Αρχιμήδης 2014-2015

jason.prod · #21

Demetres έγραψε:Άσκηση 8 (Κάνει και για Seniors και για Juniors)

Δίνονται $n \geqslant 2$ διακεκριμένα σημεία στο επίπεδο. Χρωματίζουμε κόκκινα τα μέσα όλων των ευθυγράμμων τμημάτων που ορίζονται από αυτά τα σημεία. Να βρεθεί ο ελάχιστος δυνατός αριθμός διαφορετικών κόκκινων σημείων.

Καλημέρα, κύριε Δημήτρη
Πολύ ωραίο πρόβλημα, μου πήρε πολλή ώρα να το λύσω.
Θα αποδείξουμε ότι ο ελάχιστος αριθμός των κόκκινων σημείων είναι 2n-3

. Αν

, τότε το ζητούμενο ισχύει. Έστω $n \ge 6$ . Αν όλα τα σημεία είναι συνευθειακά τότε το ζητούμενο έπεται και η ισότητα ισχύει όταν τα σημεία έχουν ίδια απόσταση μεταξύ τους. Αν 3 σημεία είναι συνευθειακά τότε πάλι το ζητούμενο έπεται, καθώς από τα 3 σημεία που είναι συνευθειακά έχουμε ήδη 3 κόκκινα σημεία, από το μεσαίο ορίζονται άλλα n-3

(σύνολο

) κόκκινα σημεία και από το ένα ακριανό των 3 συνευθειακών ορίζονται άλλα n-3

κόκκινα σημεία (σύνολο 2n-3

κόκκινα σημεία). Στα 2n-3

κόκκινα σημεία που έχουμε προστίθενται άλλα n-3

κόκκινα σημεία από το τρίτο σημείο της ευθείας. Έτσι, χάνονται το πολύ 3 κόκκινα σημεία, τα οποία μπορεί να έχουν διπλομετρηθεί και αρκεί να αποδείξουμε την ανισότητα $3n-9 \ge 2n-3$ , η οποία προφανώς ισχύει. Αν $n-1 \ge k \ge 4$ σημεία είναι συνευθειακά τότε εργαζόμαστε ομοίως. Αν τα σημεία είναι ανά 3 μη συνευθειακά, τότε ορίζουν n-γωνο και ο ελάχιστος αριθμός κόκκινων σημείων επιτυγχάνεται όταν το n-γωνο είναι κανονικό. Από τις πλευρές του n-γώνου ορίζονται

κόκκινα σημεία και αν σταθεροποιήσουμε ένα από τα σημεία του n-γώνου έχουμε άλλα n-3

κόκκινα σημεία, οπότε το ζητούμενο έπεται. Άρα ο ελάχιστος αριθμός κόκκινων σημείων είναι 2n-3

.

#22

jasonmaths4ever έγραψε:
Demetres έγραψε:Άσκηση 8 (Κάνει και για Seniors και για Juniors)

