Συναρτησιακές Εξισώσεις

#161

Συναρτησιακή για εξάσκηση !
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ τέτοιες ώστε 2000f(f(x))-3999f(x)+1999x = 0

για κάθε $x \in \mathbb{Z}.$

Συναρτησιακή για εξάσκηση
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x+y)+f(xy)=f(x^{2})+f(y^{2}) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Συναρτησιακή για εξάσκηση!
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+y) = f(x)f(y)-c\sin{x}\sin{y} ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R},$ όπου c>1.

Συναρτησιακή για εξάσκηση!!
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}_{> 0} \rightarrow \mathbb{R}_{> 0}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ \large f(x+f(y)) =\frac{y}{xy+1} ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}_{> 0}.$

Συναρτησιακή για εξάσκηση!
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(x+y) = f(x) f(y) f(xy) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Συναρτησιακή για εξάσκηση
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:(0,1) \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(xy) = xf(x)+yf(y) ,

για κάθε $x,y \in (0,1).$

Συναρτησιακή για εξάσκηση!
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(a)=1

και $\displaystyle{ f(x)f(y)+f\left(\frac{a}{x}\right)f\left(\frac{a}{y}\right) =2f(xy) ,}$ για κάθε $x,y \in (0,+\infty),$ όπου a>0.

Συναρτησιακή για εξάσκηση!!
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε
α) f(x+f(y)) = y+f(x) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
β) το σύνολο $\displaystyle{ {\left\{\frac{f(x)}{x}\ :\ \mbox{x \in \Bbb{R}}\right\}} }$ είναι πεπερασμένο.

Εξάσκηση!
Η συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ είναι τέτοια ώστε 4f(f(x)) = 2f(x) + x ,

για κάθε $x \in \mathbb{R}.$
Να δείξετε ότι $\displaystyle{ f(x) = 0 \iff x=0.}$

Εξάσκηση !
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f (x+y )\ =\ f (x ) e^{f(y)\ -\ 1 } ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Συναρτησιακή για εξάσκηση!!
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x^{2}+f(y))=y+xf(x) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Συναρτησιακή για εξάσκηση
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ τέτοιες ώστε f(f(x)+y+1)=x+1+f(y) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{Z}.$

Συναρτησιακή για εξάσκηση..
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε (f(x)+f(y))(f(z)+1)=f(xz-y)+f(x+yz) ,

για κάθε $x,y,z \in \mathbb{R}.$

Εξάσκηση στην Cauchy!
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x+\cos (2012y))=f(x)+2012 \cos (f(y))$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Εξάσκηση στην Cauchy !
Να προσδιορίσετε όλες τις γνησίως μονότονες συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x+f(y)) = f(x)+y^{n} ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R},$ όπου $n\in \Bbb{N}^*.$

Συναρτησιακή για εξάσκηση
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ τέτοιες ώστε 2f(n+3)f(n+2)=f(n+1)+f(n)+1

για κάθε $n \in \mathbb{N}.$

Απλή, για εξάσκηση
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(x^2+yf(z)+f(x))=xf(x)+zf(y)+x ,

για κάθε $x,y,z \in \mathbb{R}.$

Καλή για εξάσκηση...
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f((x+1)f(y))\ =\ y (f(x)+1)\ \forall\ \ x , y\ \in\ \mathbb{R} .$

#162

#163

Αριθμητική πρόοδος, Γεωμετρική πρόοδος

Μήτε 1-1, μήτε επί

1-1 και επί!

1-1 και επί συναρτήσεις

Δεν είναι μονότονη

Κάθε τιμή ακριβώς δύο φορές!

Είναι σταθερή

Συνάρτηση με ισότητα και ανισότητα

Δυο (όχι απαραίτητα παραγωγίσιμες) συναρτήσεις

Μεταφορά , κατοπτρισμός ή ταυτοτική συνάρτηση

Να βρεθεί συνάρτηση

Συνέχεια

Υπάρχουν;

Αντί-Lipschitz συνάρτηση

Υπάρχει;

Δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση

Υπάρχει (;)

Μη φθίνουσα

Είναι σταθερή

1-1 και επί

Ισοδυναμία ορίων

Συνάρτηση σε κλειστό διάστημα

Παραγωγίσιμη στο 1

Παραγωγίσιμη συνάρτηση

Από Ρουμανία

ΜΙΑ ΠΕΡΙΕΡΓΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ

Συναρτησιακή εξίσωση

Συνάρτηση με την ιδιότητα Darboux

Με Darboux

Συνάρτηση με την ιδιότητα Darboux

Υπάρχει;

Άλλη μία εξίσωση Cauchy

Εύρεση συνάρτησης

Τελικά.. συνεχής

Συνέχεια

Και λίγο αρνητική...

Υπάρχει το όριο;

Αύξουσες!

Όριο

ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ

Εύρεση συνεχών συναρτήσεων

Σχετικά με τον αριθμό του θ. μέσης τιμής

Εύρεση συνάρτησης - Ολοκλήρωμα

f(f(x))=x^2

Ανισότητα με συναρτήσεις

Ανισότητα με συνάρτηση και την παράγωγό της

#164

#165

Συνάρτηση και πράξη

Μια πραξούλα

Πράξη

Μία πράξη

Μια πράξη από το MR

Πραξούλα

Πράξη *

Μια ομάδα.

