ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

A.Spyridakis · #21

Άσκηση 17
Υπάρχουν $\alpha ,\beta\ \epsilon \ \mathbb{Z}^{*}$ ώστε η εξίσωση $\alpha x^2 +(3\beta +1)x+(\alpha +2)=0$ να έχει θετικές ακέραιες ρίζες?

#22

Για ποικιλία, βάζω και γω αυτό το κλασικό σε έμπνευση θέμα , μια και συχνά οι μαθητές μας ρωτούν πώς είναι οι ασκήσεις των διαγωνισμών .

ΑΣΚΗΣΗ 18

Να λύσετε την εξίσωση :

$\displaystyle \frac {x-2008}{3} + \frac {x-2007}{4} +\frac {x-2006}{5} +\frac {x-2005}{6} = \frac {x-3}{2008} +\frac {x-4}{2007}+\frac {x-5}{2006}+\frac {x-6}{2005}$

Stavroulitsa · #23

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 18

Να λύσετε την εξίσωση :

$\displaystyle \frac {x-2008}{3} + \frac {x-2007}{4} +\frac {x-2006}{5} +\frac {x-2005}{6} = \frac {x-3}{2008} +\frac {x-4}{2007}+\frac {x-5}{2006}+\frac {x-6}{2005}$

Καλησπέρα, να μια λύση:

$\displaystyle \frac{x-2008}{3}+\frac{x-2007}{4}+\frac{x-2006}{5}+\frac{x-2005}{6}=\frac{x-3}{2008}+\frac{x-4}{2007}+\frac{x-5}{2006}+\frac{x-6}{2005}\Leftrightarrow \frac{x-2011}{3}+1+\frac{x-2011}{4}+1+\frac{x-2011}{5}+1+\frac{x-2011}{6}+1=\frac{x-2011}{2008}+1+\frac{x-2011}{2007}+1+\frac{x-2011}{2006}+1+\frac{x-2011}{2005}+1\Leftrightarrow \left(x-2011 \right)\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{2008}-\frac{1}{2007}-\frac{1}{2006} -\frac{1}{2005}\right)=0$

και έχουμε

$\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{2008}-\frac{1}{2007}-\frac{1}{2006} -\frac{1}{2005}\neq0$

Άρα πρέπει $x-2011=0\Leftrightarrow x=2011$

--------------------------------------------------------------------

*Στον αριθμητή προσθέτουμε και αφαιρούμε τον παρονομαστή...

**Δεν απλοποιούμε το χ-2011 γιατί δεν ξέρουμε αν είναι μηδέν...

p_gianno · #24

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Για ποικιλία, βάζω και γω αυτό το κλασικό σε έμπνευση θέμα , μια και συχνά οι μαθητές μας ρωτούν πώς είναι οι ασκήσεις των διαγωνισμών .

ΑΣΚΗΣΗ 18

Να λύσετε την εξίσωση :

$\displaystyle \frac {x-2008}{3} + \frac {x-2007}{4} +\frac {x-2006}{5} +\frac {x-2005}{6} = \frac {x-3}{2008} +\frac {x-4}{2007}+\frac {x-5}{2006}+\frac {x-6}{2005}$

Μία προσέγγιση στο συνημμένο

ΑΣΚΗΣΗ 18.pdf: (250.89 KiB) Μεταφορτώθηκε 149 φορές

Π.Γ

papel · #25

Ασκηση 19)

Εαν $\displaystyle{{\beta _1},{\beta _2},{\gamma _1},{\gamma _2}}$ πραγματικοι αριθμοι ωστε

$\displaystyle{{\beta _1} \cdot {\beta _2} = 2 \cdot \left( {{\gamma _1} + {\gamma _2}} \right)}$

να δειξετε οτι τουλαχιστον μια απο τις εξισωσεις :

$\displaystyle{\begin{array}{l} {x^2} + {\beta _1} \cdot x + {\gamma _1} = 0 \\ {x^2} + {\beta _2} \cdot x + {\gamma _2} = 0 \\ \end{array}}$

εχει δυο πραγματικες ριζες.

Ιστοσελίδα · #26

ΑΣΚΗΣΗ 20η

Αν οι μαθητές μιας τάξης τοποθετηθούν σε x σειρές με x+1 μαθητές σε κάθε σειρά
περισσεύουν 2 μαθητές ενώ αν τοποθετηθούν σε 2x σειρές με x-1 μαθητές σε κάθε
σειρά λείπουν 2 μαθητές. Να βρεθεί ο αριθμός των μαθητών της τάξης.

A.Spyridakis · #27

Μια λύση στη 19:
Κατ' αρχήν να υποθέσω ότι η απαίτηση "...έχει δύο πραγματικές ρίζες" δεν υπονοεί "άνισες". Κι αυτό διότι αν π.χ. $\beta _1=\gamma_1=\beta _2=\gamma_2=0$ , τότε καμμία δεν έχει δύο άνισες ρίζες.
Έστω λοιπόν ότι καμμία δεν έχει πραγματικές ρίζες. Τότε ${(\Delta _1<0 \ \wedge \ \Delta _2<0)\Rightarrow (\beta _1^2 -4\gamma _1<0 \ \wedge \ \beta _2^2 -4\gamma _2<0 )\Rightarrow \beta _1^2+\beta _2^2<4(\gamma_1+\gamma_2)\Rightarrow \beta _1^2+\beta _2^2<2\beta _1\beta _2\Rightarrow (\beta _1-\beta _2)^2<0}$ , άτοπο

Άκυρο το σχόλιο που είχα εδώ! Pure βλακεία!

papel · #28

A.Spyridakis έγραψε:Μια λύση στη 19:

.

