συναρτησιακή και αντίστροφη

#21

kika έγραψε:καλησπέρα σε όλους, επαναφέρω αυτήν την άσκηση:

Έστω συνάρτηση f που πληρεί την σχέση $\displaystyle{f^3 (x) + f(x) = 2e^x \,\,\,\forall \,\,x \in R\,\,\,\,(1)}$
να βρείτε το σύνολο των τιμών της .

πως βρίσκω το όριό της στο άπειρο?

ευχαριστώ.

Είναι

$\displaystyle{f(x)(f^2(x)+1)=2e^x,}$ άρα ισχύει $\displaystyle{f(x)>0~\forall x.}$

Για κάθε $\displaystyle{a>0}$ ισχύει $\displaystyle{a\leq \frac{a^3+2}{3},}$ οπότε

$\displaystyle{2e^x\leq f^3(x)+\frac{f^3(x)+2}{3}\implies f(x)\geq \sqrt[3]{\frac{6e^x-2}{4}}.}$

Επειδή

$\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}\sqrt[3]{\frac{6e^x-2}{4}}=+\infty,}$ είναι και $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty.}$

Επίσης είναι

$\displaystyle{2e^x=f^3(x)+f(x)\geq 2f^2(x)\implies f(x)\leq \sqrt{e^x}~~\forall x,}$ οπότε επειδή είναι $\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}\sqrt{e^x}=0,}$ και $\displaystyle{f(x)>0,}$ είναι και

$\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}f(x)=0.}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #22

Επειδή $x> 0\Rightarrow 2e^{x}> 2$

έχουμε $x> 0\Rightarrow f(x)> 1$

Ετσι για x> 0

$2e^{x}=f^{3}(x)+f(x)< 2f^{3}(x)$

δηλαδή $f(x)> e^{\frac{x}{3}}$
από όπου προκύπτει το ζητούμενο.

συναρτησιακή και αντίστροφη

Re: συναρτησιακή και αντίστροφη

Re: συναρτησιακή και αντίστροφη

Μέλη σε σύνδεση