Καπέλα 1

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5549
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Καπέλα 1

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος »

space123 έγραψε:Ο διευθυντής των φυλακών προκειμένου να χαρίσει την ζωή σε ένα εκ των τριών καταδίκων τους καλεί στο γραφείο του και τους δείχνει πέντε καπέλα,τρία άσπρα και δύο μαύρα.
Κατόπιν τους κλείνει τα μάτια,τοποθετεί ένα καπέλο στο κεφάλι καθ' ενός και πετά τα άλλα δύο από το παράθυρο.
Στη συνέχεια ενημερώνει τους τρείς ότι από την στιγμή που θα ανοίξουν τα μάτια τους,σώζεται αυτός που θα αναφέρει πρώτος, σωστά και πλήρως αιτιολογημένα το χρώμα του καπέλου που έχει στο κεφάλι του.
Οι κατάδικοι ανοίγουν τα μάτια τους,καθε ένας βλέπει τα καπέλα των άλλων δύο αλλά όχι το δικό του και κανένας δεν βλέπει δύο μαύρα.
Σε λίγα δευτερόλεπτα ένας απ' αυτούς δηλώνει ότι έχει ασπρο καπέλο,η δήλωση είναι σωστή και η αιτιολόγηση-απόδειξη μαθηματικώς άψογη!!!Πώς τα κατάφερε? (προφανώς ζητείται ο συλλογισμός-απόδειξη του νικητή), Γιάννης Δ Γεώργας
Μήπως θα μπορούσε κάποιος διαχειριστής να μετακινήσει αυτό το πρόβλημα σε νέο post, για να μην διαπλέκεται με το άλλο πρόβλημα;

Αγαπητέ Γιάννη, θα ήθελα μία διευκρίνηση: Το δεδομένο ότι: κανένας δεν βλέπει δύο μαύρα καπέλα το γνωρίζουν οι πρωταγωνιστές φυλακισμένοι; Δηλαδή, τους γνωστοποιείται αυτό το στοιχείο;
Αν όχι, δεν νομίζω ότι έχει θέση στην εκφώνηση, γιατί η αιτιολόγηση που θα δώσουμε δίνεται από την οπτική γωνία των φυλακισμένων, δηλαδή με βάση τα στοιχεία που αυτοί έχουν.

Γιώργος Ρίζος
Άβαταρ μέλους
Στέλιος Μαρίνης
Δημοσιεύσεις: 536
Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 16, 2009 9:45 pm
Τοποθεσία: Νέα Σμύρνη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Καπέλα 1

#22

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Στέλιος Μαρίνης »

Rigio έγραψε:
space123 έγραψε:Ο διευθυντής των φυλακών προκειμένου να χαρίσει την ζωή σε ένα εκ των τριών καταδίκων τους καλεί στο γραφείο του και τους δείχνει πέντε καπέλα,τρία άσπρα και δύο μαύρα.
Κατόπιν τους κλείνει τα μάτια,τοποθετεί ένα καπέλο στο κεφάλι καθ' ενός και πετά τα άλλα δύο από το παράθυρο.
Στη συνέχεια ενημερώνει τους τρείς ότι από την στιγμή που θα ανοίξουν τα μάτια τους,σώζεται αυτός που θα αναφέρει πρώτος, σωστά και πλήρως αιτιολογημένα το χρώμα του καπέλου που έχει στο κεφάλι του.
Οι κατάδικοι ανοίγουν τα μάτια τους,καθε ένας βλέπει τα καπέλα των άλλων δύο αλλά όχι το δικό του και κανένας δεν βλέπει δύο μαύρα.
Σε λίγα δευτερόλεπτα ένας απ' αυτούς δηλώνει ότι έχει ασπρο καπέλο,η δήλωση είναι σωστή και η αιτιολόγηση-απόδειξη μαθηματικώς άψογη!!!Πώς τα κατάφερε? (προφανώς ζητείται ο συλλογισμός-απόδειξη του νικητή), Γιάννης Δ Γεώργας
Αν κάποιος έβλεπε δύο Μάυρα θα απαντούσε αμέσως. Έτσι όλοι ξέρουν ότι δεν υπάρχουν δύο Μ
Όποιος δει ένα Μ κι ένα Λ μπορεί με βεβαιότητα να δηλώσει ότι φοράει Λ
Στην περίπτωση που κανείς δεν το κάνει, όλοι καταλαβαίνουν ότι και οι 3 φορούν Λ. Ο πρώτος που θα σκεφτεί να το πει κερδίζει.
Κάποτε οι καμπύλες των γραφικών παραστάσεων ζωντανεύουν, είναι διαφορίσιμες γιατί είναι λείες κι όμορφες, έχουν ακρότατες τιμές γιατί αρνούνται τη μονοτονία, δεν έχουν όριο πραγματικό, αλλά μπορείς και τις φαντάζεσαι στο άπειρο και η ασύμπτωτη ευθεία είναι το καράβι που σε ταξιδεύει πλάι τους.
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5549
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Καπέλα 1

