Συλλογή Ασκήσεων

sidchris · #21

Ασκηση 19η
Δινεται η σχεση $(2y-1)^{2}\leq \sqrt{\frac{3}{2}-\frac{10-4x}{4}}\left(1-\frac{3x-1}{2} \right)$ .Να βρεθούν τα x,y

Γιώργος Απόκης · #22

sidchris έγραψε:Άσκηση 3η

Έστω ένας διψήφιος αριθμός. Αν αντιστρέψουμε τα ψηφία και τους προσθέσουμε ή τους αφαιρέσουμε τότε οι αριθμοί που προκύπτουν είναι τέλεια τετράγωνα. Ποιος είναι ο διψήφιος αυτός αριθμός;

Έστω

τα ψηφία με $\color{red}x>y$ . Ο αριθμός ισούται με 10x+y

, ενώ αν αντιστρέψουμε τα ψηφία έχουμε τον 10y+x

.

To άθροισμά τους είναι : 10x+y+10y+x=11(x+y)

και η διαφορά τους : 10x+y-10y-x=9(x-y)

.

Aφού ο 11(x+y)

είναι τέλειο τετράγωνο και το

είναι πρώτος, πρέπει το x+y

να είναι πολλαπλάσιο του

,

όμως τα x,y

είναι μονοψήφιοι άρα x+y=11

(1).

Αφού ο 9(x-y)

είναι τέλειο τετράγωνο και 9=3^2

, πρέπει το x-y

να είναι τέλειο τετράγωνο. Άφού οι x,y

είναι μονοψήφιοι

έχουμε τις περιπτώσεις : x-y=1

(2a) ή

(2b) ή

(2c).

Aπό το σύστημα των (1), (2a) έχουμε : x=6,y=5

άρα ο αριθμός είναι ο $\color{red}65$ .

Aπό το σύστημα των (1), (2b) έχουμε : x=7,5,y=3,5

που απορρίπτονται.

Aπό το σύστημα των (1), (2c) έχουμε : x=10,y=1

που απορρίπτονται.

Επεξεργασία : Αν $\displaystyle{x<y}$ παρόμοια προκύπτει ο αριθμός $\displaystyle{56}$ . Ευχαριστώ το Χρήστο Τσιφάκη για την παρατήρηση

sidchris · #23

Ασκηση 20η
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( $\hat{A}=90^{o}$ ) και η εξίσωση $\left(AB-2A\Gamma \right)x=\left(AB\Gamma\right)-4$ είναι αόριστη.Να βρεθεί το μήκος της διαμέσου που αντιστοιχεί στην πλευρά

και η υποτείνουσα του $AB\Gamma$

sidchris · #24

Άσκηση 21η
Εικόνα

Στο παραπάνω σχήμα η περίμετρος του $\displaystyle{AE\Delta}$ είναι 12.Να βρεθεί η περίμετρος του $\displaystyle{\Delta B \Gamma E}$

sidchris · #25

Άσκηση 22η
Να δειχθει οτι η ανισωση $\left(\frac{3a-1}{5}-2a+3 \right)x\prec \frac{a-3}{5}+\frac{2(a-1)}{3}-1$ δεν μπορει να ειναι αοριστη

sidchris · #26

Άσκηση 23η
Αν η ανίσωση $\left(\frac{5k-3}{4}-\frac{3k-6}{3}-2 \right)x\succ \frac{2m-7}{3}-1$ είναι αόριστη και το

είναι λύση της ανισότητας $\frac{2m+k}{k}+\frac{5m-k}{4}\succ 2k$ ,να βρεθεί η ακέραια τιμή του

Γιώργος Απόκης · #27

sidchris έγραψε: Άσκηση 21η

Στο παραπάνω σχήμα η περίμετρος του $\displaystyle{AE\Delta}$ είναι 12.Να βρεθεί η περίμετρος του $\displaystyle{\Delta B \Gamma E}$

Αφού η περίμετρος είναι

, η πλευρά $\Delta E$ είναι $\Delta E=12-3-4=5$ . Στο τρίγωνο $A\Delta E$ ισχύει :

$\Delta E^2=A\Delta^2+AE^2$ άρα από το αντίστροφο του Πυθαγόρειου, $\hat A=90^o$ .

Aπό το Πυθαγόρειο στο τρίγωνο $AB\Gamma$ , έχουμε : $A\Gamma^2=B\Gamma^2-AB^2=13^2-5^2=169-25=144$ , άρα $A\Gamma=12$

επομένως $E\Gamma=12-3=9$ και η περίμετρος του $\Delta B \Gamma E$ είναι : 1+13+9+5=28.

Γιώργος Απόκης · #28

sidchris έγραψε:Ασκηση 8η

Έστω η οξείας γωνία α για την οποία ισχύει ότι $sina^ {\circ} = \frac{9x-1}{3}-\frac{9x+4}{6}$ και x ακέραιος αριθμός .Να βρεθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας $\alpha^{o}$

Ισχύει : $\displaystyle{\eta \mu a=\frac{9x-1}{3}-\frac{9x+4}{6}=\frac{18x-2}{6}-\frac{9x+4}{6}=\frac{18x-2-9x-4}{6}=\frac{9x-6}{6}=\frac{3x-2}{2}}$ .

H γωνία είναι οξεία, άρα ισχύει :

$0<\eta \mu a<1$

$\displaystyle{0<\frac{3x-2}{2}<1}$

0<3x-2<2

$\displaystyle{\frac{2}{3}<x<\frac{4}{3}}$ και αφού ο

είναι ακέραιος, έχουμε : x=1

και $\displaystyle{\eta \mu a=\frac{3-2}{2}=\frac{1}{2}}$ .

Ισχύει : $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu ^2 a=1-\eta \mu^2 a=1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ . H γωνία είναι οξεία, άρα

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu a=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}}$ και $\displaystyle{\epsilon \phi a=\frac{\eta \mu a}{\sigma \upsilon \nu a}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.}$

(Eναλλακτικά, αφού $\displaystyle{\eta \mu a=\frac{1}{2}}$ και η γωνία είναι οξεία, ισχύει : a=30^o

και άρα συνημίτονο και εφαπτομένη είναι γνωστά)

T-Rex · #29

sidchris έγραψε:Ασκηση 13η

Να βρεθεί ο τριψήφιος αριθμός $\overline{\alpha \beta \gamma }$ για του οποίου τα ψηφία ισχύει $\sqrt{\alpha -5}+\sqrt{\beta }=\gamma$ και ότι είναι διαφορετικά μεταξύ τους

Στο $\sqrt{a-5}$ το

είναι

ή

για να βγεί η ριζα ακέραιος γιατι τα ψηφία είναι από 0-9

και η ρίζα μας κάνει

ή

στο $\sqrt{\beta}$ το $\beta$ είναι

ή

και η ρίζα

ή

και το

$\gamma$ θα μας κάνει 2+1=3,2+3=5,1+3=4,1+2=3,

άρα ο αριθμός $\overline{\alpha \beta \gamma }$ είναι

913,643, 694

γιατί έδιωξα αυτά που έχουν ίδια ψηφία

το

είναι μεγαλύτερο από το

το $\gamma$ είναι μικροτερο απο το

Συνεχίζει η άσκηση και άλλο αν $\alpha =5$ το β θα είναι 1ή4ή 9 και το γ1ή 2΄ή3 και έχουμε και τους αριθμούς
542 και 593 και αν β=0 θα έχουμε και τους αριθμούς 902 και 601
Ευχαριστώ τον κύριο Χρίστο και την αδερφή μουγια την βοήθεια

sidchris · #30

Άσκηση 24η

Αν η παράσταση $\frac{\displaystyle\frac{\sqrt{3x-5}}{2}+2a}{\displaystyle\sqrt{7-3x}}$ είναι μεγαλύτερη από το 2 και μικρότερη του 4 να βρεθούν οι ακέραιοι a,x

sidchris · #31

Άσκηση 25η

Εικόνα

Στο παραπάνω σχήμα το $\Delta$ είναι το μέσο της $A\Gamma$ να βρεθεί η πλευρά

Γιώργος Απόκης · #32

sidchris έγραψε:Άσκηση 25η

Στο παραπάνω σχήμα το $\Delta$ είναι το μέσο της $A\Gamma$ να βρεθεί η πλευρά

Στο τρίγωνο $\Gamma \Delta E$ ισχύει : $\Gamma \Delta ^2=\Delta E^2+\Gamma E^2$ , άρα από το αντίστροφο του Πυθαγόρειου έχουμε : $\widehat{\Delta E\Gamma}=90^o$ .