Δίνονται $n \geqslant 2$ διακεκριμένα σημεία στο επίπεδο. Χρωματίζουμε κόκκινα τα μέσα όλων των ευθυγράμμων τμημάτων που ορίζονται από αυτά τα σημεία. Να βρεθεί ο ελάχιστος δυνατός αριθμός διαφορετικών κόκκινων σημείων.
Καλημέρα, κύριε Δημήτρη
Πολύ ωραίο πρόβλημα, μου πήρε πολλή ώρα να το λύσω.
Θα αποδείξουμε ότι ο ελάχιστος αριθμός των κόκκινων σημείων είναι . Αν , τότε το ζητούμενο ισχύει. Έστω $n \ge 6$ . Αν όλα τα σημεία είναι συνευθειακά τότε το ζητούμενο έπεται και η ισότητα ισχύει όταν τα σημεία έχουν ίδια απόσταση μεταξύ τους. Αν 3 σημεία είναι συνευθειακά τότε πάλι το ζητούμενο έπεται, καθώς από τα 3 σημεία που είναι συνευθειακά έχουμε ήδη 3 κόκκινα σημεία, από το μεσαίο ορίζονται άλλα (σύνολο ) κόκκινα σημεία και από το ένα ακριανό των 3 συνευθειακών ορίζονται άλλα κόκκινα σημεία (σύνολο κόκκινα σημεία). Στα κόκκινα σημεία που έχουμε προστίθενται άλλα κόκκινα σημεία από το τρίτο σημείο της ευθείας. Έτσι, χάνονται το πολύ 3 κόκκινα σημεία, τα οποία μπορεί να έχουν διπλομετρηθεί και αρκεί να αποδείξουμε την ανισότητα $3n-9 \ge 2n-3$ , η οποία προφανώς ισχύει. Αν $n-1 \ge k \ge 4$ σημεία είναι συνευθειακά τότε εργαζόμαστε ομοίως. Αν τα σημεία είναι ανά 3 μη συνευθειακά, τότε ορίζουν n-γωνο και ο ελάχιστος αριθμός κόκκινων σημείων επιτυγχάνεται όταν το n-γωνο είναι κανονικό. Από τις πλευρές του n-γώνου ορίζονται κόκκινα σημεία και αν σταθεροποιήσουμε ένα από τα σημεία του n-γώνου έχουμε άλλα κόκκινα σημεία, οπότε το ζητούμενο έπεται. Άρα ο ελάχιστος αριθμός κόκκινων σημείων είναι .

Καλησπέρα Ιάσονα. (Είναι αυτό το όνομά σου;)

Η απάντηση 2n-3

είναι σωστή. Η απόδειξη όμως έχει ελλείψεις σε διάφορα σημεία. Ένα π.χ. προβληματικό σημείο είναι η περίπτωση με τρία συνευθειακά σημεία όπου μπορεί να υπάρχουν πολύ περισσότερες διπλομετρήσεις.

Η δυσκολία της άσκησης είναι να αποδειχθεί το 2n-3

. Αυτή είναι και η ομορφιά πολλές φορές των ασκήσεων συνδυαστικής. Να είσαι σίγουρος για την απάντηση και να μην μπορείς να το αποδείξεις!

Ως επιπλέον βοήθεια λέω ότι η απόδειξη, αν και όχι τόσο απλό να βρεθεί είναι αρκετά σύντομη (δεν χρειάζεται τόσες περιπτώσεις όσες προσπάθησες να κάνεις) και αρκετά κατανοητή.

#23

Όμορφη άσκηση Δημήτρη!
Αν ήταν συνευθειακά τα σημεία τι θα κάναμε; Τότε τα σημεία που είναι διαδοχικά και τα σημεία που απέχουν 2, δημιουργούν διακεκριμένα μέσα. Συνολικά
n-1+n-2=2n-3.

Τώρα για να τα κάνουμε συνευθειακά τι θα κάνουμε; Προβολή σε ευθεία!

nickthegreek · #24

Άσκηση 9 (Για Seniors και juniors)

Το άθροισμα ορισμένων (όχι κατ' ανάγκη διαφορετικών) αριθμών είναι 100. Πόσο μεγάλο μπορεί να είναι το γινόμενό τους;

Άσκηση 10

Η επανάληψη ενός φυσικού αριθμού ορίζεται γράφοντας τον ίδιο αριθμό δύο φορές στη σειρά. Πχ, η επανάληψη του 3452 είναι ο αριθμός 34523452. Υπάρχει φυσικός αριθμός του οποίου η επανάληψη είναι τέλειο τετράγωνο;

#25

smar έγραψε:Όμορφη άσκηση Δημήτρη!
Αν ήταν συνευθειακά τα σημεία τι θα κάναμε; Τότε τα σημεία που είναι διαδοχικά και τα σημεία που απέχουν 2, δημιουργούν διακεκριμένα μέσα. Συνολικά
Τώρα για να τα κάνουμε συνευθειακά τι θα κάνουμε; Προβολή σε ευθεία!

Τέλεια! Ας το έχουμε λοιπόν υπόψη μας. Η «προβολή σε ευθεία» πολλές φορές βοηθάει.

Αν κάποιοι δεν βλέπουν γιατί δουλεύει αυτό που προτείνει ο Σιλουανός πέστε μας να βάλουμε περισσότερες λεπτομέρειες.

Δίνω και μια υπόδειξη για διαφορετική λύση. Βασίζεται στο "extremal principle": Πάρτε δύο σημεία σε μέγιστη απόσταση μεταξύ τους.

Το πρόβλημα το πήρα από διαγωνισμό επιλογής της Μολδαβίας του 2014. (Δείτε εδώ.) Αυτοί με την σειρά τους το είχαν πάρει από δεύτερο γύρο διαγωνισμού του Ιράν το 1999.

#26

nickthegreek έγραψε: Άσκηση 10

Η επανάληψη ενός φυσικού αριθμού ορίζεται γράφοντας τον ίδιο αριθμό δύο φορές στη σειρά. Πχ, η επανάληψη του 3452 είναι ο αριθμός 34523452. Υπάρχει φυσικός αριθμός του οποίου η επανάληψη είναι τέλειο τετράγωνο;

Έστω

ο αριθμός και ας υποθέσουμε ότι έχει

ψηφία. Τότε η επανάληψη ισούται με a(10^n+1).

Θα επιλέξουμε

ώστε

Έχουμε ότι 7|10^3+1,

οπότε από το LTE θα έχουμε ότι $7^2|10^{21}+1.$
Επιλέγουμε λοιπόν $a=\frac{10^{21}+1}{7^2}$ ο οποίος έχει 21 ψηφία και n=21.

Τότε η επανάληψη ισούται με $\left(\frac{10^{21}+1}{7}\right)^2.$

Με την παραπάνω κατασκευή μπορούμε να δείξουμε επίσης ότι υπάρχουν άπειροι αριθμοί των οποίων οι επαναλήψεις είναι τέλεια τετράγωνα.
Ας πάρουμε για $a=\frac{10^{21k}+1}{7^2}$ όπου

δεν είναι πολλαπλάσιο του 7.

jason.prod · #27

Demetres έγραψε:
jasonmaths4ever έγραψε:
Demetres έγραψε:Άσκηση 8 (Κάνει και για Seniors και για Juniors)

Δίνονται $n \geqslant 2$ διακεκριμένα σημεία στο επίπεδο. Χρωματίζουμε κόκκινα τα μέσα όλων των ευθυγράμμων τμημάτων που ορίζονται από αυτά τα σημεία. Να βρεθεί ο ελάχιστος δυνατός αριθμός διαφορετικών κόκκινων σημείων.
Καλημέρα, κύριε Δημήτρη
Πολύ ωραίο πρόβλημα, μου πήρε πολλή ώρα να το λύσω.
Θα αποδείξουμε ότι ο ελάχιστος αριθμός των κόκκινων σημείων είναι . Αν , τότε το ζητούμενο ισχύει. Έστω $n \ge 6$ . Αν όλα τα σημεία είναι συνευθειακά τότε το ζητούμενο έπεται και η ισότητα ισχύει όταν τα σημεία έχουν ίδια απόσταση μεταξύ τους. Αν 3 σημεία είναι συνευθειακά τότε πάλι το ζητούμενο έπεται, καθώς από τα 3 σημεία που είναι συνευθειακά έχουμε ήδη 3 κόκκινα σημεία, από το μεσαίο ορίζονται άλλα (σύνολο ) κόκκινα σημεία και από το ένα ακριανό των 3 συνευθειακών ορίζονται άλλα κόκκινα σημεία (σύνολο κόκκινα σημεία). Στα κόκκινα σημεία που έχουμε προστίθενται άλλα κόκκινα σημεία από το τρίτο σημείο της ευθείας. Έτσι, χάνονται το πολύ 3 κόκκινα σημεία, τα οποία μπορεί να έχουν διπλομετρηθεί και αρκεί να αποδείξουμε την ανισότητα $3n-9 \ge 2n-3$ , η οποία προφανώς ισχύει. Αν $n-1 \ge k \ge 4$ σημεία είναι συνευθειακά τότε εργαζόμαστε ομοίως. Αν τα σημεία είναι ανά 3 μη συνευθειακά, τότε ορίζουν n-γωνο και ο ελάχιστος αριθμός κόκκινων σημείων επιτυγχάνεται όταν το n-γωνο είναι κανονικό. Από τις πλευρές του n-γώνου ορίζονται κόκκινα σημεία και αν σταθεροποιήσουμε ένα από τα σημεία του n-γώνου έχουμε άλλα κόκκινα σημεία, οπότε το ζητούμενο έπεται. Άρα ο ελάχιστος αριθμός κόκκινων σημείων είναι .
Καλησπέρα Ιάσονα. (Είναι αυτό το όνομά σου;)

Πράγματι, αυτό είναι το όνομά μου.

jason.prod · #28

nickthegreek έγραψε:Άσκηση 9 (Για Seniors και juniors)

Το άθροισμα ορισμένων (όχι κατ' ανάγκη διαφορετικών) αριθμών είναι 100. Πόσο μεγάλο μπορεί να είναι το γινόμενό τους;

Υποθέτουμε ότι οι αριθμοί δεν είναι κατ' ανάγκη θετικοί έτσι;

nickthegreek · #29

Συγγνώμη, επειδή ήταν αργά ξέχασα κάτι βασικό. Οι αριθμοί είναι φυσικοί.

#30

Άσκηση 11 (Για Seniors)

Σε ένα πίνακα είναι γραμμένα τα πολυώνυμα x^3-3x^2+5

και

. Σε κάθε βήμα, αν τα πολυώνυμα f(x),g(x)

είναι γραμμένα στον πίνακα, μπορούμε επιπλέον να γράψουμε ένα από τα πολυώνυμα f(x) + g(x), f(x) - g(x), f(x)g(x), f(g(x))

και

όπου

πραγματικός αριθμός.

Μπορούμε με μια πεπερασμένη ακολουθία βημάτων να γράψουμε στον πίνακα ένα πολυώνυμο της μορφής x^n-1

για κάποιο θετικό ακέραιο

?

AlexandrosG · #31

Demetres έγραψε:Άσκηση 11 (Για Seniors)

Σε ένα πίνακα είναι γραμμένα τα πολυώνυμα και . Σε κάθε βήμα, αν τα πολυώνυμα είναι γραμμένα στον πίνακα, μπορούμε επιπλέον να γράψουμε ένα από τα πολυώνυμα και όπου πραγματικός αριθμός.

Μπορούμε με μια πεπερασμένη ακολουθία βημάτων να γράψουμε στον πίνακα ένα πολυώνυμο της μορφής για κάποιο θετικό ακέραιο ?

Καλημέρα.

Δεν γίνεται. Το

είναι ρίζα των παραγώγων των δύο αρχικών πολυωνύμων. Σε όλες τις πράξεις που μπορούμε να κάνουμε αυτή η ιδιότητα παραμένει αναλλοίωτη. Άρα αν το x^n-1

μπορούσε να προκύψει, η παράγωγος του θα είχε ρίζα το

που δεν συμβαίνει.

gavrilos · #32

Demetres έγραψε:Άσκηση 11 (Για Seniors)

Σε ένα πίνακα είναι γραμμένα τα πολυώνυμα και . Σε κάθε βήμα, αν τα πολυώνυμα είναι γραμμένα στον πίνακα, μπορούμε επιπλέον να γράψουμε ένα από τα πολυώνυμα και όπου πραγματικός αριθμός.

Μπορούμε με μια πεπερασμένη ακολουθία βημάτων να γράψουμε στον πίνακα ένα πολυώνυμο της μορφής για κάποιο θετικό ακέραιο ?

Να σημειώσω ότι το πρόβλημα είναι προτάθηκε στην Ρώσικη Ολυμπιάδα του 2014 για την τάξη 11 (τελευταία τάξη).

jason.prod · #33

nickthegreek έγραψε:Άσκηση 9 (Για Seniors και juniors)

Το άθροισμα ορισμένων φυσικών (όχι κατ' ανάγκη διαφορετικών) αριθμών είναι 100. Πόσο μεγάλο μπορεί να είναι το γινόμενό τους;

Δίνω μία λύση, αν και νομίζω ότι το πρόβλημα είναι εξαιρετικά εύκολο για seniors, εκτός αν εγώ έχω κάνει κάποιο λάθος. Αν a_1, a_2, ... , a_n

οι αριθμοί αυτοί, τότε προφανώς ισχύει η σχέση $(\frac{100}{n})^n \ge p$ , όπου για συντομία έθεσα p=a_1a_2...a_n

. Έτσι ψάχνω την τιμή του n για την οποία μεγιστοποιείται ο αριθμός $(\frac{100}{n})^n$ , αλλά ταυτόχρονα και ο $(\frac{100}{n})^n$ να είναι φυσικός, άρα ο n να είναι διαιρέτης του 100. Με δοκιμές βρίσκουμε ότι το γινόμενο, ανάλογα και με τις τιμές του n, μπορεί να πάρει μία από τις μέγιστες τιμές 100, 50^2, 25^4, 20^5, 10^k, 5^l, 4^m, 2^r, 1

, όπου σε κάθε μία περίπτωση η ισότητα ισχύει για $a_i=a_j, 1 \le i,j \le n$ , άρα αρκεί να συγκρίνουμε τους αριθμούς 100, 50^2, 25^4, 20^5, 10^k, 5^l, 4^m, 2^r, 1

και εύκολα παίρνουμε ότι αρκεί να συγκρίνουμε τους αριθμούς $2^r, 5^l \Longrightarrow 2^r \ge 5^l \Longrightarrow (2^\frac{5}{2})^l \ge 5^l \Longrightarrow 2^\frac{5}{2} \ge 5$ , που ισχύει. Η μέγιστη λοιπόν τιμή του γινομένου

είναι

.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#34

Ιάσονα για τους εκθέτες, γράφε 2^{10} αντί του 2^10. Αν υπάρχει μόνο ένα ψηφίο τότε μπορείς να αποφύγεις τα άγκιστρα.

Για την άσκηση 9 τι θα έκανες αν το άθροισμα ήταν 101; Η μέθοδός σου λέει ότι η μέγιστη τιμή είναι το 101 κάτι που δεν ισχύει.

#35

Άσκηση 12 (Για Juniors)

Δυο πιόνια βρίσκονται σε διαφορετικά σημεία του επιπέδου με ακέραιες συντεταγμένες. . Σε κάθε βήμα επιτρέπεται να επιλέξουμε ένα από τα πιόνια και να το τοποθετήσουμε σε ένα άλλο σημείο με ακέραιες συντεταγμένες με την προϋπόθεση ότι η απόσταση μεταξύ των δύο πιονιών να μείνει σταθερή. Μπορούμε μετά από πεπερασμένο αριθμό βημάτων να εναλλάξουμε τις θέσεις των δύο πιονιών;

Επεξεργασία: Βελτίωση εκφώνησης.

jason.prod · #36

Demetres έγραψε:Άσκηση 12 (Για Juniors)

Δυο πιόνια βρίσκονται σε διαφορετικά τετραγωνάκια μιας άπειρης σκακιέρας. Σε κάθε βήμα επιτρέπεται να επιλέξουμε ένα από τα πιόνια και να το τοποθετήσουμε σε ένα άλλο τετραγωνάκι της σκακιέρας με την προϋπόθεση ότι η απόσταση μεταξύ των δύο πιονιών να μείνει σταθερή. Μπορούμε μετά από πεπερασμένο αριθμό βημάτων να εναλλάξουμε τις θέσεις των δύο πιονιών;

Όταν λέμε "απόσταση" τι ακριβώς εννοούμε;

KARKAR · #37

nickthegreek έγραψε:Άσκηση 9(Για Seniors και juniors)

Το άθροισμα ορισμένων (όχι κατ' ανάγκη διαφορετικών) αριθμών είναι 100.

Πόσο μεγάλο μπορεί να είναι το γινόμενό τους ;

Λύση της άσκησης ( και μάλιστα και με διαφορετικά ζητούμενα ) εδώ

Al.Koutsouridis · #38

Μιας και ο φάκελος είναι για την προετοιμασία παραθέτω την επίσημη λύση για την Άσκηση 7 σε απόκρυψη σε περίπτωση που κάποιος θέλει να ασχοληθεί ακόμα.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Έστω

. Ονομάζουμε μια ακολουθία φυσικών αριθμών ενδιαφέρουσα, αν οποιοιδήποτε δυο διαδοχικοί όροι της διαφέρουν το πολύ κατά 1. Για κάθε ενδιαφέρουσα ακολουθία a_1,α_2, …,a_n

θεωρούμε την ακολουθία διαφοράς $b_i=a_{i+1} -a_{i} (i=1,2,..,n-1)$ . Κάθε όρος της ακολουθίας διαφοράς είναι ίσος με 0, 1 ή -1. οπότε το πλήθος όλων των ακολουθιών διαφοράς είναι $3^{n-1}$ .

Θα απαριθμήσουμε αρχικά το πλήθος

όλων των ενδιαφερουσών ακολουθιών, το ελάχιστο στοιχείο των οποίων δεν υπερβαίνει το 3. Εξετάζουμε μια τυχαία ακολουθία διαφοράς $b_1,b_2,..,b_{99}$ . Οποιοισδήποτε δύο ενδιαφέρουσες ακολουθίες που αντιστοιχούν σε αυτήν διαφέρουν στο να αθροίσουμε τον ίδιο αριθμό σε κάθε όρο τους. Άρα μεταξύ αυτών υπάρχει ακριβώς μία ακολουθία με ελάχιστο στοιχείο ίσο με 1, 2 ή 3. Έτσι έχουμε $S=3 (3^{n-1}) =3^{n}$ .

Στο

υπολογίστηκαν όλες οι ακολουθίες που θα μπορούσε να γράψει ο Πέτρος αλλά και κάποιες πλεονάζουσες, αυτές στις οποίες δεν συναντάται το 3. Είναι εύκολο να δει κανείς ότι αν σε μια ενδιαφέρουσα ακολουθία συναντάται αριθμός μικρότερος του 3 και μεγαλύτερος του 3 τότε θα συναντάται και το 3. Όμως το ελάχιστο στοιχείο κάθε πλεονάζουσας ακολουθίας δεν υπερβαίνει το 2 άρα και κάθε όρος της δεν υπερβαίνει το 2. Οπότε όλες οι πλεονάζουσες ακολουθίες αποτελούνται απ τους αρθμους 1 και 2. Από την άλλη κάθε ακολουθία που αποτελείται από 1 και 2 είναι ενδιαφέρουσα και είναι πλεονάζουσα.

Επομένως οι πλεονάζουσες ακολουθίες είναι 2^n

τον αριθμό και το ζητούμενο πλήθος των ακολουθιών είναι S-2^n = 3^n -2^n

.

Υγ. Η παραπάνω λύση ήταν μια από τις προτυνόμενες λύσεις η δεύτερη ήταν με μαθηματική επαγωγή.

#39

Άσκηση 13

Δίνεται ένα τρίγωνο του οποίου οι κορυφές του έχουν ακέραιες συντεταγμένες, και το οποίο έχει ακριβώς δύο εσωτερικά σημεία με ακέραιες συντεταγμένες. Να δειχθεί ότι η ευθεία που περνάει από αυτά τα εσωτερικά σημεία, είτε περνάει από μια κορυφή, είτε είναι παράλληλη σε μια πλευρά του τριγώνου.

jason.prod · #40

Al.Koutsouridis έγραψε:Μιας και ο φάκελος είναι για την προετοιμασία παραθέτω την επίσημη λύση για την Άσκηση 7 σε απόκρυψη σε περίπτωση που κάποιος θέλει να ασχοληθεί ακόμα.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Έστω . Ονομάζουμε μια ακολουθία φυσικών αριθμών ενδιαφέρουσα, αν οποιοιδήποτε δυο διαδοχικοί όροι της διαφέρουν το πολύ κατά 1. Για κάθε ενδιαφέρουσα ακολουθία θεωρούμε την ακολουθία διαφοράς $b_i=a_{i+1} -a_{i} (i=1,2,..,n-1)$ . Κάθε όρος της ακολουθίας διαφοράς είναι ίσος με 0, 1 ή -1. οπότε το πλήθος όλων των ακολουθιών διαφοράς είναι $3^{n-1}$ .

Θα απαριθμήσουμε αρχικά το πλήθος όλων των ενδιαφερουσών ακολουθιών, το ελάχιστο στοιχείο των οποίων δεν υπερβαίνει το 3. Εξετάζουμε μια τυχαία ακολουθία διαφοράς $b_1,b_2,..,b_{99}$ . Οποιοισδήποτε δύο ενδιαφέρουσες ακολουθίες που αντιστοιχούν σε αυτήν διαφέρουν στο να αθροίσουμε τον ίδιο αριθμό σε κάθε όρο τους. Άρα μεταξύ αυτών υπάρχει ακριβώς μία ακολουθία με ελάχιστο στοιχείο ίσο με 1, 2 ή 3. Έτσι έχουμε $S=3 (3^{n-1}) =3^{n}$ .

Στο υπολογίστηκαν όλες οι ακολουθίες που θα μπορούσε να γράψει ο Πέτρος αλλά και κάποιες πλεονάζουσες, αυτές στις οποίες δεν συναντάται το 3. Είναι εύκολο να δει κανείς ότι αν σε μια ενδιαφέρουσα ακολουθία συναντάται αριθμός μικρότερος του 3 και μεγαλύτερος του 3 τότε θα συναντάται και το 3. Όμως το ελάχιστο στοιχείο κάθε πλεονάζουσας ακολουθίας δεν υπερβαίνει το 2 άρα και κάθε όρος της δεν υπερβαίνει το 2. Οπότε όλες οι πλεονάζουσες ακολουθίες αποτελούνται απ τους αρθμους 1 και 2. Από την άλλη κάθε ακολουθία που αποτελείται από 1 και 2 είναι ενδιαφέρουσα και είναι πλεονάζουσα.

Επομένως οι πλεονάζουσες ακολουθίες είναι τον αριθμό και το ζητούμενο πλήθος των ακολουθιών είναι .

Υγ. Η παραπάνω λύση ήταν μια από τις προτυνόμενες λύσεις η δεύτερη ήταν με μαθηματική επαγωγή.

Μπορεί να μην κατάλαβα εγώ καλά, αλλά τι γίνεται αν μια από αυτές τις ακολουθίες έχει έστω και έναν αρνητικό όρο;

Αρχιμήδης 2014-2015

Re: Αρχιμήδης 2014-2015

Re: Αρχιμήδης 2014-2015

Re: Αρχιμήδης 2014-2015

Re: Αρχιμήδης 2014-2015

Re: Αρχιμήδης 2014-2015

Re: Αρχιμήδης 2014-2015

Re: Αρχιμήδης 2014-2015

Re: Αρχιμήδης 2014-2015

Re: Αρχιμήδης 2014-2015

Re: Αρχιμήδης 2014-2015

Re: Αρχιμήδης 2014-2015

Re: Αρχιμήδης 2014-2015

Re: Αρχιμήδης 2014-2015

Re: Αρχιμήδης 2014-2015

Re: Αρχιμήδης 2014-2015

Re: Αρχιμήδης 2014-2015

Re: Αρχιμήδης 2014-2015

Re: Αρχιμήδης 2014-2015

Re: Αρχιμήδης 2014-2015

Re: Αρχιμήδης 2014-2015

Μέλη σε σύνδεση