρχουν γνησια αυξουσες συναρτησεις f,g: R --> (0, + $\infty$ ), ωστε f(x) - g(x) = sinx σε ολο το R
(http://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=59&t=5531)

394.
Θεωρούμε τις συναρτήσεις f(x) = ax+b|x|

και

Δείξτε ότι, αν f(f(x))=x,

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ τότε g(g(x))=x,

για κάθε $x \in \mathbb{R}.$
Ισχύει το αντίστροφο;

Βρείτε, ακόμη, τα ζεύγη (a,b)

για τα οποία f(f(x))=x,

για κάθε $x \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=52&t=18494)

395.
Θεωρούμε τις συναρτήσεις $f ;g\ :\ \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

f(x) = 3x-1+| 2x+1|

και $g(x) =\frac{1}{5}\left( 3x+5-|2x+5|\right)\ , \ \forall x\ \in\ \mathbb{R} .$

Να δείξετε ότι $f\circ g = g\circ f$ και $( f\circ f )^{-1}= g\circ g .$
(viewtopic.php?f=52&t=18918)

396.
Βρείτε όλα τα πολυώνυμα

που ικανοποιούν τη σχέση

$\displaystyle{ p(a+b-2c)+p(b+c-2a)+p(c+a-2b) = 3p(a-b)+3p(b-c)+3p(c-a) .}$
(viewtopic.php?f=21&t=18497, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=347702&)

397.

είναι ένα σύνολο πραγματικών με δύο τουλάχιστον στοιχεία και $f:M \to M$ μία συνάρτηση ώστε $f(f(x))=f(x)-x, \forall x \in M$

Να δειχθεί ότι η

δεν είναι μονότονη
(viewtopic.php?f=61&t=18489)

398.
Δίνονται οι συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με

$f (x)=[x]+a\{x\}^2 +b\{x\} , \ x \in \mathbb{R}$ και

$g(x) = [x]+\{x\}^n, \ x \in \mathbb{R},$

όπου $a,b\geq 0$ με a+b=1

και $n \in \mathbb{N}^*.$

Να δείξετε ότι οι f,g

είναι 1-1 και επί και να βρείτε την αντίστροφή τους.
(viewtopic.php?f=61&t=18782)

399.
Να εξετάσετε αν υπάρχουν πολυώνυμα P(x),Q(x)

τέτοια ώστε για κάθε $x\in \mathbb R$ να ισχύει P(x)+Q(x)=P(x)Q(x).

(viewtopic.php?f=21&t=18771)

400.
Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα $P:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ για τα οποία ισχύει $\left[P{'}(x)\right]^2=P(x),~x\in \mathbb R.$
(viewtopic.php?f=69&t=18802)

401.
Έστω $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ συνάρτηση. Μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο επί του $\mathbb{R}$ συναρτήσεων;
(viewtopic.php?f=61&t=18697)

402.
Να βρεθεί ο τύπος της αύξουσας, συνεχούς συνάρτησης $\displaystyle{f:[0,1]\to \mathbb{R}, }$ για την οποία ισχύει

$\displaystyle{\int_{0}^{1}f(\sin x)dx+\int_{0}^{1}f(\ln (x+1))dx=1+\int_{0}^{1}f^{2}(x)dx.}$
(viewtopic.php?f=27&t=18957)

403.
Έστω το πολυώνυμο $\displaystyle{P}$ με πραγματικούς συντελεστές και για το οποίο ισχύει

$\displaystyle{P(x)+aP^{\prime}(x)\geq 0,}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R},}$

όπου $\displaystyle{a}$ μια πραγματική σταθερά.

Να αποδείξετε, ότι

$\displaystyle{P(x)\geq 0,}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}.}$
(viewtopic.php?f=27&t=18847)

404.
Να βρείτε τον τύπο της παραγωγίσιμης συνάρτησης $\displaystyle{f:R \to \left( {0, + \infty } \right)}$ που είναι τέτοια ώστε $\displaystyle{f'\left( x \right) = - 3\ln f\left( x \right)}$ για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ και $\displaystyle{f\left( 1 \right) = 1}$
(viewtopic.php?f=53&t=18602)

405.
Έστω $f : [0,+\infty)\to\mathbb{R}$ παραγωγίσιμη και φραγμένη συνάρτηση για την οποία $f(x)f'(x)\ge\sin x ,$ για κάθε $x\geq 0.$
Να εξετάσετε αν υπάρχει το όριο $\lim_{x\to+\infty}f(x) .$
(viewtopic.php?f=61&t=18779)

Αξιόλογες συλλογές:
http://web.studenti.math.hr/~mornik/nat ... e_memo.pdf
http://web.studenti.math.hr/~mornik/nat ... je_imo.pdf

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=350187

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=392562

#145

406.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ y^{2}f(x)+x^{2}f(y)+xy = xyf(x+y)+x^{2}+y^{2} ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18682, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=429235&)

407.
Για ποιες τιμές της σταθερής

υπάρχει συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{ x+af(y)\leq y+f(f(x)) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R};$
(viewtopic.php?f=111&t=18652, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=251955&, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=383375)

408.
Για ποιες τιμές της σταθερής

υπάρχει συνάρτηση $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{ x+f(y)=af(y+f(x)) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R};$
(viewtopic.php?f=52&t=18653, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=311413&)

409.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x-f(y)) = a( f (x) - x) - f (y), }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R},$ όπου

πραγματική σταθερή.
(viewtopic.php?f=111&t=18578)

410.
Υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $f(x+f(y))=f(x)+\sin y ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R};$
(viewtopic.php?f=111&t=18651, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=145741)

411.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^* \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε
$\displaystyle{ f(x^{2})\biggl( f(x)^{2}+f\left(\frac{1}{y^{2}}\right)\biggr) = 1+f\left(\frac{1}{xy}\right)\quad\forall x,y\in\mathbb{R}\setminus\{0\}. }$
(viewtopic.php?f=111&t=18496, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=391584&)

412.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(x+f(y))+f(xf(y))=y+f(x)+yf(x) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Η αρχική εκφώνηση ήταν η επόμενη. Νομίζω έτσι έχει περισσότερο ενδιαφέρον.

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

f(x+f(y))+f(xf(y))=y+f(x)+yf(x)

και

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18500, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=382161&)

413.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: (0,\infty)\rightarrow (0,\infty)$ τέτοιες ώστε f(1+xf(y))=yf(x+y) ,

για κάθε

(viewtopic.php?f=111&t=18705, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... =38&t=2069, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=186656)

414.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f\left(x^{2}+yf(x)\right) = f(x)^{2}+xf(y) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18713, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=130904)

415.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(xy+x^2)=f(x)f(y)+f(f^2(x)),}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18710, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... =37&t=2112)

416.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f(xy+(f(x))^2)=f(f(x))f(x+y),}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18711, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... =36&t=2908)

417.
Έστω $\mathbb{N}_0$ το σύνολο των μη αρνητικών ακεραίων.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{N}_0\to\mathbb{N}_0$ για τις οποίες:

$\bullet \ 0\le f(x)\le x^2,$ για κάθε $x\in\mathbb{N}_0$
$\bullet \ x-y | f(x)-f(y),$ για κάθε $x,y\in\mathbb{N}_0 , \ x>y.$

Ολυμπιάδα Νοτίου Αφρικής 2011
(viewtopic.php?f=111&t=18717, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=429529)

418.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(a+f(a+b))=f(a-b)+(f(a))^{2} ,$ για κάθε $a,b \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18718, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 0&t=429302)

419.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f(xf(y))+f(yf(x))=2xy,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18766, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... php?t=2128)

420.
Υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{ f(x)f(x+y)+2f(x+2y)+f(2x+y)f(y)=x^{4}+y^{4}+x^{2}+y^{2} ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18768, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=180822)

#146

421.
Έστω $\Box : \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ μια πράξη που ικανοποιεί τα ακόλουθα αξιώματα:

(α) $(a + b)(a\Box b) = (a^2)\Box (b^2) \ \ \forall a, b \in \mathbb{Z}.$
(β) $(a \Box b) + (b \Box c) = a \Box c \ \ \forall a, b, c \in \mathbb{Z}.$
(γ) $1\Box 0 = 1.$

Να δείξετε ότι $a\Box b = a - b .$
(viewtopic.php?f=111&t=19111)

422.
Έστω $\Box : \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ μια πράξη που ικανοποιεί τα ακόλουθα αξιώματα:

(α) $(x\Box y) + (y\Box z) + (z\Box x) = 0, \ \forall x, y, z \in \mathbb{Z}.$
(β) $z(x\Box y) = (zx)\Box (zy) \ \forall x, y, z \in \mathbb{Z}.$
(γ) Υπάρχουν ακέραιοι x, y

με

τέτοιοι ώστε $x\Box y = 1.$

Να υπολογίσετε το $2010 \Box 10.$
(viewtopic.php?f=111&t=19110)

423.
Έστω $\Box$ μια προσεταιριστική πράξη στους θετικούς ακεραίους.

Να δείξετε ότι υπάρχουν θετικοί ακέραιοι a,b

τέτοιοι ώστε $1 \Box a \Box a \Box b \Box b\Box b\ne a+b.$
(viewtopic.php?f=111&t=19141)

424.
Έστω $\Box : \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to \mathbb{R}$ μια πράξη που ικανοποιεί τα ακόλουθα αξιώματα:

(α) $(x + y) \Box z = y \Box (x + z) \ \ \forall x, y, z \in \mathbb{Z}$

(β) $(3x)\Box y = x \Box (3y) \ \ \ \ \forall x, y \in \mathbb{Z}$

(γ) $1\Box 1 = 2011.$

Να υπολογίσετε το $2011\Box 2011.$
(viewtopic.php?f=111&t=19129)

425.
Έστω $\Box : \mathbb{Z}_{\geq 0}\times \mathbb{Z}_{\geq 0}\to \mathbb{Z}$ μια πράξη που ικανοποιεί τα ακόλουθα αξιώματα:

(α) $(x + 1)\Box y = (x\Box y) + (y^2+ 1)\Box 0 \ \ \forall x,y \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$

(β) $(2x)\Box x = 2(x\Box x) \ \ \ \ \forall x \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$

(γ) $1\Box 0 = 1.$

Να υπολογίσετε το $5\Box 20$ και να βρείτε την $\Box.$
(viewtopic.php?f=111&t=19240)

426.
Υπάρχει πράξη $\Box : \mathbb{R}_+\times \mathbb{R}_+\to \mathbb{R}_+$ που ικανοποιεί τα ακόλουθα αξιώματα:

(α) $(x\Box x)\Box (x\Box x)\ne ((x\Box x)\Box x)\Box x \ \ \forall x \in \mathbb{R}_+$

(β) $(x\Box y)\Box x = x\Box (y\Box x) \ \ \ \ \forall x,y \in \mathbb{R}_+;$
(viewtopic.php?f=111&t=19242)

427.
Υπάρχει πράξη $\Box : \mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $x\Box (y\Box z)\ne (x\Box y)\Box z, \ \forall x,y,z \in \mathbb{R};$
(viewtopic.php?f=111&t=19243)

428.
Έστω $\Box : \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ μια πράξη που ικανοποιεί τα ακόλουθα αξιώματα:

(α) $(a + 1)\Box b - (a - 1)\Box b = 4a \ \ \forall a,b \in \mathbb{Z}$

(β) $b\Box a = -(a\Box b) \ \ \ \ \forall a,b \in \mathbb{Z}$

(γ) $1\Box 0 = 1.$

Να υπολογίσετε το $1006\Box 1005.$
(viewtopic.php?f=111&t=19239)

429.
Έστω $\Box : \mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ μια πράξη που ικανοποιεί τα ακόλουθα αξιώματα:

(α) $(a\Box b)+c=(b+c)\Box (a+c) \ \ \forall a,b,c \in \mathbb{R}$

(β) $0\Box(a+b)=(0\Box a)+(0\Box b) \ \ \ \ \forall a,b \in \mathbb{R}$

Nα βρείτε την $\Box.$
(viewtopic.php?f=111&t=19244)

430.
Αν

και

είναι ακέραιοι, τότε ο αριθμός $x\Box y$ είναι επίσης ακέραιος.
Η πράξη $\Box$ ικανοποιεί τα ακόλουθα:
$\bullet \ x \Box (y + z) = (x \Box y) - z ,$ για όλους τους ακέραιους x,y,z

$\bullet \ (y + z)\Box x = (y\Box x) + 2z,$ για όλους τους ακέραιους x,y,z

$\bullet \ 1\Box 1 = 1.$

Να υπολογίσετε τον αριθμό $25\Box 10.$

Bonus: Δείξτε ότι $a\Box b=2a-b.$
(viewtopic.php?p=96904#p96904)

431.
Έστω $\Box : \mathbb{Z}_{\geq 0}\times \mathbb{Z}_{\geq 0}\to \mathbb{Z}_{\geq 0}$ μια πράξη που ικανοποιεί τα ακόλουθα αξιώματα:

(α) $(x + 1)\Box 0 = (0 \Box x) + 1$

(β) $0 \Box (y + 1) = (y \Box 0) + 1$

(γ) $(x + 1)\Box (y + 1) = (x \Box y) + 1.$

Αν $1100 \Box 450 = 2000$ να βρείτε το $1723 \Box 3421$ και, αν θέλετε, την $\Box.$
(viewtopic.php?p=97618#p97618)

432.
Αν

και

είναι μη αρνητικοί ακέραιοι, τότε ο αριθμός $x\Box y$ είναι επίσης μη αρνητικός ακέραιος.
Η πράξη $\Box$ ικανοποιεί τη συνθήκη: $(x\Box y)(y\Box z) = x\Box z.$

Αν $23 \Box 47 \ne 0$ να υπολογίσετε τον αριθμό $61 \Box 89.$
(viewtopic.php?p=97611#p97611)

433.
Έστω $\Box : \mathbb{Z}_{> 0}\times \mathbb{Z}_{> 0}\to \mathbb{Z}_{> 0}$ μια πράξη που ικανοποιεί τα ακόλουθα αξιώματα:

(α) $x \Box (y + z) = (x \Box y) (x \Box z)$

(β) $(x+ y)\Box 1 =(x \Box 1) + (y \Box 1)$

(γ) $(x+ y) \Box 2 = (x \Box 2) + 4(x y \Box 1) + (y \Box 2).$

Να βρείτε το $5 \Box 9$ και την $\Box.$
(viewtopic.php?f=111&t=19299)

434.
Έστω $\circ$ μια πράξη σε ένα μη κενό σύνολο

Αν
$\bullet a \circ (b \circ c) = b \circ (c \circ a),$ για κάθε $a,b,c \in M$ και
$\bullet a \circ b = a \circ c \implies b = c$

να δείξετε ότι η $\circ$ είναι αντιμεταθετική και προσεταιριστική.
(viewtopic.php?f=111&t=19298)

435.
Έστω

μια πράξη στο σύνολο των ακεραίων που ικανοποιεί τα αξιώματα:
$\bullet x * (x * y) = y,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{Z}$
$\bullet (x * y) * y = x,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{Z}.$

α) Να δείξετε ότι η πράξη

είναι αντιμεταθετική, δηλαδή x * y = y * x,

για κάθε $x,y \in \mathbb{Z}.$

β) Να εξετάσετε αν είναι υποχρεωτικά προσεταιριστική, δηλαδή (x * y) * z = x * (y * z),

για κάθε $x,y,z \in \mathbb{Z}.$

γ) Βρείτε μία πράξη

στο σύνολο $\{1,2,...,n\}$ με τα παραπάνω αξιώματα.
(viewtopic.php?f=111&t=19297)

Όποιος γνωρίζει κι άλλες τέτοιες ασκήσεις με πράξεις, αν θέλει, ας τις μοιραστεί μαζί μας!

#147

436.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , οι οποίες ικανοποιούν τη σχέση

$f(x+y)+f(xy)=f(x)+f(y)+f(x)f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}$
(viewtopic.php?f=111&t=18620)

437.
Να βρεθούν όλες οι συνεχείς και περιοδικές συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , οι οποίες ικανοποιούν τη σχέση

$\displaystyle{2^{f(2x)}+3^{f(3x)}=5^{f(5x)}, \forall x \in \mathbb{R}}$
(viewtopic.php?f=61&t=18663)

438.
Υπολογίστε τις συναρτήσεις

$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\;\tau \dot \varepsilon \tau o\iota \varepsilon \varsigma \;\dot \omega \sigma \tau \varepsilon \;\left( {\forall x,y \in \mathbb{R}} \right)\left[ {\left( {f\left( x \right) + f\left( y \right)} \right)f\left( {x + y} \right) = 2f\left( {xy} \right) + x^2 + y^2 } \right].$
(viewtopic.php?f=111&t=18810)

439.
Θεωρούμε συνάρτηση $f: Q^+ \to R$ τέτοια ώστε:
$\bullet \ f(1997)=1$

$\bullet \ f(x+y)\leq f(x)+f(y), \ \forall x,y\in Q^+$

$\bullet f(xy)=f(x)f(y), \ \forall x,y\in Q^+$

Δείξτε ότι $f(2005)\leq 1.$
(viewtopic.php?f=111&t=18826, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 1&t=428983)

440.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+yg(x))=g(x)+xf(y) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18770, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=380933, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=376448, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=301766,
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 36&t=99382)

441.
Βρείτε όλα τα πολυώνυμα

με πραγματικούς συντελεστές, για τα οποία

$\displaystyle{ 2 y f(x + y) + (x - y)(f(x) + f(y)) \geq 0,}$

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18831, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=249173)

442.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(xy)=\max\{f(x+y),f(x) f(y)\} ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18812, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=419854)

443.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle f(x+y)=f(x).3^{{b^{y}}+f(y)-1}+b^{x}(3^{{b^{y}}+f(y)-1}-b^{y}) ,$

για κάθε $x,y \in \mathbb{R},$ όπου b>0.

(viewtopic.php?f=111&t=18858, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=362621)

444.
Να βρεθούν όλες οι φραγμένες κάτω συναρτήσεις $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{R}$ , για τις οποίες

$\displaystyle{f(n) \ge \frac {f(n+1)+f(n-1)}{2}, \forall n \in \mathbb{Z}}$
(viewtopic.php?f=111&t=18851)

445.
Έστω $f :\mathbb{ R} \to \mathbb{R}$ μια συνεχής συνάρτηση, τέτοια ώστε $\displaystyle f(x) \leq f\left(x +\frac{1}{n}\right),$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ και για κάθε $n \in \mathbb{N}^*$
Να αποδείξετε ότι η

είναι μη φθίνουσα.
(viewtopic.php?f=9&t=18890)

446.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x)f(yf(x)-1)=x^{2}f(y)-f(x) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18883, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=336781)

447.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

$f(x)f(y)\le f(xy)$

και

$f(x)+f(y)\le f(x+y) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18881, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=371349)

448.
Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης $f(n) = n+\lfloor\sqrt{n}\rfloor , \ n \in \mathbb{N}^*.$
(viewtopic.php?f=111&t=18886, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=374146)

449.
Έστω p(x)

πολυώνυμο, με ακέραιους συντελεστές.

Οι ακέραιοι

και

είναι τέτοιοι ώστε $p(m)p(n)=-(m-n)^{2} .$

Να δείξετε ότι p(m)+p(n)=0 .

(viewtopic.php?f=109&t=18884, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=424938&)

450.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε

f(xf(y))=yf(x) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$

και

$f(x)\to0$ όταν $x\to\infty .$
(viewtopic.php?f=111&t=18882, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 36&t=60798&)

#148

451.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(f(x)+y)= f(x+y)+xf(y)-xy-x+1 ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18919, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=348529, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=345834)

452.
Να προσδιορίσετε όλες τις αύξουσες συναρτήσεις $f:\mathbb{N}^* \rightarrow \mathbb{N}^*$ τέτοιες ώστε $f(y(f(x))=x^{2}f(xy) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{N}^*.$
(viewtopic.php?f=111&t=18920, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=385174)

453.
Να βρείτε τον τύπο της συναρτησης
$\displaystyle{f:R\rightarrow R}$
για την οποία ισχύει:
$\displaystyle{f(sin^2x+f(y))=sin^2x+y}$
για κάθε $\displaystyle x,y\in R}$
(viewtopic.php?f=111&t=18948)

454.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f( xy+f(x+y))\ =\ xy+f(x)+f(y)$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18830, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=351068)

455.
Να βρεθεί η συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , η οποία έχει αρχική, f(1)=1

και ικανοποιεί τη σχέση

$f(x)+f(y)=2f\left(\frac {x+y}{2}\right)+2f\left(\frac {x-y}{2}\right), \forall x,y \in \mathbb{R}$
(viewtopic.php?f=61&t=18767)

456.

ένα σύνολο πραγματικών με

στοιχεία ( $n \ge 2$ ) και $f:A \to A$ συνάρτηση με την την ιδιότητα

$\left|f(x)-f(y)\right|<\left|x-y\right|, \forall x \neq y$

Να αποδειχθεί ότι η $f \circ f \circ ...\circ f$ (

φορές) είναι σταθερή
(viewtopic.php?f=111&t=18665)

457.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ τέτοιες ώστε f(x+f(x)+2y)=2x+2f(f(y)) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{Q}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18916, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=378365)

458.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ τέτοιες ώστε f(x+f(x)+y)=f(y)+2x ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{Q}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18917, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=349063)

459.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f,g,h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x+y^{3})+g(x^{3}+y)=h(xy) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=19057, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=109448, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=196006,
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7#p2459417)

460.
Έστω συνάρτηση $f:\mathbb{N}^*\to \mathbb{N}^*$ τέτοια ώστε

f (ab) = f (a) f (b) - f (a) - f (b) + 2,

για όλους τους θετικούς ακεραίους a,b

και

για κάθε $c \geq 10^{10}.$

Να δείξετε ότι f (n) = n + 1,

για κάθε

(viewtopic.php?f=111&t=19196)

461.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x-y+f(y))=f(x)+f(y), }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{Z}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18966, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=149172)

462.
Έστω συνάρτηση $f: \mathbb{N}^*\to \mathbb{N}^*$ τέτοια ώστε
$\bullet f(n+f(n))=f(n),$ για κάθε $n \in \mathbb{N}^*$
$\bullet$ υπάρχει n_0

τέτοιος ώστε f(n_0)=1.

Δείξτε ότι $f\equiv 1.$
(viewtopic.php?f=111&t=18965, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=177477)

463.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x)=f(x+y^{2}+f(y)) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18964, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=390306)

464.
Να προσδιορίσετε όλες τις γνησίως αύξουσες συναρτήσεις $f:\{1,2,\ldots,10\}\to\{1,2,\ldots,100\}$ τέτοιες ώστε x+y|xf(x)+yf(y) ,

για κάθε $x,y\in\{1,2,\ldots,10\}.$
(viewtopic.php?f=111&t=18963, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=371566)

465.
Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $f:(0,+\infty )\rightarrow (0,+\infty)$ τέτοια ώστε $\displaystyle{ f(x+y)\ge f(x)+yf(f(x)) ,}$ για κάθε $x,y\in (0,+\infty ) .$

Ισχυρότερα:

Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $f:(0,+\infty )\rightarrow (0,+\infty)$ τέτοια ώστε $f(x+y)\ge yf(f(x)) ,$ για κάθε $x,y\in (0,+\infty ) .$
(viewtopic.php?f=111&t=18962, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=374022, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=177975,
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=386866)

#149

466.
Η συνάρτηση $f:N^{*}\rightarrow (0,+\propto )$ έχει τις ιδιότητες:

f(4)=4

και

$\frac{1}{f(1)f(2)}+\frac{1}{f(2)f(3)}+...+\frac{1}{f(n)f(n+1)}=\frac{f(n)}{f(n+1)}$

για κάθε $n\epsilon N^{*}$

Να βρεθεί ο τύπος της.
(viewtopic.php?f=52&t=18632)

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{f(k)\cdot f(k+1)}}=\frac{f(f(n))}{f(n+1)}, }$

για κάθε $n \in \mathbb{N}.$
(viewtopic.php?f=52&t=18829, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=333996&)

467.
Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:[0,+\infty) \to [1,+\infty)$ , αν υπάρχει πραγματικός αριθμός

και θετικός ακέραιος

ώστε

να αληθεύει η $f(x)f(2x)...f(nx) \le an^k$ για κάθε $x \ge 0$ και για κάθε $n \in \mathbb{N}^*$
(viewtopic.php?f=61&t=19419, viewtopic.php?p=40371#p40371)

468.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , που ικανοποιούν την σχέση

$f\left(xf(x)+f(y) \right)=\left(f(x)\right)^2+y ,\ \forall x,y \in \mathbb{R}$
(viewtopic.php?f=111&t=19374)

469.
Η $f:[0,+\infty) \to [0,+\infty)$ είναι μία συνάρτηση συνεχής, που δεν είναι σταθερά μηδέν.

Αν $f(f(x))=(x^2+x+1)f(x), \ \forall x \ge 0$ , να αποδειχθεί ότι η

είναι 1-1 και επί.
(viewtopic.php?f=61&t=19329)

470.
Θεωρούμε συνεχή συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ τέτοια ώστε f ( x + 3) + f ( x -1) = f ( x +1) + x,

για κάθε πραγματικό αριθμό

Να δείξετε ότι η εξίσωση f ( x) = 5

έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα και $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=52&t=19284)

471.
Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις $f:[0,1] \to [0,1]$ με την ιδιότητα

$f(x)+f(y)=f(f(x)+y), \forall x,y \in [0,1] \wedge f(x)+y \in [0,1]$
(viewtopic.php?f=61&t=19265)

472.
Έστω $\displaystyle{Q\left( x \right)}$ ένα πολυώνυμο με ακεραίους συντελεστές τέτοιο ώστε :

$\displaystyle{Q\left( { - m} \right) < Q\left( m \right) < m}$

για κάποιο $\displaystyle{m}$ ακέραιο. Να δείξετε ότι $\displaystyle{Q\left( { - m} \right) < - m}$ .
(viewtopic.php?f=111&t=19206)

473.
Δίνεται η συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ για την οποία ισχύει ότι

f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)

για κάθε $x,y\epsilon R$ όπου

είναι ένας πραγματικός αριθμός. Αν επί πλέον ισχύει ότι

f(0)f(a)>0

να αποδείξετε ότι η

είναι σταθερή.
(viewtopic.php?f=52&t=19137)

474.
Έστω συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με τις ιδιότητες

(α) $f(f(x))+f(x)=2x, \forall x \in \mathbb{R}$

(β) $f(x)\neq x, \forall x \in \mathbb{R}$ (*)

Να αποδειχθεί ότι υπάρχει $a \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ με f(a)<a

(viewtopic.php?f=111&t=19132)

Έστω συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με τις ιδιότητες

(α) $f(f(x))+f(x)=2x, \forall x \in \mathbb{R}$

(β) Το σύνολο των σταθερών σημείων της

είναι το πολύ αριθμήσιμο

Να αποδειχθεί ότι υπάρχει $a \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ με f(a)<a

(viewtopic.php?f=61&t=19441)

475.
Αν για τη μη σταθερή συνάρτηση $f:(0,+\infty)\to \mathbb R$ και για τους a,b>0

ισχύει ότι : $f(ax\cdot by)=af(x)+bf(y),\,\forall x,y>0 ,\fbox 1$
να δείξετε ότι f(1)=0

Δώστε παράδειγμα τέτοιας συνάρτησης.
(viewtopic.php?f=111&t=13349)

476.
Να προσδιορίσετε τα σύνολα

και

αν ισχύουν οι ακόλουθες συνθήκες:

$\bullet A\cup B=\mathbb{Z}$
$\bullet$ αν $x\in A$ τότε $\left( x-1\right) \in B$
$\bullet$ αν $x,y\in B$ τότε $\left( x+y\right) \in A.$
(viewtopic.php?f=111&t=19029, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 36&t=30568)

477.
Έστω $f:\mathbb{Z}\rightarrow\{ 1,2,\ldots ,n\}$ συνάρτηση τέτοια ώστε $f(x)\not= f(y) ,$ για κάθε $x,y\in\mathbb{Z}$ με $|x-y|\in\{2,3,5\} .$
Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του

(viewtopic.php?f=111&t=18996, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 2&t=390060&)

478.
Υπάρχει συνεχής συνάρτηση $f\colon[0,\infty)\to\mathbb{R}$ τέτοια ώστε $\displaystyle\ f(\frac{x}{1+x})=x+f(x)$ ;
(viewtopic.php?f=61&t=19034)

479.
Για τη δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f: R \rightarrow R^*}$ ισχύει:

$\displaystyle{f''(x)f(x)+f'(x)=f'(x)f(x)+f(x)}$ , για κάθε $\displaystyle{x \in R}$

καθώς και $\displaystyle{f(0)=f'(0)=1}$ .

Να βρεθεί ο τύπος της $\displaystyle{ f }$ .

Να λυθεί το ίδιο πρόβλημα εάν $\displaystyle{f:R \to R,f(0) = f'(0) = 1}$ με την ίδια διαφορική εξίσωση
(viewtopic.php?f=56&t=19327)

480.
Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση $f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$ , που ικανοποιεί τη σχέση

$\displaystyle{x^a \left(f\left(\frac {2x+3}{x+1}\right)-f\left(\frac {2x+1}{x}\right)\right)=2011, \forall x>0}$

,

όπου $a \in (0,1]$
(viewtopic.php?f=61&t=19020)

481.
Υπάρχει συνάρτηση $f: \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ τέτοια ώστε $f(f(x))=1-x^{4};$
(http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=110511)

Γενικότερα:
Έστω δύο συναρτήσεις $f,g: {A}\to {A}$ . Έστω

το σύνολο των σταθερών σημείων της

και

το σύνολο των σταθερών σημείων της gog

. Αν $|C|-|B| \geq 2$ , τότε δεν υπάρχει

τέτοια ώστε f(f(x))=g(x)

.
(viewtopic.php?f=111&t=19028)

#150

482.
Έστω η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{ f:R \to R }$ με την ιδιότητα $\displaystyle{ \int_x^{x + y} {f(t)dt} = \int_{x - y}^x {f(t)} dt }$ για κάθε $\displaystyle{ x,y \in R }$ . Να δειχθεί ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή.
(viewtopic.php?f=54&t=4928)

483.
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , οι οποίες έχουν αρχική και ικανοποιούν τη σχέση

$f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}$
(viewtopic.php?f=61&t=18695)

484.
Έστω πως η συνάρτηση $\displaystyle{ f }$ είναι κυρτή στο $\displaystyle{ \left[ {0,1} \right] }$ .Τότε να αποδείξετε πως η συνάρτηση $\displaystyle{ g(x) = f(x) + f(1 - x) }$ είναι φθίνουσα στο $\displaystyle{ \left[ {0,\frac{1}{2}} \right] }$
(viewtopic.php?f=61&t=18642)

485.
Έστω η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ που είναι τέτοια ώστε να ισχύουν:
$\displaystyle\ f(1)=11$
$\displaystyle\ f(x+1)=\frac{(f(x))^{2}+f(x)-1}{f(x)}$
Εάν $\displaystyle\ A=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{f(i)-1}, B=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{f(i)+1}$ , τότε να υπολογίσετε τα όρια
1) $\dislaystyle\\lim_{n\rightarrow\infty }(A+B)$
2) $\displaystyle\\lim_{n\rightarrow\infty }(A-B)$
(viewtopic.php?f=9&t=18069)

486.
Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν συναρτήσεις $f,g : \mathbb R \longrightarrow \mathbb R$ έτσι ώστε η fog

να είναι γνησίως αύξουσα και η gof

να είναι γνησίως φθίνουσα.
(viewtopic.php?f=9&t=18839, http://rmms.lbi.ro/_dwl/Sols2011D1.pdf)

487.
Δίνονται οι συναρτήσεις $\displaystyle f, g : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ για τις οποίες γνωρίζουμε ότι η $\displaystyle fog$ είναι γνησίως αύξουσα και η $\displaystyle gof$ είναι γνησίως φθίνουσα.
Να δειχθεί ότι:
α. Οι συναρτήσεις $\displaystyle f, g$ είναι $\displaystyle 1-1$

β. Οι συναρτήσεις δεν είναι συνεχείς.
(viewtopic.php?f=52&t=18912)

488.
Έστω συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ με $f^{3}(x)+f(x)+1=x$ για κάθε $x\epsilon R$ .
Nα βρείτε το σύνολο τιμών της f.
(viewtopic.php?f=52&t=18894)

489.
Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση

ορισμένη στο $\mathbb{R}$ ,
που να παίρνει κάθε τιμή ακριβώς δύο φορές.
(viewtopic.php?f=52&t=18938, viewtopic.php?f=52&t=15491)

490.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ για τις οποίες ισχύουν τα εξής:

(1) (x+y)f(x+y)+1=(xf(x)+1)(yf(y)+1)

για κάθε $x,y\in \mathbb{R}$ και

(2) η

είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$
(viewtopic.php?f=59&t=18993)

491.
Έστω $P:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές. Αν a,b,c

ακέραιοι διαφορετικοί ανά δύο,
να δείξετε ότι το σύστημα $\begin{cases} P(a)=b \\ P(b)=c \\ P(c)=a \end{cases}$ είναι αδύνατο.
(viewtopic.php?f=27&t=18888)

492.
Έστω $f: \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}^*$ συνάρτηση με τις ιδιότητες $f(xy)=f(x)f(y) , \ \forall x,y \in \mathbb{R}^*$

και $f(x) \neq x \, \forall x \in \mathbb{R}^* \setminus \{1\}$ και η συνάρτηση $g :\mathbb{R}^* \to \mathbb{R}^*$

με $g(x)=\frac {f(x)}{x}$ . Να δειχθεί ότι

α) Η

είναι 1-1

β) $g(\mathbb{R}^*)=\mathbb{R}^* \Leftrightarrow$ για κάθε $y \in \mathbb{R}^*$ υπάρχει $x \in \mathbb{R}^*$ ώστε $f(xy)=\left(f \circ f \right)(x)$
(viewtopic.php?f=52&t=19424)

493.
Έστω συνάρτηση $\displaystyle{f:\left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right] \to \left[ { - 1,1} \right]}$ της οποίας η παράγωγος είναι συνεχής και μη αρνητική. Να δείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle{\xi \in \left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right]}$ ώστε :

$\displaystyle{{\left( {f\left( \xi \right)} \right)^2} + {\left( {f'\left( \xi \right)} \right)^2} \le 1}$
(viewtopic.php?f=56&t=19037)

494.
Οι συναρτήσεις $f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ είναι γνησίως μονότονες και $f \circ f=g , g\circ g=f$ .

Να αποδειχθεί ότι f=g

(viewtopic.php?f=52&t=19210)

495.
Δίνεται η συνάρτηση: $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία για κάθε $x \in \mathbb{R}$ ισχύει ότι: f^3(x)+f(x)+x^3=27

.
α) Να εξετάσετε αν η

είναι συνεχής στο 3.
β) Να εξετάσετε αν η

είναι παραγωγίσιμη στο 3.
(viewtopic.php?f=53&t=19209)

496.
Έστω $f,g:[a,b]\rightarrow R$

Εάν $\forall x \in (a,b)$ ισχύει g(x)<

2

και

$g(x) \ge$ 2 $|f(x_{o})-f(a)|+|f(x)-f(x_{o})|,\forall x_{o} \in (a,x) , \forall x \in (a,b)$

Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις g,g+f,g-f

είναι γν. αύξουσες στο διάστημα (a,b)
(viewtopic.php?f=52&t=19165)

#151

497.
Να αποδειχθεί ή να διαψευσθεί ο ακόλουθος ισχυρισμός:

Αν η $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ απεικονίζει κάθε κλειστό και φραγμένο διάστημα σε κλειστό και φραγμένο διάστημα και

κάθε ανοικτό και φραγμένο διάστημα σε ανοικτό και φραγμένο διάστημα, είναι συνεχής.
(viewtopic.php?f=9&t=18613)

498.
Πως θα αποδείξουμε ότι το πολυώνυμο

$\displaystyle{P(x)=1+x+\frac {x^2}{2!}+ \frac {x^3}{3!}+...+\frac {x^{2n}}{(2n)!}}$

δεν έχει πραγματικές ρίζες;
(viewtopic.php?f=56&t=13070)

499.
Αν f συνεχής συνάρτηση σε όλο το R και ισχύει:

$\displaystyle{ f(x - 1) + f(x + 1) \ge x + f(x) }$

για κάθε χ πραγματικό τότε να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή του ολοκληρώματος:

$\displaystyle{ \int\limits_1^{2010} {f(x)dx} }$
(viewtopic.php?f=27&t=6790)

500.
Έστω $\displaystyle{ f:[0, + \infty ) \to R }$ συνεχής συνάρτηση, παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{ (0, + \infty ) }$ με f(0)=0 και $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 0 }$
.Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ>0 ώστε $\displaystyle{ f'(\xi ) = 0 }$
(viewtopic.php?f=56&t=2630&start=0)

501.
Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις $f : \mathbb R \ \rightarrow \mathbb R$

με την ιδιότητα

$f(ax + b\int_0^xf(t)dt ) = ax+b , \forall x \in \mathbb R$ και $a \neq 0$
(viewtopic.php?f=6&t=3851)

502.
Υπάρχει μονότονη και επί συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ ;

(Μπορεί να έχουμε και περισσότερες της μιας λύσεις)
(viewtopic.php?f=9&t=18907)

503.
Έστω η συνάρτηση $\displaystyle\ f(x)=\int_{0}^{1}\frac{|t-x|}{t+1}\ \mathrm{dt}$ με $\displaystyle{x \in R}$ . Να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης και να βρείτε την θέση στην οποία παρουσιάζεται η τιμή αυτή.
(viewtopic.php?f=54&t=19180)

504.
Αν $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ είναι μία παραγωγίσιμη συνάρτηση και $a,b \in \mathbb{R}$ με a<b

ώστε

,να αποδειχθεί ότι υπάρχει $c \in (a,b)$ ώστε f(c)+f{'}(c)=f(c)f{'}(c)

(viewtopic.php?f=61&t=19251&p=97380#p97380)

505.
Έστω $f:\mathbb{R}^*_+\to \mathbb{R}^*_+$ παραγωγίσιμη συνάρτηση τέτοια ώστε f(f(x))=x,

για κάθε

Αν $f(2011)\ne 2011,$ να βρεθεί το όριο $\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x).$
(viewtopic.php?f=61&t=19390)

506.
Έστω $f:(a,b)\to \mathbb{R}$ κυρτή μη σταθερή σε κανένα υποδιάστημα του (a,b)

.Δείξτε ότι η

δεν παίρνει max τιμή στο (a,b)

.
(viewtopic.php?f=9&t=19302)

507.
Έστω η δύο φορές συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{ f:(0, + \infty ) \to R }$ τέτοια ώστε να ισχύει:
$\displaystyle{ |f''(x) + 2xf'(x) + (x^2 + 1)f(x)| \le 1,\forall x \in (0, + \infty ) }$
Να αποδείξετε ότι:
$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 0 }$
(viewtopic.php?f=27&t=19415)

508.
Να εξεταστεί αν υπάρχει συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^*$ , της οποίας μία αρχική

ικανοποιεί τη σχέση

$F(1-x)F(x)F(1+x)=F(x^n), \ \forall x \in \mathbb{R}$ , όπου

ακέραιος $\ge2$
(viewtopic.php?f=53&t=19442)

509.
Έστω $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$ συνεχής συνάρτηση, τέτοια ώστε $\displaystyle{f(f(x))=f(x)-\frac{1}{4}x+1,\ \forall x \in \mathbb{R}.}$

α) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία.

β) Να δείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle{f (x) = ax}$ έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα, για κάθε $a\geq 1.$

γ) Αν $\displaystyle{\lim_{x\to \infty}f(f(x))=\infty}$ και $\displaystyle{\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}=L\in \mathbb{R},}$ να βρείτε το

(viewtopic.php?f=52&t=19476)

510.
Να βρεθούν όλες οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με συνεχή παράγωγο για τις οποίες

$f(x)=f\left(\frac {x}{2}\right)+ \frac {x}{2}f{'}(x), \ \forall x \in \mathbb{R}$
(viewtopic.php?f=61&t=19490)

Nick1990 · #152

355:

Για x=0

εύκολα

Η δοσμένη μας λέει ότι:
$g(2x)=g(x) \forall x \in \mathbb{R}/\{0\}, g(x) = \frac{f(x)}{e^x-1}$
Όμως από DLH:
$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x)}{e^x-1} = f'(0)$ άρα
$g(x) = g(\frac{x}{2}) = ... = g(\frac{x}{2^k}), \forall k \in \mathbb{N}, x \in \mathbb{R}/\{0\}$
και παίρνοντας όρια
$g(x) = \lim_{k \rightarrow +\infty}g(\frac{x}{2^k}) = f'(0) = c, \forall x \in \mathbb{R}/\{0\}$
Δηλαδή η

είναι σταθερή και τότε
$f(x) = c(e^x - 1), \forall x \in \mathbb{R}/\{0\}$ , ενώ ο τύπος αυτός ισχύει προφανός και για x=0

, οπότε:
$f(x) = c(e^x - 1), \forall x \in \mathbb{R}$
που εύκολα όλες αυτές ικανοποιούν.

#153

511.
Nα βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του F(x^5)

διαιρούμενο με το 1+x+x^2+x^3+x^4

,αν $F(x)=1+x+x^2+x^3+...+x^{1999}$
(viewtopic.php?f=21&t=19694)

512.
Βρείτε τα πολυώνυμα για τα οποία ισχύει F(x^2-2x)=(F(x-2))^2

(viewtopic.php?f=21&t=19694)

513.
Το πολυώνυμο P(x)

έχει ακέραιους συντελεστές και η εξίσωση P(x)= 5

πέντε τουλάχιστον ακέραιες (διαφορετικές) ρίζες.

Δείξτε ότι δεν υπάρχει ακέραιος

τέτοιος ώστε $-6 \leq P(x) \leq 4$ ή $6 \leq P(x) \leq 16.$
(viewtopic.php?f=109&t=19665)

514.
Έστω P(x)

πολυώνυμο έκτου βαθμού, με πραγματικούς συντελεστές, και a, b

πραγματικοί αριθμοί με 0 < a < b.

Υποθέτουμε ότι $P (a) = P (-a), \ P (b) = P (-b)$ και $P^{\prime}(0) = 0.$

Να δείξετε ότι P (x) = P (-x).

(viewtopic.php?f=53&t=19654)

515.
Τα πολυώνυμα F(x) , G(x), H(x)

έχουν πραγματικούς συντελεστές και βαθμό το πολύ 2n+1.

Υποθέτουμε ότι:

$\bullet \ \ F(x) \leq G(x) \leq H(x),$ για κάθε

$\bullet$ υπάρχουν διαφορετικοί ανά δύο πραγματικοί x_1, x_2, . . ., x_n,

τέτοιοι ώστε F (x_i) = H(x_i),

για κάθε

και

$\bullet$ υπάρχει πραγματικός $x_0\ne x_1, x_2, . . ., x_n$ τέτοιος ώστε F (x_0) + H(x_0) = 2G(x_0).

Να δείξετε ότι F (x) + H(x) = 2G(x).

(viewtopic.php?f=60&t=19664)

516.
Βρείτε όλα τα πολυώνυμα p(x)

τετάρτου βαθμού, με πραγματικούς συντελεστές, τέτοια ώστε:
(i) p(x) = p(-x),

για κάθε

(ii) $p(x)\geq 0,$ για κάθε

(iii)

(iv) το

παρουσιάζει δύο τοπικά ελάχιστα, στις θέσεις x_1

και

για τις οποίες |x_1- x_2| = 2.

(viewtopic.php?f=53&t=19657)

517.
Έστω $\displaystyle{p(x)}$ πολυώνυμο, με ακέραιους συντελεστές, τέτοιο ώστε οι εξισώσεις p(x)=1

και $\displaystyle{p(x)=3}$ να έχουν ακέραια ρίζα.
Μπορεί η εξίσωση p(x)=2

να έχει δύο διαφορετικές ακέραιες ρίζες;
(viewtopic.php?f=21&t=19656)

518.
Έστω P(x)

και

πολυώνυμα, με ακέραιους συντελεστές.
Υποθέτουμε ότι οι ακέραιοι

και

είναι ρίζες του P(x)

και ότι

Να δείξετε ότι η εξίσωση Q(P (x)) = 1

δεν έχει ακέραια ρίζα.
(viewtopic.php?f=109&t=19655)

519.
Για το πολυώνυμο f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c

γνωρίζουμε ότι b < 0

και

Να δείξετε ότι το f(x)

έχει τρεις διαφορετικές πραγματικές ρίζες.
(viewtopic.php?f=56&t=19653)

520.
Να βρεθεί πολυώνυμο f(x)

πέμπτου (5ou) βαθμού, αν είναι γνωστό ότι το f(x)-1981

διαιρείται από το (x-1)^3

, ενώ το

διαιρείται από το (x+1)^3

(viewtopic.php?f=55&t=19543)

521.
Να βρεθούν όλες οι πολυωνυμικές συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , με ακέραιους συντελεστές, οι οποίες είναι 1-1 και ικανοποιούν τη σχέση $f^2(x)=f(x^2)-2f(x)+a, \forall x \in \mathbb{R}$ , όπου $a \in \mathbb{R}$
(viewtopic.php?f=50&t=6874)

522.
Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα p(x)

με πραγματικούς συντελεστές, για τα οποία p(1)=1

και
$e^{p(x)}=p(e^x), \forall x\in \mathbb{R}$
(viewtopic.php?f=111&t=5716)

523.
Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα με συντελεστές από το σύνολο $\displaystyle{\{-1,1\},}$ τα οποία έχουν όλες τους τις ρίζες πραγματικές.
(viewtopic.php?f=111&t=20820)

524.
Βρείτε όλα τα πολυώνυμα f,g

τέτοια ώστε f(0) = 1

και $f(x)^2 + 4x^{n+1} =g(x)^2 + 4x^n$ όπου

θετικός ακέραιος.
(viewtopic.php?f=111&t=20873)

525.
Αν ένα πολυώνυμο P(x)

ν-οστού βαθμού έχει ρίζες τους αριθμούς $\rho _{1},..., \rho _{\nu }$ , να δείξετε ότι $[P'(x)]^{2}>P(x)P''(x)$ .
(viewtopic.php?f=53&t=20982)

#154

526.
Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $2^{y+1}f(x)+2^{x+1}f(y) = f(x+y)+4^yf(x-y) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=9&t=19747)

527.
α)
Υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ τέτοια ώστε (f(x)f(y))^2=f(x-y)f(x+y)

για κάθε $x,y \in \Bbb{R}$

και f(0)= f(1)=1

και $\displaystyle{f\left(\frac{1}{3}\right)\ne 1 ;}$

β)
Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε (f(x)f(y))^2=f(x-y)f(x+y) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=9&t=19736&p=99575#p99575)

528.
Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε y^2f(x) + f(xy^2) = 2yf(xy) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=9&t=19735)

529.
Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ για τις οποίες για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ ισχύει

2f(x+y)+f(2x-y)+f(2y-x)=9f(x)+9f(y)

(viewtopic.php?f=61&t=19546)

530.
Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\{f(x+y)\}=\{f(x)+f(y)\} ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=61&t=19507)

531.
Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\{f(x+y)\}=\{f(x)\}+\{f(y)\} ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=61&t=19508)

532.
Να βρείτε τις συνεχείς συναρτήσεις $f: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$ για τις οποίες αληθεύει η συνεπαγωγή:

$a,b,c >0 \wedge abc=1 \Rightarrow f(a)+f(b)+f(c)=a+b+c+6033$
(viewtopic.php?f=61&t=19452)

533.
Έστω $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε $f(x+\sqrt 2)\le f(x)\le f(x+1),\forall x\in\mathbb{R} .$

Να δείξετε ότι είναι σταθερή.
(viewtopic.php?f=9&t=19537, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=435564)

534.
Έστωσαν τα πολυώνυμα $\displaystyle{f(x)=x^n+x-1}$ και $\displaystyle{g(x)=x^m-x+1.}$

Να βρεθούν (αν υπάρχουν) οι τιμές του θετικού ακέραιου $\displaystyle{n}$ , αν το πολυώνυμο $\displaystyle{f}$ διαιρείται από το πολυώνυμο $\displaystyle{g}$ , όταν

α) $\displaystyle{m=2}$ ,

β) $\displaystyle{m=3}$ .
(viewtopic.php?f=60&t=11210)

535.
Αν για το πολυώνυμο P(x)

με ακέραιους συντελεστές ισχύει ότι P(10)

και

είναι περιττοί αριθμοί,να δειχθεί ότι η εξίσωση P(x)=0

δεν έχει ακέραιες ρίζες.
(viewtopic.php?f=111&t=9018)

536.
Έστω ότι η πολυωνυμική συνάρτηση $f(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{1}x+1$ , όπου οι $a_{i}$ είναι μη αρνητικοί έχει

πραγματικές ρίζες. Δείξτε ότι $f(2)\geq 3^{n}$ .
(viewtopic.php?f=111&t=1252)

537.
Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει μη σταθερό πολυώνυμο

με πραγματικούς συντελεστές, ώστε $P(x) \in \mathbb{N}, \forall x \in \mathbb{Q}$
(viewtopic.php?f=111&t=14053)

538.
Να εξεταστεί αν υπάρχει πολυώνυμο P(x)

, μη σταθερό με πραγματικούς συντελεστές, άρτιου βαθμού ώστε $P(\mathbb{R})=Q(\mathbb{R})$ , όπου $Q=P+P^{\prime}$
(viewtopic.php?f=111&t=8330)

539.
Να βρείτε τις ρίζες του πολυωνύμου :
$\displaystyle{\displaystyle{ f_\nu (x) = 1 + \frac{x} {{1!}} + \frac{{x(x + 1)}} {{2!}} + ... + \frac{{x(x + 1)...[x + (\nu - 1)]}} {{\nu !}},\nu \in \mathbb{N} }}$ .
(viewtopic.php?f=21&t=799)

540.
Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα με όλες τους τις ρίζες πραγματικές για τα οποία ισχύει:
p'(x)^2=2p(x)p''(x)

με το

να σαρώνει τους πραγματικούς εκτός από τις τιμές των ριζών του πολυωνύμου.
(viewtopic.php?f=53&t=8413)

#155

541.
Βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^*\to \mathbb{R}$ για τις οποίες:

(i) f(1)=1

,
(ii) $f\left(\frac{1}{x+y}\right)=f\left(\frac{1}{x}\right)+f\left(\frac{1}{y}\right)$ για κάθε $x,y,x+y\ne 0$ ,
(iii) $(x+y)\cdot f(x+y)=xy\cdot f(x)\cdot f(y)$ για κάθε $x,y,x+y\ne 0$ .
(viewtopic.php?f=111&t=19530, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=436767&)

542.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+f(y-x)) = f(x)+f(y)-x },$ για κάθε $x,y \in \Bbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=21077, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 0#p1012570)

543.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f(1-f(1))\neq 0$ και $\displaystyle{f(x-f(\frac{x}{y}))=xf(1-f(\frac{1}{y})) ,}}$ για κάθε $x,y \in \Bbb{R}, y\ne 0.$
(viewtopic.php?f=111&t=21074, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=449397)

544.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ τέτοιες ώστε f(f(x)-y)=f(x)-f(y)+f(x)f(y)-xy ,

για κάθε $x,y \in \Bbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=21072, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=447716)

545.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ τέτοιες ώστε f(x-f(y))=4f(x)-f(y)-3x ,

για κάθε $x,y \in \Bbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=21071, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=317348, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=447739)

546.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\Bbb{R}^*\to \mathbb{R},$ με $f(\Bbb{R}^*)=\Bbb{R}\setminus \{1\},$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle{f(xy) = f(x)f(-y) - f(x) + f(y),}$ για κάθε $x,y\ne 0$ και

$\displaystyle{f(f(x))f\left(\frac{1}{x}\right)=1,$ για κάθε $x\notin \{0,1\}.$
(viewtopic.php?f=111&t=19663)

547.
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{N}_{0}\to\mathbb{N}_{0}$ τέτοιες ώστε f(0)=0

και $\displaystyle{ f(x^{2}-y^{2})=f(x)f(y) ,}$ για κάθε $x,y\in\mathbb{N}_{0}$ με x>y .

(viewtopic.php?f=111&t=19519, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7&t=435247)

548.
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^*$ ώστε

$\displaystyle{\frac {f(x)+y}{x+f(y)}+\frac {f(x)y}{xf(y)}=\frac {2(x+y)}{f(x+y)},\ \forall x,y \in \mathbb{N}^*}$
(viewtopic.php?f=109&t=20417)

549.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(x-y)+f(x+y)=f(x)+f(y)+f(f(x)-f(y)) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{Q}.$
(viewtopic.php?f=111&t=19942, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=433887, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=432431)

550.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{N}^* \rightarrow \mathbb{R}^+\setminus \{1\}$ τέτοιες ώστε $\log_{n+1}f(n)=\log_{f(n+2)}(n+3) ,$ για κάθε $n \in \mathbb{N}^*.$
(viewtopic.php?f=111&t=19570)

551.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x+y)\leq f(xy) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=52&t=20087)

552.
Να βρείτε τις συναρτήσεις $f:(0,+\infty) \to (0,+\infty)$ ώστε για κάθε $x,y \in (0,+\infty)$ να ισχύει

$\displaystyle{f\left(yf\left(\frac {x}{y}\right)\right)=\frac {x^4}{f(y)}}$
(viewtopic.php?f=111&t=20493)

553.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(f^{2}(x)+y)=x^{2}+f(y) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=111&t=20084, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 1&t=276170)

554.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle{ x(f(x+1)-f(x)) = f(x), }$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$

και

$\displaystyle{ | f(x)-f(y) |\leq |x-y| , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
(viewtopic.php?f=61&t=19588, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 38&t=31922&)

555.
Για τη συνάρτηση $f:\Bbb{Q}\to \Bbb{R}$ γνωρίζουμε ότι f(x)=f(x-2),

για κάθε ρητό

και $\displaystyle{f(x)=f\left(\frac{1}{x}\right),}$ για κάθε μη μηδενικό ρητό

Δείξτε ότι για κάθε $x\in \Bbb{Q}$ ισχύει f(x)=f(0)

ή

(viewtopic.php?f=111&t=20871)

#156

556.
Έστω $(G,\cdot )$ ομάδα και $x, y \in G\setminus \{e\}.$ Αν x^7 = e

και

να προσδιορίσετε την τάξη του στοιχείου

(viewtopic.php?f=10&t=20684)

557.
Σε μια ομάδα $(G,\cdot )$ υπάρχουν $a, b \in G$ τέτοια ώστε a^3b = ba^2

και

Να δείξετε ότι a^5 = e.

(viewtopic.php?f=10&t=20719)

558.
Έστω η πράξη $(0,+\infty)\times (0,+\infty)\to (0,+\infty)$ με $\displaystyle{ x*y=\frac{x+y}{1+xy} ,}$ για κάθε x,y>0.

Βρείτε τα $\displaystyle{ 1*2*3...*2011 }$ και $\displaystyle{ 2*3...*2011 .}$

(Εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι προσεταιριστική, γιαυτό και απουσιάζουν οι παρενθέσεις!)
(viewtopic.php?f=111&t=20669, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=111647)

559.
Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί $\displaystyle{ 1, 2, 3, .., 2001.}$
Παίρνουμε δύο οποιουσδήποτε από αυτούς, έστω

και

, και τους αντικαθιστούμε με τον αριθμό $\displaystyle \frac{ab}{a+b+1}.$ (τον τελευταίο αριθμό τον γράφουμε μία μόνο φορά).
Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία έως ότου μείνει ένας μόνο αριθμός.
Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;
(viewtopic.php?f=111&t=20667, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... f=44&t=683)

560.
Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί $\displaystyle{ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},...,\frac{1}{100}.}$
Παίρνουμε δύο οποιουσδήποτε από αυτούς, έστω

και

, και τους αντικαθιστούμε με τον αριθμό a + b + ab.

(τον τελευταίο αριθμό τον γράφουμε μία μόνο φορά).
Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία έως ότου μείνει ένας μόνο αριθμός.
Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;
(viewtopic.php?f=111&t=20666, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 36&t=48829)

561.
Θεωρούμε πράξη $*:\Bbb{R}^*\times \Bbb{R}^* \to \Bbb{R}$ τέτοια ώστε a * (b * c) = (a * b)c

και

για κάθε $a, b, c \ne 0.$
Να λυθεί η εξίσωση x * 36 = 216.

(viewtopic.php?f=111&t=20923)

562.
Μια συσκευή δέχεται ως εισόδους τα $a,b, \ b\ne 0,$ και υπολογίζει τον αριθμό $\displaystyle{ 1-\frac{a}{b} .}$
Να δείξετε ότι με τη βοήθεια αυτής της συσκευής μπορούμε να εκτελέσουμε τις 4 βασικές πράξεις (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό, διαίρεση).
(viewtopic.php?f=111&t=20672, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 38&t=15597)

563.
Υπάρχει πράξη $*:\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ τέτοια ώστε
1) (x*y)*z=x*(y*z),

για όλους τους ακεραίους x, y, z

και
2)

για όλους τους ακεραίους x, y

;
(viewtopic.php?f=111&t=20671, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=422571)

564.
Έστω $\mathcal{S}$ ένα μη κενό σύνολο και $*:\mathcal{S}\times\mathcal{S} \to \mathcal{S}$ μια πράξη τέτοια ώστε:

x*x=x,

για κάθε $x \in \mathcal{S},$

(x*y)*z=(y*z)*x,

για κάθε $x,y,z \in\mathcal{S}.$

Να δείξετε ότι είναι αντιμεταθετική.
(viewtopic.php?f=60&t=19733&p=99571#p99571, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=121280)

565.
Έστω πράξη $*:(0,+\infty)\times (0,+\infty) \to (0,+\infty)$ τέτοια ώστε:

(x+1)*x=1,

για κάθε $x \in (0,+\infty),$

(xy)*z=x(y*z),

για κάθε $x,y,z \in (0,+\infty).$

Βρείτε το $\sqrt{2}*(\sqrt{2}+1).$
Είναι η

προσεταιριστική; Έχει ουδέτερο στοιχείο;
(viewtopic.php?f=60&t=19732)

566.
Έστω $@:\Bbb{N}\times \Bbb{N} \to \Bbb{N}$ μια πράξη τέτοια ώστε (a + b)@c = (a@c) + (b@c)

και

για κάθε $a,b,c \in \Bbb{N}.$
Αν 5@5=160

, βρείτε το 7@7

και την

(viewtopic.php?f=111&t=20674, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 9&t=366572, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 1&t=420800)

567.
Ορίζουμε την ακόλουθη πράξη $\displaystyle{a\clubsuit \beta = 2011\left( {a\beta - a - \beta} \right) + 2012}$ , $\displaystyle{\forall a,\beta \in R}$ .

Να λύσετε την εξίσωση :

$\displaystyle{\alpha \clubsuit \alpha \clubsuit a\clubsuit a = {2011^7} + 1}$
(viewtopic.php?f=111&t=20833)

568.
Θεωρούμε ομάδα $(G,\cdot)$ και έστω a,b

δύο στοιχεία της. Αν ισχύουν $aba=b^2a^{-1}b^2$ και $b^{3n-1}=e$ για κάποιο $n \in \Bbb{N},$
να δείξετε ότι ab=ba

και

(viewtopic.php?f=10&t=20716)

569.
Έστω

μη κενό σύνολο εφοδιασμένο με μια πράξη

έτσι ώστε να ισχύουν:
α) Υπάρχει $e\in M$ τέτοιο ώστε e*x=x,

για κάθε $x\in M$
β) (x*y)*(z*y)=x*z,

για κάθε $x,y,z \in M.$

Να δείξετε ότι το (M,*)

αποτελεί αβελιανή ομάδα.
(viewtopic.php?f=10&t=20699)

570.
Έστω $\Bbb{S}$ ένα μη κενό σύνολο και $\circ: \mathbb{S} \times \mathbb{S} \to \mathbb{S}$ μία προσεταιριστική πράξη για την οποία ισχύει η διαγραφή από αριστερά.
Αν υπάρχει $a\in \Bbb{S}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{ x^{3}=a\circ x\circ a }$ για κάθε $x\in \Bbb{S},$ nα δείξετε ότι η $\circ$ είναι αβελιανή ομάδα.
(viewtopic.php?f=111&t=20675, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 1&t=306706, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 1&t=289369)

571.
Έστω $(G,\cdot )$ ομάδα τέτοια ώστε να υπάρχει μοναδικό στοιχείο με τάξη

Αν

αυτό το στοιχείο, να δείξετε ότι $a\cdot g=g\cdot a,$ για κάθε $g\in G.$
(viewtopic.php?f=10&t=20683)

#157

572.
Αν $\Bbb{S}$ ένα μη κενό σύνολο και $\circ: \mathbb{S} \times \mathbb{S} \to \mathbb{S}$ μία προσεταιριστική πράξη για την οποία ισχύει $a\circ b\neq b\circ a$ για κάθε $a\neq b ,$
να δειχθεί ότι $(a\circ b)\circ c = a\circ c , \ \forall a,b,c\in \Bbb{S}$ και να βρεθεί παράδειγμα τέτοιας πράξης.
(viewtopic.php?f=111&t=20665, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 36&t=42543)

573.
Έστω $(M, \cdot )$ ένα μη κενό σύνολο, εφοδιασμένο με μια προσεταιριστική πράξη για την οποία ισχύει η ιδιότητα της διαγραφής από αριστερά και δεξιά.
Αν για κάθε $a \in M$ σύνολο $\{a^n|n\in \Bbb{N}\}$ είναι πεπερασμένο, να δείξετε ότι το $(M,\cdot )$ αποτελεί ομάδα.
(viewtopic.php?f=10&t=20690)

574.
Έστω

ένα μη κενό σύνολο εφοδιασμένο με μια προσεταιριστική πράξη $\cdot$ για την οποία ισχύει:
για κάθε $a,b\in G$ υπάρχει $x\in G$ τέτοιο ώστε axa = b.

Δείξτε ότι το $(G,\cdot )$ είναι ομάδα.
(viewtopic.php?f=10&t=20718)

575.
Έστω $*:(0,+\infty)\times (0,+\infty) \to (0,+\infty)$ μια πράξη τέτοια ώστε: αν x<y

τότε

Δείξτε ότι δεν είναι προσεταιριστική.
(viewtopic.php?f=111&t=20673, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... =64&t=4128)

576.
Έστω $\cdot : M\times M \to M$ μια προσεταιριστική πράξη για την οποία x^2y^2=yx,

για κάθε $x,y \in M.$
Να δείξετε ότι είναι αντιμεταθετική.
(viewtopic.php?f=111&t=20685)

577.
Αν $*: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ είναι μία πράξη για την οποία ισχύει $(a*b)*c = a+b+c, \, \forall a,b,c \in \mathbb{R}$ , να δειχθεί ότι a*b=a+b

.
(viewtopic.php?f=111&t=20659, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 36&t=38405)

578.
Έστω

μια πράξη στο επίπεδο που ορίζεται ως: αν

και

είναι δύο σημεία του επιπέδου τότε C=A*B

είναι η τρίτη κορυφή του ισοπλεύρου τριγώνου ABC

κατά την θετική φορά.
Βρείτε τις γωνίες του τριγώνου ABC

αν ισχύει

(viewtopic.php?f=111&t=20686, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=364212)

579.
Έστω

ένα μη κενό σύνολο και η προσεταιριστική πράξη $\cdot : M \times M \to M,$ τέτοια ώστε για κάποιο φυσικό $n \geq 2$ να ισχύει (xy)^n=yx

για κάθε $x,y \in M$ .
α) Να δείξετε ότι είναι αντιμεταθετική, δηλαδή xy=yx,

για κάθε $x, y \in M .$
β) Αν επιπλέον η πράξη $\cdot$ έχει ουδέτερο στοιχείο και κάθε στοιχείο του

έχει αντίστροφο, τότε η συνάρτηση $f:M\to M$ με f(x)=x^p

, όπου

, είναι επί.
(viewtopic.php?f=111&t=21192)

580.Έστω

μια ομάδα τέτοια ώστε: για κάθε $a,b \in G: a^2b=ba^2 \implies ab=ba.$
α) Αν η

έχει

στοιχεία, να δείξετε ότι είναι αβελιανή.
β) Βρείτε παράδειγμα τέτοιας μη αβελιανής ομάδας.
(viewtopic.php?f=111&t=21186)

581.
Έστω $M=[1,+\infty)$ και η πράξη $\circ: M \times M \to M$ με $a\circ b = ab+\sqrt{(a^{2}-1)(b^{2}-1)}.$
Να δείξετε ότι είναι προσεταιριστική.
(viewtopic.php?f=111&t=21180, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 1#p2280281)

582.
Έστω

μια δυαδική πράξη στο μη κενό σύνολο

τέτοια ώστε : $\displaystyle{ x*(x*y) =y=(y*x)*x}$ για κάθε $\displaystyle{ x,y\in S.}$
Να δείξετε ότι είναι αντιμεταθετική.
(viewtopic.php?f=111&t=21181, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=170484)

583.
Έστω $\alpha$ η θετική ρίζα της εξίσωσης x^2 = 1990x + 1

. Για κάθε $m, n \in \mathbb N$ , ορίζουμε την πράξη $m*n = mn + [\alpha m][ \alpha n].$
Να δείξετε ότι (p*q)*r = p*(q*r)

για κάθε $p, q, r \in \mathbb N.$
(viewtopic.php?f=111&t=21182, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 1#p2022451)

584.
Έστω

ένα πεπερασμένο και μη κενό σύνολο. Η πράξη

είναι τέτοια ώστε :
1. Το

είναι κλειστό ως προς την

2. Η

είναι προσεταιριστική.
3. Για κάθε $a,b,c \in G : \ a*b=a*c \implies b=c$
4. Για κάθε $a,b,c \in G : \ b*a=c*a \implies b=c$

Δείξτε ότι το (G,*)

είναι ομάδα. Ισχύει το ίδιο όταν το

είναι άπειρο;
(viewtopic.php?f=111&t=21183, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 4#p1178854)

585.
Ορίζουμε στους ακέραιους την πράξη : $\S\,$ , για την οποία:

$x \,\S\, 0 = x$ , για κάθε ακέραιο .
$(x+1) \,\S\, y + x \,\S\, (y+1) = 3(x \,\S\, y) - xy +2y$ για όλους τους ακεραίους , .

Βρείτε το $178 \,\S\, 255$ .
(viewtopic.php?f=111&t=21184, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 5#p2421605)

586.
Να βρείτε για ποιες τιμές των $\displaystyle{a,b}$ (πραγματικοί) είναι προσεταιριστική η πράξη $\displaystyle{ \circ }$ που ορίζεται ως $\displaystyle{x \circ y = a x + b y}$
(viewtopic.php?f=27&t=18191)

587.
Μία πράξη * στο $\mathbb R$ ορίζεται ως x*y=(x-3)(y-3)+3

.
Λαμβάνοντας ως δεδομένο ότι η πράξη αυτή είναι προσεταιριστική (δεν χρειάζεται να το αποδείξετε), υπολογίστε το
$\sqrt [3] {1}*\sqrt [3] {2}*... *\sqrt [3] {2011}$
(viewtopic.php?f=46&t=19075)

#158

Συγγενείς συναρτησιακές
(viewtopic.php?f=111&t=23815):

1. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(x+yf(x))=f(x)+xf(y)$

2. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(xy+f(x))=f(x)+xf(y)$

3. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(x+xf(y))=f(x)+xf(y)$

4. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(x+yf(x))=xy+f(x)$

5. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(x+yf(x))=x+xf(y)$

6. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(xy+f(x))=x+yf(x)$

7. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(xy+f(x))=x+xf(y)$

8. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(x+xf(y))=x+yf(x)$

9. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(x+xf(y))=xy+f(x)$

10. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(f(x)+xf(y))=xy+f(x)$

11. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(x^{3}+y^{3})=xf^{2}(x)+yf^{2}(y) ,$

12. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(x+yf(x))=f(f(x))+xf(y) ,$

13. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f(f(x)+xy) = f(x)\cdot f(y+1),$

14. $\forall x, y \in \mathbb{R} \ , \ \ f\big(f(x+y)\big)=xf(x)+yf(y)$

#159

Ένα βιβλίο...

http://www.mediafire.com/?uucpxory2jn88ki

#160

Εύκολη συναρτησιακή
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(xy)+f(x-y)+f(x+y+1)=xy+2x+1 ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Εύκολη συναρτησιακή (2)
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $(f(x+y))^{2}= f(x)f(x+2y)+yf(y) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Εύκολη συναρτησιακή (3)
Να προσδιορίσετε όλες τις αύξουσες συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(xf(y))=yf(2x) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Εύκολη συναρτησιακή (4)
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x^{3}-y)+2y(3f^{2}(x)+y^{2})=f(y+f(x)),$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Εύκολη συναρτησιακή (5)
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(x-y)+f(xy) = f(x)-f(y)+f(x)f(y),

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Εύκολη συναρτησιακή (6)
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε x^2+y^2+2f(x)f(y) = f(x+y)(f(x)+f(y)),

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Εύκολη συναρτησιακή (7)
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(xf(y)) + y + f(x) = f(f(x + y)) + yf(x),

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Εύκολη συναρτησιακή (8)
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε (f(x+y))^2 = (f(x))^2 + (f(y))^2,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Εύκολη συναρτησιακή (9)
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(a+b+c)=f(a)f(b)-f(c) ,

για κάθε $a,b,c \in \mathbb{R}.$

Εύκολη συναρτησιακή (10)
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(x+y+f(y))=f(f(x))+2y ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Εύκολη συναρτησιακή (11)
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $f(x)^{f(y)}f(y)^{f(x)}=x^{y}y^{x} ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$

Εύκολη συναρτησιακή (12)
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε (x-2)f(y)+f(y+2f(x))=f(x+yf(x)) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Εύκολη συναρτησιακή (13)
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:(0,1) \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(xyz) = xf(x) + yf(y) + zf(z)

για κάθε $x,y,z \in (0,1).$

Εύκολη συναρτησιακή (14)
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(f(x+y))=f(x+y)+f(x)f(y)-xy ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Εύκολη συναρτησιακή (15)
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x-y)=f(x+f(x+y))-f(x)^{2} ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Εύκολη συναρτησιακή (16)
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(x+y)+f(x)f(y)=f(x)f(f(y))+f(xy) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Εύκολη συναρτησιακή (17)
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+y)+f(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=1 ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^*.$

Εύκολη συναρτησιακή (18)
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(f(x)+y^{3}))=x^{3}+f(f(y^{2})) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Εύκολη συναρτησιακή (19)
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(f(x)+y)=f(y-1) + xf(y-x-1) - f(x),

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Εύκολη συναρτησιακή (20)
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(xf(x)-yf(y))=(x+y)(f(x)-f(y)) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Εύκολη συναρτησιακή (21)
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f (\frac{f(x)}{y})=yf(y)f(f(x)), }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$

Εύκολη συναρτησιακή (22)
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R}^* \rightarrow \mathbb{R}^*$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x^{2}+y)=f(f(x))+\frac{f(xy)}{f(x)} ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^*.$

Εύκολη συναρτησιακή (23)
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+y+f(y))=f(x)+2y ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{Z}.$

Εύκολη συναρτησιακή (24)
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x)^{3}+f(y)^{3}+f(z)^{3}\\ =3f(xyz)+\frac{1}{2}(f(x-y)^{2}+f(y-z)^{2}+f(z-x)^{2}) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Εύκολη συναρτησιακή (25)
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x^{2})+2xf(y)+f(y)^{2}=(f(x)+y)^{2} ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Εύκολη συναρτησιακή (26)
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(f(x)+y^{2})=(x+y)^{2}f(x-y)+4y^{2}f(x) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{Z}.$

Εύκολη συναρτησιακή (27)
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(f(x)-y)=f(x)-f(y)+f(x)f(y)-xy ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Εύκολη συναρτησιακή (28)
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+f(xy))+y=f(f(x)+y)+xf(y) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Εύκολη συναρτησιακή (29)
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(f(x)-f(y))+4x^{2}y^{2}=f(f(x)+y^{2}) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Εύκολη συναρτησιακή (30)
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R}^+^2 \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ xf(x,y)f(y,\frac{1}{x})=yf(y,x) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$

Εύκολη συναρτησιακή (31)
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ yf(x+f(y))+xf(y+f(x))=x^{2}+(2x+y)f(y) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Εύκολη συναρτησιακή (32)
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(f(x)+f(y))+f(f(x))=2f(x)+y

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Εύκολη συναρτησιακή (33)
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(m+n)+f(n-m)=f(3n)

για κάθε $x,y \in \mathbb{N}, \ n\geq m.$

Εύκολη συναρτησιακή (34)
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(ab)= f(a+b) ,

για κάθε $a,b \in \mathbb{R} \setminus \Bbb{Q}.$

Εύκολη συναρτησιακή (35)
α) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(f(m)+n)=m+f(n) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{N}.$

β) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(f(x)+y)=x+f(f(y)) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{N}.$

Συναρτησιακές Εξισώσεις

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Μέλη σε σύνδεση