#23

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος »

Στέλιο, γεια χαρά!

Η (ας την πούμε) ένστασή μου έχει να κάνει με το ότι δεν "κολλάει" στην εκφώνηση ως δεδομένο το ότι κανένας δεν βλέπει δύο μαύρα καπέλα.

Όπως λες: " Έτσι όλοι ξέρουν ότι δεν υπάρχουν δύο Μαύρα", αυτό προκύπτει ως συμπέρασμα, μετά τον πρώτο δισταγμό όλων.

Με παραξένεψε λίγο το ότι ζητείται αυστηρή μαθηματική αιτιολόγηση.

Επιτρέψτε μου να υποβάλω ξανά ένσταση (ελπίζω να μη γίνομαι υποχόνδριος), αλλά η αυστηρή απόδειξη απαιτεί και σαφή εκφώνηση: Π.χ. αν οι δύο κρατούμενοι είναι χαζούληδες και παρόλο που βλέπουν τη μαύρη καπελαδούρα του τρίτου, δεν λένε κουβέντα, πάει χαμένος και ο πανέξυπνος τρίτος που βγάζει συμπέρασμα ότι έχει άσπρο βλέποντας τους να σιωπούν...
Μήπως, λοιπόν, χρειαζόταν και μία αναφορά ότι είναι όλοι "ισοδύναμα" πανέξυπνοι...

Όμως.... στα όμορφα τέτοια προβλήματα, όπως αυτό του Γιάννη, καμιά φορά η απαίτηση για αυστηρότητα τα χαλάει...

Γιώργος Ρίζος
fmak65
Δημοσιεύσεις: 764
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 6:59 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη

Re: Καπέλα 1

#24

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από fmak65 »

Αυτο ειναι αναποδο απο την ιδεα που ειπα στο αρχικο προβλημα οτι αν αρχισουν να γραφουν και οι τρεις τοτε δεν γραφουν το αντιθετο χρωμα αλλα αυτο που βλεπουν
Μαραντιδης Φωτης
space123
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 9:34 pm

Re: Καπέλα 1

#25

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από space123 »

Καλησπέρα
Κατ'αρχάς ζητώ συγνώμη αν παρεμβάλοντας αυτό το πρόβλημα δυσκόλεψα την συζήτηση των συναδέλφων,δεν το σκέφτηκα.Αν κριθεί οτι πρέπει να αλλάξει θέση ή και να διαγραφεί δεν έχω πρόβλημα.
Επι της ουσίας,αγαπητέ Γιώργο,όχι, το στοιχείο ότι κανένας δεν βλέπει δύο μαύρα δεν δίνεται στους φυλακισμένους.Αναφέρετε για τον λύτη του προβλήματος για να μην ασχοληθεί με αυτην την προφανώς εύκολη εκδοχή.Κάποιες φορές αντ'αυτού δίνεται ότι κάθε ένας βλέπει δύο άσπρα καπέλα.
Ακόμα μεταξύ των φυλακισμένων δεν υπάρχει κανένας χαζούλης,δεχόμαστε ότι έχουν τον κοινό νού και γνωρίζουν μαθηματικά επιπέδου Α! λυκείου.
Η λύση που γνωρίζω εγώ έχει καθαρά μαθηματικό υπόβαθρο και είναι αρκετά διδακτική για παιδιά επιπέδου λυκείου,κατά την άποψή μου, δε,δεν είναι και εύκολη, αν το αντιμετωπίζεις για πρώτη φορά.
Φιλικά
Γιάννης Δ Γεώργας
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9010
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Καπέλα 1

#26

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres »

Δημήτρη (dement) σωστή η λύση σου στο αρχικό πρόβλημα. (Jitter, αν και η λύση σου φαίνεται παρόμοια με του Δημήτρη, μάλλον κάτι χάνω.) Δίνω και εγώ την δική μου λύση:

Όπως έγραψε και ο Δημήτρης μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι φυλακισμένοι δρουν ντετερμινιστικά. Εφαρμόζουμε την τακτική τους με όλους τους πιθανούς συνδυασμούς καπέλων. Για κάθε ένα φυλακισμένο μετράμε πόσες φορές έχει δώσει σωστή απάντηση και πόσες λάθος. Αυτό που γνωρίζουμε σίγουρα είναι ότι ο αριθμός αυτός είναι ο ίδιος. Άρα ο συνολικός αριθμός σωστών απαντήσεων ισούται με τον συνολικό αριθμών λανθασμένων απαντήσεων. (Εδώ διαχωρίζω μεταξύ σωστών απαντήσεων και του αν κερδίζουμε ή χάνουμε. Π.χ. αν ένα άτομο δώσει σωστή απάντηση και ένα λανθασμένη τότε χάσαμε.) Αλλά κάθε φορά που κερδίζουν έχουν δώσει τουλάχιστον μία σωστή απάντηση και κάθε φορά που χάνουν έχουν δώσει το πολύ τρεις λανθασμένες απαντήσεις. Άρα ο συνολικός αριθμός νικών είναι το πολύ τριπλάσιος του συνολικού αριθμού ηττών και άρα κερδίζουν με πιθανότητα το πολύ 75%.

Το πρόβλημα μπορεί ασφαλώς να γενικευθεί για περισσότερα άτομα. Εκτός όμως από τις περιπτώσεις που ο αριθμός των ατόμων είναι της μορφής 2^n-1 (ή είναι πολύ μικρός) η καλύτερη στρατηγική είναι άγνωστη. Για περισσότερες πληροφορίες μπορείτε να δείτε εδώ.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9010
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Καπέλα 1

#27

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres »

space123 έγραψε:Καλησπέρα
Κατ'αρχάς ζητώ συγνώμη αν παρεμβάλοντας αυτό το πρόβλημα δυσκόλεψα την συζήτηση των συναδέλφων,δεν το σκέφτηκα.Αν κριθεί οτι πρέπει να αλλάξει θέση ή και να διαγραφεί δεν έχω πρόβλημα.
Επι της ουσίας,αγαπητέ Γιώργο,όχι, το στοιχείο ότι κανένας δεν βλέπει δύο μαύρα δεν δίνεται στους φυλακισμένους.Αναφέρετε για τον λύτη του προβλήματος για να μην ασχοληθεί με αυτην την προφανώς εύκολη εκδοχή.Κάποιες φορές αντ'αυτού δίνεται ότι κάθε ένας βλέπει δύο άσπρα καπέλα.
Ακόμα μεταξύ των φυλακισμένων δεν υπάρχει κανένας χαζούλης,δεχόμαστε ότι έχουν τον κοινό νού και γνωρίζουν μαθηματικά επιπέδου Α! λυκείου.
Η λύση που γνωρίζω εγώ έχει καθαρά μαθηματικό υπόβαθρο και είναι αρκετά διδακτική για παιδιά επιπέδου λυκείου,κατά την άποψή μου, δε,δεν είναι και εύκολη, αν το αντιμετωπίζεις για πρώτη φορά.
Φιλικά
Γιάννης Δ Γεώργας
Γιάννη, νομίζω δεν τίθεται θέμα διαγραφής. Επίτηδες είχα ονομάσει το θέμα "Καπέλα 1" επειδή ξέρω πως υπάρχουν πάρα πολλά προβλήματα με παρόμοιες εκφωνήσεις. Ας προσπαθήσουμε λοιπόν να δώσουμε συνέχεια με θέματα "Καπέλα 2", "Καπέλα 3" κ.τ.λ.

Όσον αφορά το πρόβλημα συμφωνώ με την λύση του Στέλιου.
Απάντηση

Επιστροφή στο “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες