ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

#161

Σωτήρη συμφωνώ με αυτά που λες αλλά θέλω να προσθέσω κάτι που θεωρώ σημαντικό.

Επέλεξα να μιλήσω για τον ορισμό των πραγματικών αριθμών όχι επειδή υπάρχει δυσκολία στο να οριστούν (που πράγματι υπάρχει) αλλά διότι ο ορισμός εξυπηρετεί ένα άλλο σκοπό.

Ξεκινώ από ένα απόσπασμα του προλόγου στο baby Rudin (άλλως «Principles of Mathematical Analysis»)

Experience has convinced me that it is pedagogically unsound (though logically correct) to start with the definition of the real numbers from the rational ones. At the beginning, most students simply fail to appreciate the need for doing this.

Σε δική μου μετάφραση (η οποία πολύ πιθανώς θα διαφέρει από την αντίστοιχη που βρίσκεται στην μετάφραση του βιβλίου που έχει εκδοθεί στα ελληνικά):

Η εμπειρία με έχει πείσει ότι είναι παιδαγωγικά αβάσιμο (αν και λογικά σωστό) να ξεκινήσουμε με τον ορισμό των πραγματικών αριθμών από τους ρητούς. Στην αρχή, οι περισσότεροι φοιτητές απλά αποτυγχάνουν να εκτιμήσουν την ανάγκη για να γίνει αυτό.

Οι φοιτητές κατά την άποψή μου δεν χρειάζεται να δουν τον ορισμό των πραγματικών αριθμών ούτε για να κατανοήσουν τι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ούτε για να μπορούν να επιλύσουν μαθηματικά προβλήματα σχετικά με αυτούς. Στην θέση του ορισμού αρκεί να γνωρίζουν ότι οι πραγματικοί αριθμοί είναι ένα διατετεγμένο σώμα με την ιδιότητα του ελάχιστου άνω φράματος (και ότι είναι το μοναδικό τέτοιο σώμα). Και φυσικά να κατανοούν τι σημαίνει η τελευταία πρόταση.

Ο ορισμός των πραγματικών είτε μέσω ακολουθιών Cauchy, είτε μέσω τομών Dedekind είτε με οποιοδήποτε άλλο μέσο εξυπηρετεί ένα άλλο σκοπό όπως λέει και ο Rudin. Αυτός ο σκοπός όπως το καταλαβαίνω εγώ έχει να κάνει με τα θεμέλια των μαθηματικών. Θέλουμε να είμαστε σίγουροι ότι οι πραγματικοί αριθμοί με τις ιδιότητες που μας λέει η διαίσθησή μας πράγματι υπάρχουν ως μαθηματική οντότητα. Κάτι που είναι όντως αρκετά σημαντικό αλλά από εκεί και πέρα δεν θεωρώ ότι ο ορισμός εξυπηρετεί κάτι περισσότερο. Σε ποιο βαθμό βέβαια η διαίσθησή μας καθορίζει τις ιδιότητες που θέλουμε να έχουν οι πραγματικοί είναι αρκετά συζητήσιμο αλλά εδώ μιλάω για τις γνωστές ιδιότητες των ρητών (διατεταγμένο σώμα) χωρίς όμως να υπάρχουν «τρύπες» μεταξύ τους (ιδιότητα του ελάχιστου άνω φράγματος).

Καταλήγοντας:
Κάνοντας αυτήν την παρέμβαση ήθελα να τονίσω ότι υπάρχουν μαθηματικοί ορισμοί που εξυπηρετούν ένα άλλο σκοπό. Όχι αυτόν της κατανόησης της μαθηματικής έννοιας αλλά της κατασκευής τής. Η κατανόηση θα γίνει μέσω των ιδιοτήτων που προκύπτουν από τον ορισμό. Αυτές οι ιδιότητες είναι πολλές φορές πιο σημαντικές για την κατανόηση της έννοιας από τον ίδιο τον ορισμό.

Αυτό συμβαίνει συχνά στα μαθηματικά. (Σχεδόν) κανείς μαθηματικός δεν σκέφτεται το διατεταγμένο ζεύγος (x,y)

ως το σύνολο $\{x,\{x,y\}\}$ . Αυτό που μας ενδιαφέρει είναι η ιδιότητα (x,y) =(x',y')

αν και μόνο αν x=x'

και

. Ο μόνος σκοπός αυτού του ορισμού είναι για να εξυπηρετήσει αυτήν την συγκεκριμένη ιδιότητα και τίποτα άλλο. Εξίσου καλός ορισμός θα ήταν π.χ. ο $\{\{x\},\{x,y\}\}$ (ο οποίος είναι εντελώς διαφορετικός από τον προηγούμενο και δεν λέει το ίδιο πράγμα με άλλα λόγια) αλλά και άλλοι πολλοί.

S.E.Louridas · #162

Demetres έγραψε: Οι φοιτητές κατά την άποψή μου δεν χρειάζεται να δουν τον ορισμό των πραγματικών αριθμών ούτε για να κατανοήσουν τι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ούτε για να μπορούν να επιλύσουν μαθηματικά προβλήματα σχετικά με αυτούς. Στην θέση του ορισμού αρκεί να γνωρίζουν ότι οι πραγματικοί αριθμοί είναι ένα διατετεγμένο σώμα με την ιδιότητα του ελάχιστου άνω φράματος (και ότι είναι το μοναδικό τέτοιο σώμα). Και φυσικά να κατανοούν τι σημαίνει η τελευταία πρόταση.

Ο ορισμός των πραγματικών είτε μέσω ακολουθιών Cauchy, είτε μέσω τομών Dedekind είτε με οποιοδήποτε άλλο μέσο εξυπηρετεί ένα άλλο σκοπό όπως λέει και ο Rudin. Αυτός ο σκοπός όπως το καταλαβαίνω εγώ έχει να κάνει με τα θεμέλια των μαθηματικών. Θέλουμε να είμαστε σίγουροι ότι οι πραγματικοί αριθμοί με τις ιδιότητες που μας λέει η διαίσθησή μας πράγματι υπάρχουν ως μαθηματική οντότητα. Κάτι που είναι όντως αρκετά σημαντικό αλλά από εκεί και πέρα δεν θεωρώ ότι ο ορισμός εξυπηρετεί κάτι περισσότερο. Σε ποιο βαθμό βέβαια η διαίσθησή μας καθορίζει τις ιδιότητες που θέλουμε να έχουν οι πραγματικοί είναι αρκετά συζητήσιμο αλλά εδώ μιλάω για τις γνωστές ιδιότητες των ρητών (διατεταγμένο σώμα) χωρίς όμως να υπάρχουν «τρύπες» μεταξύ τους (ιδιότητα του ελάχιστου άνω φράγματος).

Καταλήγοντας:
Κάνοντας αυτήν την παρέμβαση ήθελα να τονίσω ότι υπάρχουν μαθηματικοί ορισμοί που εξυπηρετούν ένα άλλο σκοπό. Όχι αυτόν της κατανόησης της μαθηματικής έννοιας αλλά της κατασκευής τής. Η κατανόηση θα γίνει μέσω των ιδιοτήτων που προκύπτουν από τον ορισμό. Αυτές οι ιδιότητες είναι πολλές φορές πιο σημαντικές για την κατανόηση της έννοιας από τον ίδιο τον ορισμό.

Ταυτίζομαι με τα παραπάνω.
Πράγματι υπάρχουν πάνω από έναν ορισμοί των πραγματικών αριθμών, αν και επί του πρακτέου η αντιμετώπιση διάφορων θεμάτων σε αυτούς οδηγεί στα ίδια αποτελέσματα υπολογισμών και Μαθηματικών συμπερασμάτων, δηλαδή η λειτουργία σαν αποτέλεσμα της δομής των πραγματικών (σώμα).
Διδακτικά όμως και προσωπικά θεωρώ ότι ο πλέον κατανοητός ορισμός του συνόλου των πραγματικών ως και της δομής τους είναι εκείνος που τους «ορίζει» από τους ρητούς και την δομή τους, είναι δηλαδή πλέον φυσικός τρόπος, να προέρχονται οι Πραγματικοί και η δομή τους «κατασκευαστικά» σαν «φυσική επέκταση» των ρητών και της δομής τους.
Κατά τον τρόπο μάλιστα αυτό αποφεύγεται η έννοια του ορίου με κατάλληλη εισαγωγή μίας σχέσης ισοδυναμίας στο σύνολο των ρητών ακολουθιών Cauchy.
Μια ακολουθία $\left( {r_n } \right)_{n \in {\Bbb N}}$ με στοιχεία του συνόλου των ρητών αριθμών ${\Bbb Q}$ , καλείται «ρητή ακολουθία του Cauchy», όταν $\left( {\forall \varepsilon > 0} \right)\left( {\exists n_0 > 0} \right)\left( {m \geqslant n_0 \; \wedge \;n \geqslant n_0 \Rightarrow \left| {r_m - r_n } \right| \leqslant \varepsilon } \right),$ όπου $\varepsilon \in {\Bbb Q}$
και ${\Bbb N}$ το σύνολο των φυσικών αριθμών. Στην συνέχεια ορίζουμε την σχέση ισοδυναμίας που θα ονομάσουμε ισότητα, τις πράξεις κ.τ.λ.
Η σχέση ισοδυναμίας ορίζεται με βάση το ότι δύο ακολουθίες Cauchy
$\left( {r_n } \right)_{n \in {\Bbb N}} ,\;\left( {r_n{'} } \right)_{n \in {\Bbb N}}$ θα είναι ισοδύναμες όταν πληρούν την διμελή σχέση = που ορίζεται ως εξής:
$\left( {r_n } \right)_{n \in {\Bbb N}} = \left( {r_n{'} } \right)_{n \in {\Bbb N}} \Leftrightarrow \left( {\forall \varepsilon > 0} \right)\left( {\exists n_0 \in {\Bbb N}} \right)\left( {n \geqslant n_0 \Rightarrow \left| {r_n - r_n{'} } \right| \leqslant \varepsilon } \right).$
Αυτή η διμελής σχέση στο σύνολο των ακολουθιών Cauchy είναι η σχέση ισότητας επί των πραγματικών αριθμών. Το σύνολο των ρητών ακολουθιών Cauchy με την σχέση ισότητας όπως ορίστηκε είναι τελικά το σύνολο των πραγματικών αριθμών.
Ερώτημα: Μήπως ο ορισμός αυτός στόχευσε στο να πλησιαστεί όσο το δυνατό καλλίτερα το γεγονός «άπειρα δεκαδικά ψηφία μη περιοδικά» (τάξη ισοδυναμίας mod=) διατηρώντας το μονοσήμαντο και στην δομή όπως στην συνέχεια ορίζεται; (Ισότητα, πράξεις, σχέση διάταξης, ύπαρξη ομομορφισμού από το ${\Bbb Q}$ εντός του ${\Cal R}$ κ.τ.λ.).
Μόλις όμως κατασκευάσουμε το σώμα των πραγματικών αριθμών χρειάζονται προβλήματα και επιλύσεις πάνω εκεί και για να φανούν τα πιθανά κενά που έμειναν κατά την θεμελίωση και να «συμπληρωθούν» όσον είναι δυνατόν, αλλά και για να τεκμηριωθεί κύρια μέσα μας ότι έγινε κατανοητή η θεωρία με την έννοια της λειτουργίας των σχέσεων και συσχετισμών μεταξύ των πραγματικών αριθμών.
Δεν θα πρέπει βέβαια να ξεχνάμε ότι η αρχική ιστορικά αντίληψη για μία έννοια, είναι η πλατφόρμα στην οποία χτίζονται οι μετέπειτα ορισμοί σαν πίεση, ας πούμε, από τις Μαθηματικές ανάγκες με βάση την εξέλιξη των πραγμάτων.
Τέλος δεν θεωρώ ότι η διαφορετικότητα δύο ορισμών πάνω στην ίδια έννοια σημαίνει συγκρουόμενους και ταυτόχρονα αποδεχτούς ορισμούς της ίδιας αυτής έννοιας, προσωπικά δεν μπορώ να το λειτουργήσω μέσα μου. Την διαφορετικότητα μπορώ να την αντιληφθώ σαν αποτέλεσμα της διαδικασίας για πληρέστερη προσέγγιση.

Ιστοσελίδα · #163

Δημήτρη και Σωτήρη,
πιστεύω ότι η διαίσθηση πρέπει να «μπαίνει» στη αρχική διδασκαλία ενός ορισμού ως εξής :
Την αξιοποιούμε για να χτίσουμε το σωστό (μαθηματικά- επιστημονικά) ορισμό, ώστε να τον εντάξουμε σε όσα ήδη γνωρίζει - νομίζει - διαισθάνεται ο μαθητής, τα οποία ακόμη και αν είναι λανθασμένα ή μη πλήρη μπορούν σε κάθε περίπτωση να αποτελέσουν ένα καλό υπόβαθρο συζήτησης πάνω στην οποία θα θεμελιωθεί και θα εμπεδωθεί η νέα έννοια σωστά, προσπερνώντας πιθανά υπάρχοντα διδακτικά εμπόδια.
Χωρίς να έχω διαβάσει και εγώ το συγκεκριμένο παράθεμα, νομίζω ότι αυτή θα ήταν μία «λογική» χρήση.

S.E.Louridas · #164

Ας μου επιτραπεί να υπενθυμίσω ότι:
Διαίσθηση (Αρχαία-ις)=τέλεια κατανόηση,
(Νεοελληνικά)=εσωτερική ενστικτώδης αντίληψη, γνώση που στηρίζεται στο υποσυνείδητο,
(Φιλοσοφία)=η αποκάλυψη της αλήθειας στην ανθρώπινη συνείδηση δεν γίνεται με την ενέργεια του λογικού, αλλά με την βοήθεια μίας ψυχικής ικανότητας που δεν καθορίζεται από καμία αλληλουχία ή αντικειμενική συνθήκη.

Ιστοσελίδα · #165

S.E.Louridas έγραψε:Ας μου επιτραπεί να υπενθυμίσω ότι:
Διαίσθηση (Αρχαία-ις)=τέλεια κατανόηση,
(Νεοελληνικά)=εσωτερική ενστικτώδης αντίληψη, γνώση που στηρίζεται στο υποσυνείδητο,
(Φιλοσοφία)=η αποκάλυψη της αλήθειας στην ανθρώπινη συνείδηση δεν γίνεται με την ενέργεια του λογικού, αλλά με την βοήθεια μίας ψυχικής ικανότητας που δεν καθορίζεται από καμία αλληλουχία ή αντικειμενική συνθήκη.

Εγώ ΣΩτήρη χρησιμοποίησα την Νεοελληνική έννοια του όρου (αφού αυτήν μιλάμε τώρα), να συμπληρώσω ότι το υποσυνείδητο συνεργάζεται με τις υπάρχουσες ή λανθάνουσες γνώσεις.

ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Re: ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Μέλη σε σύνδεση