Διαγωνισμός Αρχιμήδης - Των φρονίμων τα παιδιά...!

#181

95.
Να βρείτε όλους τους ακεραίους

για τους οποίους ο αριθμός 2^n+ 4^n+ 115^n

είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

styt_geia · #182

Zarifis έγραψε:Κατάλαβα την λογική που θέτουμε c=1 αλλά δεν κατάλαβα γιατί κάνουμε abc=1? δηλαδή πως προκύπτει?

Αν θέλεις να το δεις αυστηρά, εκμεταλλεύεσαι την ομοιογένεια θέτοντας
$x=ka,\,y=kb,\,z=kc$
Ποια είναι τώρα η κατάλληλη επιλογή για το k έτσι ώστε xyz=1

; Απάντηση: $k=\frac{1}{(abc)^3}$
Αντικαθιστούμε τώρα στην όποια ανισότητα, $f(a,b,c) \geq 0$ τα a,b,c

και αυτή γίνεται $f\left(\frac{x}{k},\frac{y}{k},\frac{z}{k}) \geq 0$ . Όμως λόγω ομοιογένειας αυτή ισοδυναμεί με την $f(x,y,z) \geq 0$ , όπου xyz=1

. Φυσικά τα γράμματα που θα χρησιμοποιήσουμε δεν παίζουν ρόλο οπότε στην θέση των x,y,z

μπορούμε να ξαναβάλουμε τα a,b,c

. Δες κι εδώ την εξήγηση του Σιλουανού.

#183

socrates έγραψε:95.
Να βρείτε όλους τους ακεραίους για τους οποίους ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

Υπόδειξη:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#184

socrates έγραψε:90.
Να βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης

Υπόδειξη:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#185

socrates έγραψε:73.
Έστω $n\geq 4$ και οι πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους

$x_1+x_2+...+x_n\geq 1$ και $x_1^2+x_2^2+...+x_n^2\geq 1.$

Να δείξετε ότι $\displaystyle{\max\{x_1,x_2,...,x_n\}\geq \frac{2}{n}.}$

Είναι, ουσιαστικά, η viewtopic.php?f=111&t=13508

#186

96.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x + y f(x))= f(x f(y))- x + f(y + f(x)) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

#187

97.
Να προσδιορίσετε όλα τα πεπερασμένα σύνολα $\displaystyle{M\subset \Bbb{Z}}$ τέτοια ώστε για κάθε $\displaystyle{x,y \in M, \ x\ne y}$ να είναι $x+y+xy\in M.$

98.
Ένα σύνολο $A\subset \Bbb{R}_{\geq 0}$ λέγεται ριζικά σταθερό αν είναι πεπερασμένο και για κάθε $x\in A$ είναι $x-\sqrt{x}\in A.$
α) Βρείτε ένα ριζικά σταθερό σύνολο με 4 στοιχεία.
β) Δείξτε ότι για κάθε $n\geq 2$ υπάρχει ακριβώς ένα ριζικά σταθερό σύνολο με ακριβώς

στοιχεία.

#188

99.
Βρείτε όλα τα ζεύγη (a, b)

, πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε οι ρίζες των εξισώσεων 6x^2− 24x −4a = 0

και

να είναι μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί.

#189

100.
Επιλέγουμε 15 ανά δύο πρώτους μεταξύ τους αριθμούς από το σύνολο $\displaystyle{\{2,3,...,2012\}.}$
Να δείξετε ότι κάποιος από αυτούς είναι πρώτος.

#190

101.
Εξετάστε αν υπάρχουν μη αρνητικοί ακέραιοι x,y,m

τέτοιοι ώστε $\displaystyle{2011^x - 1007^y| m^2+ 25.}$

#191

102.
Ξεκινώντας από μια τριάδα ακεραίων (a,b,c)

με $abc\ne 0$ παίρνουμε την (|b-c|,|c-a|,|a-b|)

.
Δείξτε ότι με επανειλημμένη εφαρμογή αυτής της διαδικασίας θα προκύψει τριάδα που θα περιέχει το 0.

Ένα παρόμοιο πρόβλημα:
viewtopic.php?f=111&t=34497

#192

socrates έγραψε:100.
Επιλέγουμε 15 ανά δύο πρώτους μεταξύ τους αριθμούς από το σύνολο $\displaystyle{\{2,3,...,2012\}.}$
Να δείξετε ότι κάποιος από αυτούς είναι πρώτος.

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν

ακέραιοι $2\leq x_1<x_2<...<x_{15}\leq 2012$ πρώτοι μεταξύ τους και σύνθετοι. Τότε καθένας τους έχει έναν πρώτο παράγοντα μικρότερο ή ίσο του $\sqrt{2012}$ , δηλαδή μικρότερο ή ίσο του 43.

Οι πρώτοι αυτοί θα είναι διαφορετικοί μεταξύ τους, διαφορετικά οι x_i

δεν θα ήταν πρώτοι μεταξύ τους. Άρα υπάρχουν

πρώτοι μικρότεροι ή ίσοι του

. Άτοπο.

(Υπάρχουν ακριβώς

πρώτοι μικρότεροι ή ίσοι του

, οι

)

#193

socrates έγραψε:
98.
Ένα σύνολο $A\subset \Bbb{R}_{\geq 0}$ λέγεται ριζικά σταθερό αν είναι πεπερασμένο και για κάθε $x\in A$ είναι $x-\sqrt{x}\in A.$
α) Βρείτε ένα ριζικά σταθερό σύνολο με 4 στοιχεία.
β) Δείξτε ότι για κάθε $n\geq 2$ υπάρχει ακριβώς ένα ριζικά σταθερό σύνολο με ακριβώς στοιχεία.

Έστω $a\geq 0.$

Η εξίσωση $x-\sqrt{x}=a$ έχει λύση την $\displaystyle{x=\frac{1+2a+\sqrt{1+4a}}{2}}.$

Αν λοιπόν $f(x)=x-\sqrt{x}$ τότε $f\left( \displaystyle{\frac{1+2a+\sqrt{1+4a}}{2}}\right)=a$

Επίσης $f\left( \displaystyle{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\right)=1$ , f(1)=0

και

Θέτουμε $\displaystyle{k=\frac{3+\sqrt{5}}{2}}$ και $\displaystyle{\lambda =\frac{1+2k+\sqrt{1+4k}}{2}}$ .

Το σύνολο $\left\{\lambda ,k,1,0 \right\}$ είναι ριζικά σταθερό με $\lambda >k>1$ , άρα έχει 4 στοιχεία.

Ορίζουμε ακολουθία $\left(x_n \right)$ με x_1=0

και $\displaystyle{x_{n+1}=\frac{1+2x_n+\sqrt{1+4x_n}}{2}}$ .

Η ακολουθία είναι γνησίως αύξουσα και λαμβάνοντας τους

πρώτους όρους της έχουμε ένα ριζικά σταθερό σύνολο με

στοιχεία.

#194

socrates έγραψε:97.
Να προσδιορίσετε όλα τα πεπερασμένα σύνολα $\displaystyle{M\subset \Bbb{Z}}$ τέτοια ώστε για κάθε $\displaystyle{x,y \in M, \ x\ne y}$ να είναι $x+y+xy\in M.$

Έστω

ένα πεπερασμένο υποσύνολο των ακεραίων με τη δοσμένη ιδιότητα. Τότε:

1)

Το

δεν μπορεί να περιέχει δύο θετικούς.

Αν $x_1>y_1\geq 1$ είναι δύο στοιχεία του

τότε και ο $x_2=x_1+y_1+x_1y_1\in M$ ενώ x_2>x_1.

Ομοίως από τους x_1,x_2

προκύπτει $x_3\in M$ με x_3>x_2

. Συνεχίζοντας έτσι προκύπτουν άπειρα θετικά στοιχεία για το

, άτοπο.

Το

δεν μπορεί να περιέχει έναν θετικό κι έναν αρνητικό $\leq -2.$

Αν $x,y\in M$ με $x\geq 1$ και $y\leq -2$ τότε $x+y+xy\in M$ με x+y+xy=x(y+1)+y<y

, οπότε συνεχίζοντας έτσι προκύπτουν άπειρα αρνητικά στοιχεία για το

, άτοπο.

Το Το

δεν μπορεί να περιέχει δύο αρνητικούς $\leq -2.$

Αν $x,y\in M$ με $x<y\leq -2$ τότε $x+y+xy\in M$ με $x+y+xy=\left(x+1 \right)\left(y+1 \right)-1\geq 1$ , δηλαδή το

περιέχει έναν θετικό κι έναν αρνητικό $\leq -2$ , άτοπο.

Το

μπορεί να είναι:

$\bullet$ το κενό ή οποιδήποτε μονοσύνολο

$\bullet$ $\left\{x,0 \right\}$ όπου $x\in\mathbb{Z^*}$

$\bullet$ $\left\{x,-1 \right\}$ όπου $x\in\mathbb{Z}- \left\{-1 \right\}$

$\bullet$ $\left\{x,0,-1 \right\}$ όπου $όπου x\in\mathbb{Z}- \left\{0,-1 \right\}$

#195

socrates έγραψε:96.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε
$\displaystyle{ f(x + y f(x))= f(x f(y))- x + f(y + f(x)),\bf (1) }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

φανερά η

δεν είναι η μηδενική

$x=y=0: ~~{\bf (1)}\Rightarrow f(f(0))=0$

$x=f(0):~~{\bf (1)}\Rightarrow f(f(0)f(y))-f(0)+f(y)=0$ $\Rightarrow f(ay)+f(y)=f(0)=a\Rightarrow$

$f(ax)+f(x)=a,~~{\bf (2)}, a=f(0),x\in \mathbb R$ και $\color{blue}f(a)=0$

αν $a=0,{\bf(2)}\Rightarrow f(x)=0,x\in \mathbb R$ αδύνατο

άρα $a\neq 0$

$x=1:~~{\bf(2)}\Rightarrow f(1)=a$

$x=1,y=1:~~{\bf(1)}\Rightarrow f(1+a)=f(f(1))-1+f(1+a)\Rightarrow \color{blue}f(a)=1$

επομένως δεν υπάρχουν τέτοιες συναρτήσεις

#196

socrates έγραψε:102.
Ξεκινώντας από μια τριάδα ακεραίων με $abc\ne 0$ παίρνουμε την .
Δείξτε ότι με επανειλημμένη εφαρμογή αυτής της διαδικασίας θα προκύψει τριάδα που θα περιέχει το 0.

Ένα παρόμοιο πρόβλημα:
viewtopic.php?f=111&t=34497

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει τριάδα ακεραίων (a,b,c)

με $abc\ne 0$ από την οποία δεν προκύπτει τριάδα που να περιέχει το 0, όσες φορές και να εφαρμόσουμε τη διαδικασία.

Με την πρώτη εφαρμογή θα προκύψει τριάδα $\left(a_1,b_1,c_1 \right)$ με τρεις θετικούς ακεραίους. Έστω d_1

ο μεγαλύτερος από τους a_1,b_1,c_1

.

Μετά την δεύτερη εφαρμογή θα προκύψει τριάδα $\left(a_2,b_2,c_2 \right)$ . Αν d_2

ο μεγαλύτερος από τους a_2,b_2,c_2

τότε

. Αυτό θα συνεχιστεί και στα επόμενα βήματα. Μετά από πεπερασμένου πλήθους βήματα θα φτάσουμε σε τριάδα όπου ο μεγαλύτερος θα είναι το πολύ 2, άτοπο γιατί τότε δύο αριθμοί θα έχουν γίνει ίσοι, οπότε στο επόμενο βήμα θα πάρουμε κάποιο 0.

#197

103.
Ο πρώτος αριθμός

διαιρούμενος με το 210 αφήνει υπόλοιπο

Να βρεθεί ο

αν είναι σύνθετος και γράφεται σαν άθροισμα δύο τετραγώνων ακεραίων.

#198

104.
Έστω $M\subset \Bbb{R}$ σύνολο με 3 τουλάχιστον στοιχεία και τέτοιο ώστε για κάθε $a, b \in M, \ a\ne b$ ο αριθμός $a^2+b\sqrt{2}$ είναι ρητός.
Δείξτε ότι για κάθε $a \in M$ ο αριθμός $a\sqrt{2}$ είναι ρητός.

#199

socrates έγραψε:104.
Έστω $M\subset \Bbb{R}$ σύνολο με 3 τουλάχιστον στοιχεία και τέτοιο ώστε για κάθε $a, b \in M, \ a\ne b$ ο αριθμός $a^2+b\sqrt{2}$ είναι ρητός.
Δείξτε ότι για κάθε $a \in M$ ο αριθμός $a\sqrt{2}$ είναι ρητός.

Έστω $a,\, b\, c$ τρία διαφορετικά στοιχεία του

. Έχουμε

$(b-c) \sqrt 2 = (a^2+b\sqrt 2) -(a^2+c\sqrt2 ) \in \mathbb Q$ και όμοια για όλους τους συνδυασμούς των γραμμάτων. Από αυτό $a^2-b^2= (a^2+b\sqrt 2) - (b^2+c\sqrt 2) -(b-c)\sqrt 2 \in \mathbb Q$ και όμοια για όλους τους συνδυασμούς των γραμμάτων.

Είναι $a\ne b, \, a\ne c, \, b\ne c$ . Μπορούμε να υποθέσουμε ακόμη ότι $a\ne -b$ (δεν μπορεί να είναι a=-b

και

γιατί τότε b=c

, άρα ένας από τους $-b, \, -c$ δεν ισούται με τον

. Ας είναι ο

). Τότε

$\displaystyle {a\sqrt 2 = \frac {1}{2} (b+a)\sqrt 2 - \frac {1}{2} (b-a)\sqrt 2= \frac {b^2-a^2}{(b-a)\sqrt 2} - \frac {1}{2} (b-a)\sqrt 2\in \mathbb Q$ (αριθμητές και παρονομαστές, όλα ρητοί από τα παραπάνω).

Φιλικά,

Μιχάλης

Edit: Διόρθωσα τυπογραφικό.

#200

105.
Υπάρχουν πρώτοι $p_1 < p_2 < ... < p_{99}$ ώστε οι αριθμοί
$p_1 + p_2 , \ p_2 + p_3 , \ ..., \ p_{98} + p_{99}, \ p_{99} + p_1$ να είναι τέλεια τετράγωνα ακεραίων;

106.
Θεωρούμε τα ξένα μεταξύ τους υποσύνολα $A = \{a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5 < a_6\}$ και $B = \{b_1 > b_2 > b_3 > b_4 > b_5 > b_6\}$ του συνόλου $\{1, 2, 3,..., 12\}.$
Για κάθε $i\in \{1,2,...,6\}$ ορίζουμε $\displaystyle{c_i=\frac{\max (a_i,b_i)}{\min (a_i,b_i)}.}$
Να υπολογίσετε το γινόμενο c_1c_2...c_6.

107.
Να δείξετε ότι

$\displaystyle{\frac{a}{3b^2+2bc+3c^2}+\frac{b}{3c^2+2ca+3a^2}+\frac{c}{3a^2+2ab+3b^2}\geq \frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right),}$

για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς a,b,c.

Διαγωνισμός Αρχιμήδης - Των φρονίμων τα παιδιά...!

Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης - Των φρονίμων τα παιδιά...!

Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης - Των φρονίμων τα παιδιά...!

Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης - Των φρονίμων τα παιδιά...!

Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης - Των φρονίμων τα παιδιά...!

Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης - Των φρονίμων τα παιδιά...!

Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης - Των φρονίμων τα παιδιά...!

Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης - Των φρονίμων τα παιδιά...!

Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης - Των φρονίμων τα παιδιά...!

Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης - Των φρονίμων τα παιδιά...!

Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης - Των φρονίμων τα παιδιά...!

Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης - Των φρονίμων τα παιδιά...!

Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης - Των φρονίμων τα παιδιά...!

Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης - Των φρονίμων τα παιδιά...!

Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης - Των φρονίμων τα παιδιά...!

Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης - Των φρονίμων τα παιδιά...!

Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης - Των φρονίμων τα παιδιά...!

Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης - Των φρονίμων τα παιδιά...!

Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης - Των φρονίμων τα παιδιά...!

Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης - Των φρονίμων τα παιδιά...!

Re: Διαγωνισμός Αρχιμήδης - Των φρονίμων τα παιδιά...!

Μέλη σε σύνδεση