Eπομένως, τα τρίγωνα $AB\Gamma$ και $\Gamma \Delta E$ είναι όμοια (δύο γωνίες, μία προς μία, ίσες) και άρα έχουμε :

$\displaystyle{\frac{\Delta \Gamma}{B\Gamma}=\frac{\Gamma E}{A\Gamma}}$

$\displaystyle{\frac{5}{B\Gamma}=\frac{4}{10}}$

$\displaystyle{4 B\Gamma=50}$

$\displaystyle{B \Gamma=\frac{50}{4}=12,5}$ και έτσι : BE=12,5-4=8,5

sidchris · #33

Γιώργος Απόκης έγραψε:
sidchris έγραψε:Άσκηση 25η

Στο παραπάνω σχήμα το $\Delta$ είναι το μέσο της $A\Gamma$ να βρεθεί η πλευρά
Στο τρίγωνο $\Gamma \Delta E$ ισχύει : $\Gamma \Delta ^2=\Delta E^2+\Gamma E^2$ , άρα από το αντίστροφο του Πυθαγόρειου έχουμε : $\widehat{\Delta E\Gamma}=90^o$ .

Eπομένως, τα τρίγωνα $AB\Gamma$ και $\Gamma \Delta E$ είναι όμοια (δύο γωνίες, μία προς μία, ίσες) και άρα έχουμε :

$\displaystyle{\frac{\Delta \Gamma}{B\Gamma}=\frac{\Gamma E}{A\Gamma}}$

$\displaystyle{\frac{5}{B\Gamma}=\frac{4}{10}}$

$\displaystyle{4 B\Gamma=50}$

$\displaystyle{B \Gamma=\frac{50}{4}=12,5}$ και έτσι :

Λόγω του ότι είμαστε στην Β γυμνασίου δεν μπορεί να λυθεί με ομοιότητα τριγώνων.Υπαρχει αλλη λυση με τη υλη της Β γυμνασιου

#34

sidchris έγραψε: Λόγω του ότι είμαστε στην Β γυμνασίου δεν μπορεί να λυθεί με ομοιότητα τριγώνων.Υπαρχει αλλη λυση με τη υλη της Β γυμνασιου

Ας κάνουμε μια μικρή παράκαμψη μέσω Τριγωνομετρίας (στην ύλης της Β΄ Γυμνασίου) για να ξαναβερθούμε στη λύση του Γιώργου.

: 8266658272_9bb1bb82fb_n.jpg (10.08 KiB) Προβλήθηκε 1907 φορές

Στο $\displaystyle \Gamma \Delta {\rm E}$ είναι $\displaystyle \sigma \upsilon \nu \Gamma = \frac{{\Gamma {\rm E}}}{{\Gamma \Delta }} = \frac{4}{5}$

Στο $\displaystyle {\rm A}{\rm B}\Gamma$ είναι $\displaystyle \sigma \upsilon \nu \Gamma = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{{{\rm B}\Gamma }} = \frac{{10}}{{{\rm B}\Gamma }}$

Οπότε $\displaystyle \frac{{10}}{{{\rm B}\Gamma }} = \frac{4}{5} \Leftrightarrow {\rm B}\Gamma = 12,5$ άρα $\displaystyle \Gamma {\rm E} = 12,5 - 4 = 8,5$

Αγαπητέ Χρήστο, ασφαλώς και η ομοιότητα δεν έχει διδαχτεί ακόμα στη Β΄ Γυμνασίου.
Απ' την άλλη συνηθίζουμε στο

να προσεγγίζουμε με πολλούς τρόπους τις ασκήσεις που μάλλον ενδεικτικά τοποθετούνται στους φακέλους. Το χαιρόμαστε, μάλιστα, να βλέπουμε πολλές και διαφορετικές προσεγγίσεις, που είναι πολλές φορές ασύμβατες με το επίπεδο του φακέλου που φιλοξενεί την άσκηση.
Έτσι, η προσέγγιση του Γιώργου μπορεί να δώσει ένα ερέθισμα σε μαθητές που διαρκώς αναζητούν κάτι παραπάνω να διευρύνουν τις γνώσεις και τον τρόπο σκέψης τους.

Γιώργος Απόκης · #35

sidchris έγραψε: Άσκηση 25η
Λόγω του ότι είμαστε στην Β γυμνασίου δεν μπορεί να λυθεί με ομοιότητα τριγώνων.Υπαρχει αλλη λυση με τη υλη της Β γυμνασιου

Έχεις δίκιο...

Στα τρίγωνα $AB\Gamma,\Gamma \Delta E$ έχουμε : $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \Gamma =\frac{A\Gamma}{B\Gamma}}$ και $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \widehat{\Delta \Gamma E}=\frac{\Gamma E}{\Gamma \Delta}}$ επομένως

$\displaystyle{\frac{A\Gamma}{B\Gamma}=\frac{\Gamma E}{\Gamma \Delta}}$ ή $\displaystyle{\frac{10}{B\Gamma}=\frac{4}{5}}$ και μετά όπως παραπάνω...

Edit: Με πρόλαβε ο Γιώργος!

Γιώργος Απόκης · #36

sidchris έγραψε:Ασκηση 10η

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{\Gamma\Delta}=4$ και $\displaystyle{A\Gamma}=10$ .Αν $\left( \displaystyle{A\Gamma\Delta }\right)=16$ . Να βρεθεί το $\displaystyle{B\Delta}$

Έστω

το ύψος του τριγώνου, τότε έχουμε :

$(A\Gamma \Delta )=16$ ή $\displaystyle{\frac{\Gamma \Delta \cdot AE}{2}=16}$ ή $\displaystyle{\frac{4 AE}{2}=16}$ ή $\displaystyle{2 AE=16}$ ή AE=8

.

Από το Πυθαγόρειο στο $AE\Gamma$ έχουμε : $\Gamma E^2=A\Gamma^2-\Gamma E^2=10^2-8^2=100-64=36$ άρα $\Gamma E=6$

επομένως $\Delta E=\Gamma E-\Gamma \Delta=6-4=2$ . Tελικά, $B\Delta=BE+E\Delta=6+2=8.$

T-Rex · #37

sidchris έγραψε:Άσκηση 24η

Αν η παράσταση $\frac{\displaystyle\frac{\sqrt{3x-5}}{2}+2a}{\displaystyle\sqrt{7-3x}}$ είναι μεγαλύτερη από το 2 και μικρότερη του 4 να βρεθούν οι ακέραιοι

Tο χ στο $\sqrt{3x-5}$ ειναι ίσο ή μεγαλύτερο απο 2 για να ειναι θετικό
στι $\sqrt{7-3x$ το χ είναι 1ή 2
άρα το χ είναι 2 που ταιριάζει και στον αριθμητή και στον παρονομαστή

και το κλάσμα γίνεται $\frac{1}{2}+2\alpha$ που είναι $2\prec \frac{1}{2}+2\alpha \prec 4$
και το $\alpha =1$ γιατί ειναι ακέραιος

T-Rex · #38

sidchris έγραψε:Άσκηση 17η
Για πια ακέραια τιμή του το κλάσμα $\frac{\sqrt{2x-5}+x^{2}}{4-x}$ παίρνει θετικές τιμές;

στο $\sqrt{2x-5}$ το χ είναι ίσο με 3 ή μεγαλύτερο για να είναι θετικό
στον παρονομαστή το χ μπορεί να είναι μέχρι 3 για να είναι θετικό το 4-x

άρα το χ=3 που ταιριάζει και στον αριθμητη και στον παρονομαστή
Ο αριθμητής είναι παντοτε θετικός γιατι το $x^{2}$ είναι πάντοτε θετικό πχ (-4).(-4)=16

sidchris · #39

Ασκηση 25η

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $AB\Gamma$ με εμβαδο $4\sqrt{15}$ και $AB=2B\Gamma$ .Να βρεθεί η περίμετρος του τριγώνου $AB\Gamma$

Γιώργος Απόκης · #40

sidchris έγραψε:Ασκηση 25η

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $AB\Gamma$ με εμβαδο $4\sqrt{15}$ και $AB=2B\Gamma$ .Να βρεθεί η περίμετρος του τριγώνου $AB\Gamma$

Αφού το τρίγωνο είναι ισοσκελές και $AB=2B\Gamma>B\Gamma$ , οι ίσες πλευρές είναι οι $AB,A\Gamma$ .

Έστω ότι $B\Gamma=x$ τότε $AB=A\Gamma=2x$ και, αν $AM=\upsilon$ ύψος, έχουμε : $\displaystyle{M\Gamma=\frac{x}{2}}$ .

Από το Πυθαγόρειο στο $AM\Gamma$ έχουμε : $\displaystyle{\upsilon^2=(2x)^2-\left(\frac{x}{2}\right)^2}=4x^2-\frac{x^2}{4}=\frac{16x^2-x^2}{4}=\frac{15x^2}{4}$

άρα $\displaystyle{\upsilon=\sqrt{\frac{15x^2}{4}}=\frac{x\sqrt{15}}{2}}$ . To εμβαδόν ισούται με : $\displaystyle{E=\frac{B\Gamma \cdot AM}{2}=\frac{x \cdot \frac{x\sqrt{15}}{2}}{2}=\frac{x^2\sqrt{15}}{4}}$ .

Όμως, $\displaystyle{E=4\sqrt{15}}$ άρα $\displaystyle{\frac{x^2\sqrt{15}}{4}=4\sqrt{15}}$ ή x^2=16

και επομένως x=4

.

Tελικά, η περίμετρος είναι : $AB+B\Gamma+A\Gamma=8+4+8=20.$

Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση