Ασκησούλα

#21

ΚωσταςΚ έγραψε:
Το συνημμένο ασκησούλα.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Έστω ορθογώνιο στο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ που είναι και ισοσκελές.

Φέρουμε τη διάμεσο και το ύψος του τριγώνου $\vartriangle ABD$ από την κορυφή που τέμνει την πλευρά στο . Να δειχθεί ότι

Καλησπέρα σε όλους

Άλλη μία με χρήση εμβαδών που εκμεταλλεύεται όμως τα ισχυρότατα τριγωνομετρικά εργαλεία, χωρίς βοηθητικές ευθείες.

: Ασκησούλα.png (6.13 KiB) Προβλήθηκε 282 φορές

Είναι $\displaystyle{\varepsilon \varphi \omega = \frac{1}{2}}$ .

$\displaystyle{\sigma \upsilon {\nu ^2}\omega = \frac{1}{{1 + \varepsilon {\varphi ^2}\omega }} = \frac{4}{5} \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \omega = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}}$ , απ' όπου παίρνουμε $\displaystyle{\eta \mu \omega = \frac{{\sqrt 5 }}{5}}$ .

Έχουμε ακόμα $\displaystyle{\omega + \varphi = {90^0} \Leftrightarrow \eta \mu \varphi = \sigma \upsilon \nu \omega }$ .

$\displaystyle{({\rm A}{\rm E}{\rm B}) = \frac{1}{2}b \cdot AE\eta \mu \varphi = \frac{{b \cdot AE\sqrt 5 }}{5}}$

$\displaystyle{(AEC) = \frac{1}{2}b \cdot AE\eta \mu \omega = \frac{{b \cdot AE\sqrt 5 }}{{10}}}$ .

Άρα, $\displaystyle{\frac{{(AEB)}}{{(AEC)}} = 2}$ .

Τα τρίγωνα όμως AEB, AEC

έχουν μία γωνία ίση $\displaystyle{A\widehat BE = A\widehat CE = {45^0}}$ , οπότε θα είναι: $\displaystyle{\frac{{(AEB)}}{{(AEC)}} = \frac{{b \cdot BE}}{{b \cdot EC}} = 2}$ .

Επομένως: BE=2EC

.

p_gianno · #22

Κατασκευάζω το τετράγωνο BACZ

του οποίου την πλευρά

τέμνει η

στο

.

Από την προφανή ισότητα των τργ ABD , ACH

έχουμε

. Συνεπώς

διάμεσος του τργ ZAC

.

Στο ίδιο τρίγωνο είναι και η

διάμεσος (

κέντρο του τετραγώνου). Συνεπώς

βαρύκεντρο του τργ ACZ

.

Επομένως αν IE=x

τότε

,

και

συνεπώς $BE=2 \cdot EC$

Ασκησούλα

Re: Ασκησούλα

Re: Ασκησούλα

Μέλη σε σύνδεση