Συναρτησιακή με ομάδα

Ορισμός πεπερασμένης ομάδας

Συναρτησιακή με ομάδα

Αβελιανή ομάδα

#166

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 1&t=138076

#167

Καλοκαιρινές συναρτησιακές:

1. Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ xf(x+xy)=xf(x)+f(x^{2})f(y) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

2. Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x^2-y^2)=f(x)^2-f(y)^2 ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

3. Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+f(y+z))+f(f(x+y)+z)=2y ,}$ για κάθε $x,y,z \in \mathbb{R}.$

4. Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ (f(x+y))^2=f(x^2)+f(y^2) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

5. Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ xf(x)=[ x]f(\{ x\})+\{ x\}f([ x]) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

6. Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(f(x)+yz)=x+f(y)f(z) ,}$ για κάθε $x,y,z \in \mathbb{R}.$

7. Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ af(f(x)+y)=f(x+y)+f(x)+y ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R},$ όπου

πραγματική παράμετρος.

8. Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+y)-f(x-y)=f(x)f(y) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

9. Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x)f(y) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

10. Έστω $M \subset [0,+\infty)$ ένα πεπερασμένο σύνολο.
Να προσδιορίσετε όλες τις 1-1 και επί συναρτήσεις $f:M \to M$ τέτοιες ώστε $f(x)f^{-1}(x)=x^2,$ για κάθε $x\in M.$

11. Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(y)+f(x+f(y))=y+f(f(x)+f(f(y))) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

12. Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x)f(y)+1=f(\sqrt{xy+1})^2 ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}_{>0}.$

13. Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(f(f(x) + y) + y) = x + y + f(y) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

14. α) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle{ 3f (x + y + z)- f (-x + y + z)-f (x- y + z)- f (x + y- z) =8\left(\sqrt{f(x)f(y)}+\sqrt{f(y)f(z)}+\sqrt{f(z)f(x)}\right) ,}$

για κάθε $x,y,z \in \mathbb{R}.$

β) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}_{\geq 0} \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle{ 3f (x + y + z)- f (-x + y + z) - f (x- y + z)- f (x + y - z) =8\left(\sqrt{f(x)f(y)}+\sqrt{f(y)f(z)}+\sqrt{f(z)f(x)}\right) ,}$

για κάθε $x,y,z \in \mathbb{R}_{\geq 0}, \ -x+y+z,x-y+z,x+y-z\geq 0.$

15. Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle{ f (x + y + z) + f (x) f (y) f (z) = (1 + x) f (x) f (y) + (1 + y) f (y) f (z) + (1 + z) f (z) f (x) ,}$

για κάθε $x,y,z \in \mathbb{R}.$

16. Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x^2+f(x+y))=(f(x))^2+f(x)+y,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

17. Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f (x [y] \{z\}) = f (x) [f (y)] \{f (z)\} ,}$ για κάθε $x,y,z \in \mathbb{R}.$

18. Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(xf(x)+2y) = f(x^2)+f(y)+x+y-1 , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

19. Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+y^2)=f(x)+|yf(y)| , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

20. Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+2y)+f(2x+y) =f(xy) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

21. Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνάρτηση τέτοια ώστε

$\displaystyle{ f(f(x + f(y))) = f(x + y) − f(y + f(x)) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

α) Δείξτε ότι δεν υπάρχει γνησίως μονότονη συνάρτηση με την παραπάνω ιδιότητα.

β) Προσδιορίστε όλες τις αύξουσες συναρτήσεις με την παραπάνω ιδιότητα.

γ) Προσδιορίστε όλες τις φθίνουσες συναρτήσεις με την παραπάνω ιδιότητα, για τις οποίες επιπλέον υπάρχει $a\in \Bbb{R}$ με $\displaystyle{f(a)=a.}$

δ) Μπορούμε άραγε να προσδιορίσουμε όλες τις φθίνουσες συναρτήσεις με την παραπάνω ιδιότητα;

22. Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε
f(2x + 1) = f(x),

για κάθε $x\in \Bbb{R}$ και
$f(x) - f(y) \leq |x - y|,$ για κάθε $x,y \in (−2, 2).$

23. Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ 2f(x) = f(x + y) + f(x + 2y), }$ για κάθε $x \in \mathbb{R}, y\geq 0.$

24. Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $f:\Bbb{R} \to \Bbb{R}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{ f(x)-f(y)>\sqrt{x-y} ,}$ για κάθε x>y.

25. Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $f:\Bbb{R}_{>0}\to \Bbb{R}_{>0}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{ f(f(x)+\frac{1}{f(x)})=x+1 ,}$ για κάθε x>0.

26. Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x^2 +y) = xf(x)+f(y) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

27. Έστω $\Bbb{N}_0=\{0,1,...\}.$ Οι συναρτήσεις $f, g : \Bbb{N}_0 \to \Bbb{N}_0$ ικανοποιούν για κάθε $n\in \Bbb{N}_0$ τη σχέση $\displaystyle{g(f(n)) = g(n) − n .}$
Βρείτε τις δυνατές τιμές του f(0).

28. Να προσδιορίσετε όλες τις γνησίως αύξουσες συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(1-x)=1-f(f(x)), }$ για κάθε $x \in \mathbb{R}.$

29. Να προσδιορίσετε όλες τις περιττές και συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(f(x))=x , }$ για κάθε $x \in \mathbb{R}.$

30. Να προσδιορίσετε όλες τις γνησίως μονότονες συναρτήσεις $f:\mathbb{N}^* \rightarrow \mathbb{N}^*$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(f(n))=n+f(2) , }$ για κάθε $n \in \mathbb{N}^*.$

31. Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ (f(x)-f(y))(u-v)=(f(u)-f(v))(x-y) ,}$ για κάθε $x,y,u,v \in \mathbb{R}$ με x+y=u+v .

32. Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x)-f(y)=(x-y)g(x+y) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

33. Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f\left ( x^{2}+f(y)-y\right )=f(x)^{2}-2013f(y) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

#168

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(a+b)^3 −f(a)^3 −f(b)^3 = 3f(a)f(b)f(a+b) , }$ για κάθε $a,b \in \mathbb{Z}.$
viewtopic.php?f=111&t=39596

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε
$\displaystyle{ \bullet f(x)^3-f(xf(y)^2) = xf(f(x-y)f(x+y)) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
$\displaystyle{ \bullet }$ το σύνολο $\displaystyle{\{x\in \Bbb{R}|f(x)=0\}}$ είναι μη κενό και πεπερασμένο.
viewtopic.php?f=111&t=39319

Η συνάρτηση $\displaystyle{f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}}$ ικανοποιεί τη σχέση f(x)^3-xf(f(y)^2) = xf(f(x-y)f(x+y)) ,

για κάθε $x,y\in \Bbb{R}.$
Να δείξετε ότι είναι περιττή.
Δεν γνωρίζω αν μπορούμε να βρούμε όλες τις συναρτήσεις με αυτή την ιδιότητα...
viewtopic.php?f=111&t=39320

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x^2+f(x)+y) = f(x-y)+f(x^2)+2y ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
viewtopic.php?f=111&t=37538

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f^2(x)+f^2(y)\geq f (x+y) (f (x)+f (y)+x+y),}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
viewtopic.php?f=111&t=39407

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(f(a)+f(b)+f(c))=a+b+c ,}$ για κάθε $a,b,c \in \mathbb{N}.$
viewtopic.php?f=111&t=39775

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(xy)-f(x)=f(x)f(y+1) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
viewtopic.php?f=111&t=39740

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(xy)+f(x)=f(x)f(y+1) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
viewtopic.php?f=111&t=39741

Έστω $f:\Bbb{R}\to\Bbb{R}.$ Να δείξετε ότι

$\displaystyle{ 2x+f(y)=f(2f(x)+y), \ \forall x,y\in \Bbb{R} \ \iff \ f(x+y)=f(x)+f(y), \ \forall x,y\in \Bbb{R} \ \wedge \ f(f(x))=x, \ \forall x\in \Bbb{R}.}$
viewtopic.php?f=111&t=39766

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ xf(y)-yf(x)=f(\frac{y}{x}) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}, x\ne 0.$
viewtopic.php?f=111&t=39762

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\Bbb{Z}\to \Bbb{Z}$ για τις οποίες η συνάρτηση $g:\Bbb{Z}\to \Bbb{Z}$ με g(n)=n(f(n+1)-f(n))

είναι περιοδική.
viewtopic.php?f=111&t=39689

Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε 2f(x+1)=f(x)+4f(2x) ,

για κάθε $x \in \mathbb{R}.$
viewtopic.php?f=111&t=39717

Να προσδιορίσετε όλες τις ακολουθίες $a_n,n \in \Bbb{N}^*$ τέτοιες ώστε (a_m,a_n)=(m,n)

για κάθε $m,n \in \Bbb{N}^*,m\ne n.$
viewtopic.php?f=111&t=39687

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+2f(y))= 3f(xf(y)), }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
viewtopic.php?f=111&t=39686

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(y+zf(x))=f(y)+xf(z),}$ για κάθε $x,y,z \in \mathbb{R}.$
viewtopic.php?f=111&t=39685

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(m)+f(n) | m+n ,}$ για κάθε $m,n \in \mathbb{N}.$
viewtopic.php?f=111&t=39684

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^* \rightarrow \mathbb{R}^*$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x)+f(y)=f(xyf(x+y)),}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^*, x+y\ne 0.$
viewtopic.php?f=111&t=39711

Να προσδιορίσετε όλους τους θετικούς ακεραίους

τέτοιους ώστε κάθε συνεχής συνάρτηση $f:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$ που ικανοποιεί τη σχέση $(f{\circ}f)^n(x)=f(x^n)$ για κάθε $x{\in}\Bbb{R}$ να έχει σταθερό σημείο.
viewtopic.php?f=111&t=39707

Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση $f:\mathbb R \to \mathbb R$ για την οποία ισχύει $f\left( {x + y} \right)f\left( {xy} \right) = xy\left( {x + y} \right),\forall x,y \in \mathbb R$ .
viewtopic.php?f=9&t=39708

Έστω $\displaystyle{f:(0,+\infty) \to (0,+\infty)}$ μη σταθερή συνάρτηση, τέτοια ώστε

$\displaystyle{f(x)f(yf(x))f(zf(x+y))=f(x+y+z)}$ , για κάθε $\displaystyle{x,y,z>0}$ .

Να αποδειχθεί ότι η $\displaystyle{f}$ είναι $\displaystyle{1-1}$ και να βρεθεί.
viewtopic.php?f=111&t=39514

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} ^{+} \rightarrow \mathbb{R} ^{+}$ τέτοιες ώστε

f(x+f(y))=yf(xy+1),

$\forall x,y \in \mathbb{R} ^{+}$
viewtopic.php?f=111&t=31277

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ |f(x^3+y)-f(x+y^3)|=g(xy)-2013 ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
viewtopic.php?f=111&t=39761

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x^2+y+f(y))=(f(x))^2 ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
viewtopic.php?f=111&t=39760

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(0) \in \mathbb {Q}}$ και $\displaystyle{ (f(x+y))^2=f(x+f(y)^2) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
viewtopic.php?f=111&t=39763

#169

Να εξετάσετε αν είναι 1-1 η συνάρτηση $f:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$ τέτοια ώστε $(a^{3}-b^{3})f(b)>a^{3}(f(a)-f(b))$ για κάθε $a,b{\in} \Bbb{R}, \ a {\neq}b .$
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=28299

Να προσδιορίσετε όλες τις γν. αύξουσες συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(1-x)=1-f(f(x)), }$ για κάθε $x \in \mathbb{R}.$
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=27953

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε x^2f(y)+yf(x^2)=f(xy)+a,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R},$ όπου

παράμετρος.
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=28034

Η πραγματική συνάρτηση, πραγματικής μεταβλητής είναι τέτοια ώστε o αριθμός $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ να ανήκει στο σύνολο τιμών της και για κάθε $x,y\ne 0$ να ισχύει

$\displaystyle{f(x)-f(y)=f(x)f\left(\frac{1}{y}\right)-f(y)f\left(\frac{1}{x}\right).}$

Να βρείτε το f(-1)

και παράδειγμα μη σταθερής τέτοιας συνάρτησης.
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=28006

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(x^2y+f(x+y^2))=x^3+y^3+f(xy),

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=28025

Υπάρχει επί συνάρτηση $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ ώστε f(f(x))=(f(x)+1)(x+1),

για κάθε

http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=28017

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(x+y)+x^2+y^2=f(x^2+y^2)+x+y ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=28018

Βρείτε την $g:\Bbb{R}\to \Bbb{R},$ αν g(xy+2x+g(x))=yg(x) ,

για κάθε $x,y\in\Bbb{R}.$
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=27826

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$ τέτοιες ώστε f(x + f(y + z)) + f(f(x + y) + z) = 2y,

για κάθε $x,y,z\in \Bbb{R}.$
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=27368

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\Bbb{R}^*\to\Bbb{R}$ τέτοιες ώστε xf(xy)+f(-y)=xf(x),

για κάθε $x,y\in \Bbb{R}^*.$
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=27362

Η συνάρτηση $f:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$ είναι τέτοια ώστε $f(x^{2}+x+3)+2\cdot f(x^{2}-3x+5) = 6x^{2}-10x+17 ,$ για κάθε $x\in\Bbb{R}.$
Να βρείτε την τιμή f(2009) .

http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=26896

Έστω συνάρτηση $f\colon\{0,1,2,\ldots,100\}\to\{0,1,2,\ldots,100\}$ τέτοια ώστε $|f(x)-f(y)|\ge|x-y|$ για κάθε $x,y\in\{0,1,2,\ldots,100\} .$
Να δείξετε ότι έχει σταθερό σημείο, δηλαδή υπάρχει

με

http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=25515

Η συνάρτηση $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ είναι τέτοια ώστε f(xf(y))=yf(x) ,

για κάθε $x,y\in \Bbb{R}.$
Να δείξετε ότι είναι περιττή.
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=27261

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ τέτοιες ώστε

$2f(x)+f(-x)=\left\{\begin{array} \ -x-3, \ x\leq 1 \\ \ x+3, \ \ x>1\\ \end{array}\right,$

για κάθε $x\in \Bbb{R}.$
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=25533, http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=27275

Έστω $f,g:(0,\infty )\to (0,\infty )$ συναρτήσεις τέτοιες ώστε: $f(g(x)\cdot y)=g(x\cdot f(y)),\ \forall \ x,y\in \mathbb{R}.$
α) Να δείξετε ότι αν η

είναι επί τότε και η

είναι επί.
β) Να δείξετε ότι αν η

είναι 1-1 τότε και η

είναι 1-1.
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=20968

Η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ είναι τέτοια ώστε $\displaystyle{ f(f(x))=x^{2}-x+1, }$ για κάθε

.

Να βρείτε το f(0).

Υπάρχει άραγε τέτοια συνάρτηση;
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=20297, http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=21994

Θεωρούμε συνάρτηση $f : \Bbb{R} \to \Bbb{R}.$
Να δείξετε ότι υπάρχουν $x, y \in \Bbb{R}$ με $x \ne y$ τέτοιοι ώστε $|f (x) - f (y)| \ne 1.$
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=19843

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις από το R στο R , με f(x)f(y) = f(x+y) - xy,

για κάθε πραγματικό x , y .

http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=10263

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση φ, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις :
φ(0)=1
φ(κ+λ+1) =φ(κ) + φ(λ), για κάθε κ, λ πραγματικούς αριθμούς.
Να βρεθεί ο τύπος της φ.
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... =52&t=6951

Έστω η γνησίως αύξουσα συνάρτηση

με σύνολο ορισμού το

έτσι ώστε να ισχύει f(x+f(y))=f(x+y)+1

για όλους τους πραγματικούς x,y.

Να βρείτε τον τύπο της

http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... =52&t=4670

Να ελεγχθεί αν υπάρχει συνάρτηση $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ , τέτοια ώστε

$f(x+1)=e^{f(x)}$ , για κάθε $x \in \mathbb R,$ και αν υπάρχει να δοθεί παράδειγμα.
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=30187

Έστω p, q

συνεχείς πραγματικές συναρτήσεις, ορισμένες στο $\Bbb{R}$ τέτοιες ώστε p(q(x))= q(p(x)),

για κάθε

Δείξτε ότι αν η εξίσωση p(p(x)) - q(q(x)) =0

έχει ρίζα, τότε το ίδιο συμβαίνει και με την p(x)- q(x)=0

.
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=28854

Να προσδιορίσετε όλες τις μονότονες συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f^2(\sin x) - 3f(x) + 2 = 0,\ \forall\ x\in \Bbb{R}.$
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=27911

Έστω $f:(0,\infty)\to \Bbb{R}$ συνάρτηση τέτοια ώστε $f(x)+f(y)\geq 2f(x+y),$ για κάθε $x,y\in (0,\infty).$
Να δείξετε ότι $f(x)+f(y)+f(z)\geq 3f(x+y+z),$ για κάθε $x,y,z\in (0,\infty).$
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=27259

Αν για τη συνάρτηση $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ισχύουν $f(f(x))=x^2, \ f(0)=0,$ να βρεθεί το f(1).

http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=30120

Για μια συνάρτηση $f: \mathbb{R} \rightarrow\mathbb{ R}$ ισχύουν f(1)=2

και

για κάθε

Δείξτε ότι δε μπορεί να είναι συνεχής.
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=28857

Η συνεχής συνάρτηση $f: [1,\plus{}\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ είναι τέτοια ώστε $(f \circ f \circ f)(x)=x^2-2x+2, \forall x \in [1,\infty)$ .
Βρείτε το f(1)

.
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=28860

Αν για τη συνάρτηση

ισχύει

, για κάθε

, να βρεθεί το f(0)

.
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=28859

...πραγματική συνάρτηση

ορισμένη στο σύνολο των μη μηδενικών πραγματικών τέτοια ώστε

(α) f( - x) =- f(x)

και

(β) $\displaystyle{ f\Big(\frac {1}{x + y}\Big) = f\Big(\frac {1}{x}\Big) + f\Big(\frac {1}{y}\Big) + 2(xy - 1000)}$ για κάθε $x, y\ne 0$ με $x + y\ne 0;$
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=28482

Για τη συνάρτηση $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ γνωρίζουμε ότι

$|f(x) - f(y) | \leq |x-y| \ \forall x, y \ \in \mathbb{R}$ και f(f(f(0))) = 0.

Να δείξετε ότι $|f(x)| \leq |x| \ \forall x \ \in \mathbb{R}.$
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=28480

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)

, για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=28412

Η συνάρτηση $f \ : \ \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ είναι τέτοια ώστε f(x+f(y))+f(f(x)+y)=2x+2y,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R} .$

Να δείξετε ότι f(2x) = 2f(x),

για κάθε $x \in \mathbb{R} .$
Ανοιχτό: Μπορούμε να βρούμε όλες τις συναρτήσεις με την παραπάνω ιδιότητα;
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=28325

Βρείτε την

αν

για κάθε $x,y\in \Bbb{R}.$
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=28342

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(xy){\ge}f(x)+f(y){\ge}\frac{\ln(xy)}{1+|\ln x{\cdot} \ln y|} , \ \forall x,y \in\mathbb{R}^+.}$
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=28303

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x)\leq 4+2009x$ και $f(x+y)\leq f(x)+f(y)-4$ για κάθε $x,y\in \Bbb{R}.$
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=28330

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x+y) = f(x^{2012})+f(y^{2012}) ,$ για κάθε $x,y\in \Bbb{R}.$
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=28305

Έστω $f : \Bbb{R}\to \Bbb{R}$ συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε $x\in \Bbb{R}$ να υπάρχει $n \in \Bbb{N}$ ώστε

$\displaystyle{\underbrace{f \circ f \circ ...\circ f}_{n}(x) = 1.}$

Δείξτε ότι f(1) = 1.

http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=35313

Έστω μια συνάρτηση $f:\mathbb R \to \mathbb R$ για την οποία ισχύει $f(x^2)-y^2=f(x+y)\cdot f(x-y)$ για κάθε x,y

πραγματικό αριθμό. Να βρείτε την

.
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=35445

Δείξτε ότι για τη συνάρτηση $f:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$ για την οποία f(x)f(x+1)=f(x^2),

για κάθε

δεν είναι 1-1.
Βρείτε μια τέτοια συνάρτηση.
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=35225

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:[-2;2] \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f(\sin x + \cos y) + f(\sin y + \cos x) = \sin (x + y),}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=35194

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{\frac{1}{x}f(-x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=x ,}$ για κάθε $x \in \mathbb{R}\setminus \{0\}.$
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=34963

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $2f(xy) + 2f(xz) \geq 4f(x)f(yz) + 1 ,$ για κάθε $x,y,z \in \mathbb{R}.$
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=34489

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(f(x + y)) = xf(y) + g(x) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=34440

Για ποιες τιμές της πραγματικής παραμέτρου

υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $f(\sin x) + af(\cos x) = \cos 2x,$ για κάθε $x \in \mathbb{R}.$
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=34441

Έστω συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$ για την οποία ισχύει πως $\displaystyle{f(x+1)f(x)+ f(x+1)+1=0}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ .
Να αποδείξετε οτι :
α) η εξίσωση $\displaystyle{f(x)=-1}$ είναι αδύνατη
β) η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ δεν είναι συνεχής
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=30095

Μια συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$ έχει την ιδιότητα $\displaystyle{f\left(f(x)-f(y)\right)=f\left(f(x)\right)-y}$ , για κάθε $\displaystyle{x,y \in\mathbb{R} }$ .
Α) Να δείξετε ότι:
i) $\displaystyle{f(0)=0}$
ii) η $\displaystyle{f}$ είναι $\displaystyle{1-1}$
iii) η $\displaystyle{f}$ είναι περιττή
iv) η $\displaystyle{f}$ έχει σύνολο τιμών το $\displaystyle{\mathbb{R}}$
v) $\displaystyle{f(x+y)=f(x)+f(y)}$ για κάθε $\displaystyle{x,y \in\mathbb{R} }$
B) Αν η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως μονότονη, τότε η $\displaystyle{f}$ είναι κάποια από τις συναρτήσεις $\displaystyle{x}$ , $\displaystyle{-x}$ .
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=30103

Έστω η συνάρτηση $f:[0,1] \to \Re$ με f(0) = 0,f(1) =1

.
Αν ${f^3}(x) - f(x) = {x^2} -x$ για κάθε $x \in [0,1]$ , να δειχθεί ότι η

δεν είναι συνεχής.
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=31652

Αν η συνάρτηση $f:\Re \to \Re$ είναι συνεχής στο $\Re$ και f(f(0)) = 0

, να δειχθεί ότι ή εξίσωση f(x) = x

έχει τουλάχιστον μια λύση.
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=31650

Να προσδιορίσετε όλες τις γνήσια αύξουσες συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f^{2}(x) = x^{2},$ για κάθε $x \in \mathbb{R}.$
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=30576

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε (x+y) f(x) + f(y^2) = (x+y) f(y) + f(x^2) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=30575

Να βρεθεί πολυώνυμο P(x)

με

και τέτοιο ώστε να ισχύει P(f(x))=f(P(x))

για κάθε $x\in R$ , όπου η

είναι συνάρτηση με την ιδιότητα f(x)>x

για κάθε $x\geq 0$
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=30845

Μια συνεχής και γνησίως μονότονη συνάρτηση

με

έχει την ιδιότητα $\displaystyle{f^2(x)+f(f(x))=x^2-x+1 }$ για κάθε

στο $\mathbb R$ .Μπορούμε να υπολογίσουμε άραγε το f(0)

;
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=26843

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(x^2+y^2+2012xy)=x^2+y^2+2012f(x)f(y) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=27995

Έστω συναρτήσεις $f,g:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ . Να δείξετε ότι υπάρχουν $x,y\in [0,1]$ ,
τέτοια ώστε να ισχύει : $\displaystyle |f(x)+g(y)-xy|\geq \frac{1}{4}$
http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 52&t=38504

#170

α) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x^3+y)=f(x)+f(y^3) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

β) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f (x + f (x + y)) = f (2x) + y, ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+$ .

γ) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x^2 +y^3)= x^2 - 3y(y+1) + (f(y))^3 ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

δ) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(f(x+y))=f(x)+f(y)+f(xy)-xy ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(f(x+y)) = f(x+y)+f(x)f(y)-xy ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

ε) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(xf(y))+f(y+f(x))-f(x+yf(x))=x ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

στ) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x^2 f(y)+f(x+y))=xyf(x)+x+f(y),}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

ζ) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+f(x)+\frac{y}{2})=f(\frac{x}{2})+y+f(y) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

η) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x-f(y))=f(x+y^{2008})+f(f(y)+y^{2008})+1 ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

Γενίκευση:

Έστω $n\ge2$ ένας ακέραιος.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x-f(y))=f(x+y^n)+f(f(y)+y^n) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

θ) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ \[ f(f(x)y-xf(y))=f(f(x))y-f(x)f(y) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

ι) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f( f(n+1)+3)= n ,}$ για κάθε $n \in \mathbb{Z}$ .

ια) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε
f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy

και
$x^2-\sqrt{|x|}\le f(x)\le x^2+\sqrt{|x|}$ , για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

ιβ) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+f(xy)+y^2)=xf(y)+y^2+f(x), }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

ιγ) Έστω $\alpha$ ένας πραγματικός αριθμός.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(xf(y)+f(x))=\alpha f(x)+xy, }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

ιδ) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x^2+f(3xy)+(f(y))^2)=(f(x+y))^2+xy , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

ιε) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(xf(y)+f(x))=f(yf(x))+x , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

ιστ) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(( f(y))^2+f(x+f(y)))=y^2+y+f(x), }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

ιζ) Έστω $\alpha\in\Bbb{Z}_{\geq 0} .$
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}_{\geq 0} \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(f(x)+\alpha y+f(y))=x+(\alpha+1)f(y) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}_{\geq 0}$ .
Τι γίνεται αν $\alpha\in\Bbb{R}_{\geq 0} ;$

ιη) Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x^2+xy+(f(y))^2)=xy+f(x^2+y^2), }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

ιθ) Για τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ισχύει $f\left(g\left(f\left(x\right)\right)\right)=g(x)$ και $g\left(f\left(f\left(x\right)\right)\right)=f(x),$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .
Να δείξετε ότι f=g.

κ) Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+y+f(2xy))=2xy+f(x+y) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

κα) Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(y)+f(x+f(y))= y+f(f(x)+f(y)) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .
Τι γίνεται αν δεν υποθέσουμε ότι η

είναι συνεχής;

κβ) Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(xf(x)+y^2)=f(x^2)+y^2 , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}_{>0}$ .

κγ) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x-f(y))=4f(x)-f(y)-3x , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

κδ) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x^2-y^2)=f(x-y)(f(x)+f(y)) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

κε) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(f(x)+f(y))+f(f(x))=2f(x)+y , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

κστ) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f\left(xf\left(y\right)\right)+f\left(f\left(x\right)+f\left(y\right)\right) = yf\left(x\right)+f\left(x+f\left(y\right)\right) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

κζ) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+f(y))=f(x)+2xy^2+y^2 f(y) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

κη) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(a+f(b+f(c))) = f(f(a+b))+bf(c)-f(bc)+c , }$ για κάθε $a,b,c \in \mathbb{R}.$

κθ) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε
α) f(x+y)=f(x)+f(y)

, για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$
β) f(f(x))=x ,

για κάθε $x \in \mathbb{R}.$
γ) η εξίσωση f(x)+x=0

έχει πεπερασμένο το πλήθος λύσεις.

λ) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(yf(\frac{x}{y}))=\frac{x^4}{f(y)} , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}_{>0}.$

λα) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x)+f(y) = f(f(x)f(y)) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

λβ) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{N}^* \rightarrow \mathbb{N}^*$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ (f(x+y)+f(x))(f(x+y)+f(y))=(2x+f(y))(2y+f(x)) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{N}^*.$

λγ) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(2)=2

και

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

λδ) Να προσδιορίσετε όλες τις γνησίως αύξουσες συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ 3^x(f(x+1)-f(x))=1, }$ για κάθε $x \in \mathbb{R}.$

λε) α) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f\left( x \right)f\left( {yf\left( x \right)} \right) = f\left( {y + f\left( x \right)} \right) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}_{>0}.$

β) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f\left( x \right)f\left( {yf\left( x \right)} \right) = f\left( {y + f\left( x \right)} \right) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

λστ) α) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f\left( x \right)f\left( {yf\left( x \right)} \right) = f\left( {y } \right) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

β) Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f\left( x \right)f\left( {yf\left( x \right)} \right) = f\left( {y } \right) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}_{>0}.$

γ) Να προσδιορίσετε όλες τις μονότονες συναρτήσεις $f:\mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f\left( x \right)f\left( {yf\left( x \right)} \right) = f\left( {y } \right) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}_{>0}.$ (Δεν έχω απάντηση)

λζ) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(f(x)+y^2)=x+y^2 , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

λη) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(f(f(x))+y)=x+y , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

λθ) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x^2-f(y)^2)=xf(x)-y^2 ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

μ) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+g(y))=g(x)+f(y)+2y ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{Q}$ .

μα) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+y)+f(x-y)-2f(x)f(1+y)=2xy(3y-x^2) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

μβ) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x^2+2xy)=x^2-f(x^2)-f(2xy) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x^2+2xy)=x^2-f(x^2)+f(2xy) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

μγ) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+f(x)+2y)=f(2x)+y+f(y) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

Το παραπάνω είναι μια ευκολότερη έκδοση του προβλήματος (Longlist 2012):

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+f(x)+2y)=f(2x)+y+f(y) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+$ .

μδ) Να εξετάσετε αν υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{ f(f(x))=-x ,}$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

με) Να προσδιορίσετε όλα τα πολυώνυμα p(x)

για τα οποία ισχύει p(2p(x))=2p(p(x))+2p(x)^2 .

μστ) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f,h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(x^2+yh(x))=xh(x)+f(xy) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

μζ) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(xf(y))+f(yf(z))+f(zf(x))=xy+yz+zx,

για κάθε $x,y,z \in \mathbb{R}.$

μη) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(x^4-y^4)=(x-y)(x^2+y^2)((f(x)+f(y)) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

μθ) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(xf(y)-yf(x))=f(xy)-xy ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

ν) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(f(x) + xf(y)) = xf(y + 1),

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

#171

να) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(x+f(x)+2f(y))=2x+y+f(y) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

νβ) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(f(x))=1-xf(x) ,}$ για κάθε $x \in \mathbb{R}.$

νγ) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(f(x)-y)=f(x)+f(f(y)-f(-x))+x,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

νδ) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε 1+f(f(x)+y) = f(x^2+y)+2f(x)+2y ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

νε) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ τέτοιες ώστε f(f(n))+f(n)=2n+2012 ,

για κάθε $n \in \mathbb{N}.$

νστ) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$ τέτοιες ώστε f(x+y) = f(xy) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}_{>0}.$

νζ) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(f(x))+f(xy) = f(x)+x f(y+2013) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

νη) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(x+y+f(y))=4x-f(x)+f(3y) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

νθ) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x+f(y))=f(x)+\frac{1}{8}xf(4y)+f(f(y)) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

ξ) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ τέτοιες ώστε f(a^2+f(b)+c) = af(a)+f(b+c) ,

για κάθε $a,b,c \in \mathbb{N}.$

(Να θεωρήσετε δύο περιπτώσεις: $0\in \Bbb{N}$ και $0\notin \Bbb{N}$ )

ξα) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(f(y)+x^2+1)+2x=y+(f(x+1))^2 ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

ξβ) Να προσδιορίσετε όλες τις γνησίως αύξουσες συναρτήσεις $\displaystyle{f:\mathbb{R}\Rightarrow \mathbb{R}}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f(x+f(y))=f(x+y)+1}$ .

ξγ) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$ που ικανοποιούν τη σχέση $\displaystyle{f(x+y)+f(x-y)=2f(x)\cos y}$ .

ξδ) Να βρείτε τις συναρτήσεις $f,g :\mathbb R\to \mathbb R$ για τις οποίες ισχύει $xf(x+y)-yf(x-y)=g^2(x)+g^2(y) \quad \forall x,y \in \mathbb R$

ξε) Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ που ικανοποιούν τη σχέση $\displaystyle{f\left( x \right)f\left( {yf\left( x \right) - 1} \right) = {x^2}f\left( y \right) - f\left( x \right)},$ για κάθε $x, y \in \mathbb{R}$ .

ξστ) Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ , με την ιδιότητα $\displaystyle{f\left( {x + 3f\left( y \right)} \right) = f\left( x \right) + f\left( y \right) + 2y},$ για κάθε $x, y \in \mathbb{Q}$ .

ξζ) Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , οι οποίες ικανοποιούν τη σχέση

$\displaystyle{f\left( {f\left( x \right)y + \frac{x}{y}} \right) = xyf\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ και $y \in \mathbb{R}^*$ .

ξη) Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ που ικανοποιούν τη σχέση

$\displaystyle{f\left( {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} + 2xf\left( y \right) + {y^2}} \right) = \left( {x + f\left( y \right)} \right)\left( {y + f\left( x \right)} \right)},$ για κάθε $x, y \in \mathbb{R}$ .

ξθ) Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

f(f(x)+f(y)+f(z))=f(f(x)-f(y))+f(2xy+f(z))+2f(xz-yz)

ο)

οα)

οβ)

ογ)

οδ)

οε)

οστ)

οζ)

οη)

οθ)

π)

πα)

πβ)

Ϟ Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$ τέτοια, ώστε $\displaystyle{f(f(x))=x^2-2~\text{\gr για κάθε}~x\in \mathbb{R}.}$

Ϟα Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$ τέτοια, ώστε $\displaystyle{f(x-f(x))=\frac{x}{2}~\text{\gr για κάθε}~x\in \mathbb{R}.}$

Ϟβ Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f : Z \rightarrow Z$ έτσι ώστε:

$xf(2f(y)-x)+y^{2}f(2x-f(y))=\frac{f(x)^{2} }{x}+f(yf(y))$ για όλα τα $x,y \in Z , x\neq 0$

Ϟγ Για την συνάρτηση $f:R \to R$ ισχύουν
$\begin{array}{l} \bullet f\left( {{x^2} - y} \right) = xf\left( x \right) - f\left( y \right),\forall x,y \in R\\ \bullet f\left( {2014} \right) = {2014^2} \end{array}$
Να βρεθεί ο τύπος της .

Ϟδ Δίνονται οι συναρτήσεις $\displaystyle f,g : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ που ικανοποιούν τη σχέση: $\displaystyle f\left( x+y \right)+f\left(x-y \right)=2f(x)g(y) , \forall x,y \in \mathbb{R}$ .
Αν η

δεν είναι η μηδενική συνάρτηση να αποδειχθεί ότι $\displaystyle g(x)\geq -1 , \forall x \in \mathbb{R}$ .

Ϟε Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f\left(\frac{x}{y+1}\right)=1-xf(x+y) ,}$ για κάθε x>y>0.

Ϟστ Δίνεται η συνάρτηση

$\displaystyle{f:\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{Z},}$

$\displaystyle{f(m,n)=\begin{cases}n+1,~~~~~~~~~\text{\gr αν}~ ~~~~~~m=0 \\ f(m-1,1), ~\text{\gr αν}~m>0,~ n=0\\ f(m-1, f(m,n-1)),\text{\gr αν}~ m>0,~n>0 \end{cases}}$

Υπολογίστε την τιμή $\displaystyle{f(2,2).}$

Ϟζ Να βρείτε τις συναρτήσεις $\displaystyle{\rm f:\mathbb{R}\to [0,+\infty ),}$ για τις οποίες ισχύει $\displaystyle{\rm f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y)~\text{\gr για κάθε}~ x,y\in \mathbb{R}.}$

Ϟη Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{\rm f:\mathbb{N}^*\times \mathbb{N}^*\to \mathbb{N}^*,~f(x,y)=\frac{x^2+y^2+2xy-x-3y+2}{2}}$

ορίζει μια $\displaystyle{1-1}$ και επί απεικόνιση του $\displaystyle{\mathbb{N}^*\times \mathbb{N}^*}$ στο $\displaystyle{\mathbb{N}^*.}$

Ϟθ Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν συναρτήσεις $\displaystyle{\rm f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R},}$ για τις οποίες ισχύει

$\displaystyle{f(g(x))=x^2~\text{\gr για κάθε}~x\in \mathbb{R}}$

και

$\displaystyle{g(f(x))=x^3 ~\text{\gr για κάθε}~x\in \mathbb{R}.}$

ρ Θεωρούμε την συνάρτηση $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$ με $f((0,+\infty ))\subseteq (0,+\infty )$ για την οποία ισχύει:
$f(x\cdot f(y))={{x}^{\mu }}\cdot {{y}^{\nu }}$ για κάθε φυσικό θετικό αριθμό $\mu ,\,\,\,\nu$ .
Να αποδείξετε ότι: ${{\mu }^{2}}=\nu$

#172

Άλυτες είναι οι:
30,33,35,46,50,

#173

Στο θέμα
http://artofproblemsolving.com/community/c6h1126880
υπάρχουν διάφορα προβλήματα συναρτησιακών εξισώσεων για τα οποία δεν έχω λύση!
Λύσεις, ιδέες, σχόλια , επεκτάσεις κτλ είναι πάντα ευπρόσδεκτα!

#174

socrates έγραψε: Τρί Οκτ 27, 2009 10:09 pm 2.
Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

Για

έχουμε

Για

είναι

οπότε για κάθε $x\in \Bbb{R}$ είναι f(x)=0

ή

Επιπλέον, για x=0

είναι

οπότε

για κάθε

(ισχύει και για x=0

), δηλαδή η f είναι περιττή.

Έστω ότι υπάρχουν $a,b\in \Bbb{R}, \ \ a,b\ne 0$ με f(a)=a

και

Για

έχουμε

Επειδή $f(a+b)\in \{0,a+b\}, f(a-b) \in \{0,a-b\}$ έχουμε τις περιπτώσεις

-- f(a+b)=f(a-b)=0

που δίνει

άτοπο.
-- f(a+b)=a+b, f(a-b)=a-b

που δίνει

άτοπο.
-- f(a+b)=a+b, f(a-b)=0

που δίνει

άτοπο.
-- f(a+b)=0, f(a-b)=a-b

Όμως η f είναι περιττή, οπότε f(b-a)=b-a

και για

έχουμε

άτοπο.

Επομένως, f(x)=x

για κάθε

ή

για κάθε

Άλλος τρόπος:

Για x=y=0

έχουμε

Για

είναι

οπότε για κάθε $x\in \Bbb{R}$ είναι f(x)=0

ή

Επιπλέον, για x=0

είναι

οπότε

για κάθε

(ισχύει και για x=0

), δηλαδή η f είναι περιττή.

Ανταλλάσσοντας τα x,y

έχουμε

και αφού η f είναι περιττή f(y-x)=-f(x-y)

και άρα

Για $\displaystyle{x=\frac{a+b}{2}, y=\frac{a-b}{2}}$ από την τελευταία bf(a)=af(b)

οπότε

και αντικαθιστώντας στην αρχική $c\in \{0,1\}.$

Συναρτησιακές Εξισώσεις

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές----->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές----->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές----->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές----->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές----->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές----->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές----->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές----->Bulletin(1/?)

Μέλη σε σύνδεση