Ειπα οτι αυτη την δεν θα την ελυνε κανεις αλλα ξεχασα τον Αντωνη ρε @αματο.

A.Spyridakis · #29

papel έγραψε:
A.Spyridakis έγραψε:Μια λύση στη 19:

.

Ειπα οτι αυτη την δεν θα την ελυνε κανεις αλλα ξεχασα τον Αντωνη ρε @αματο.

Χεχεχε!!! Ευτυχώς που δεν πρόλαβε να τη δει ο Μιχάλης, ο Νίκος, ο Μπάμπης, ο Αλέξανδρος, ο Βασίλης, ο Χρήστος, ο Αναστάσης, ο Σεραφείμ, ο Κώστας, ο........

Ωραία ασκησούλα, by the way!

#30

Μία λύση στην 20
Αν ψ είναι οι μαθητές τότε x(x+1) + 2 = ψ και 2x(x-1) - 2 = ψ
Άρα η εξίσωση γίνεται x^2+x + 2 = 2x^2-2x-2

δηλαδή

η οποία έχει ρίζες x = 4 και x = -1 (απορρίπτεται)
άρα οι μαθητές είναι 4
(Λίγοι μου φαίνονται Σπύρο)

Χρήστος

A.Spyridakis · #31

xr.tsif έγραψε:Μία λύση στην 20
Αν ψ είναι οι μαθητές τότε x(x+1) + 2 = ψ και 2x(x-1) - 2 = ψ
Άρα η εξίσωση γίνεται δηλαδή η οποία έχει ρίζες x = 4 και x = -1 (απορρίπτεται)
άρα οι μαθητές είναι 4
(Λίγοι μου φαίνονται Σπύρο)

Χρήστος

Χρήστο, βλέπεις το σχόλιο που λέω ότι είχα παραπάνω? Την πάτησα ακριβώς έτσι! Μάλιστα είχα ρωτήσει το Σπύρο αν ήταν τάξη... ενισχυτικής! Ο ζητούμενος αριθμός δεν είναι ο χ, αλλά ο χ(χ+1)+2 = 22!

Αντώνης

Ιστοσελίδα · #32

Βρήκαμε x = 4 (η αρνητική τιμή φυσικά απορρίπτεται) όπου x o αριθμός των σειρών
άρα έχουμε x(x+1) +2 = 4x5+2 = 22 μαθητές

ΥΣ και εγώ έτσι την πάτησα στην αρχή

#33

A.Spyridakis έγραψε:Άσκηση 17
Υπάρχουν $\alpha ,\beta\ \epsilon \ \mathbb{Z}^{*}$ ώστε η εξίσωση $\alpha x^2 +(3\beta +1)x+(\alpha +2)=0$ να έχει θετικές ακέραιες ρίζες?

Έστω x, y θετικές ακέραιες ρίζες. Τότε
$a(x^2+1) + 3bx = -2 -x, \,\, a(y^2+1) + 3by = -2 -y,$

Λύνουμε το σύστημα ως προς a, b. Αν έκανα σωστά τις πράξεις (καθώς είμαι πολύ κουρασμένος) θα βρούμε

$a = \frac{2}{xy-1}, \, b = \frac{1-2x-2y -xy}{3(xy-1)}$ .

Αν απαιτούμε a, b ακέραιοι τότε η πρώτη δίνει xy = 2 ή 3. Άρα (x=2, y=1) ή (x=3, y=1) ή συμμετρικά ως προς χ, y.

Ελέγχουμε τώρα αν οι τιμές δίνουν ακέραιο b. Και λοιπά ... κούραση... Ίσως αύριο δω που κάνω λάθος.

Πάντως ωραία άσκηση.

Μ.

p_gianno · #34

A.Spyridakis έγραψε:Άσκηση 17
Υπάρχουν $\alpha ,\beta\ \epsilon \ \mathbb{Z}^{*}$ ώστε η εξίσωση $\alpha x^2 +(3\beta +1)x+(\alpha +2)=0$ να έχει θετικές ακέραιες ρίζες?

Μία προσέγγιση

17.pdf: (59.68 KiB) Μεταφορτώθηκε 109 φορές

Π.Γ

Edit
ανέβασα νέο αρχείο διορθωμένο σε ένα σημείο με λάθος.

#35

A.Spyridakis έγραψε:
xr.tsif έγραψε:Μία λύση στην 20
Αν ψ είναι οι μαθητές τότε x(x+1) + 2 = ψ και 2x(x-1) - 2 = ψ
Άρα η εξίσωση γίνεται δηλαδή η οποία έχει ρίζες x = 4 και x = -1 (απορρίπτεται)
άρα οι μαθητές είναι 4
(Λίγοι μου φαίνονται Σπύρο)

Χρήστος
Χρήστο, βλέπεις το σχόλιο που λέω ότι είχα παραπάνω? Την πάτησα ακριβώς έτσι! Μάλιστα είχα ρωτήσει το Σπύρο αν ήταν τάξη... ενισχυτικής! Ο ζητούμενος αριθμός δεν είναι ο χ, αλλά ο χ(χ+1)+2 = 22!

Αντώνης

Πολύ σωστά Αντώνη
Εγώ την πάτησα περισσότερο γιατί έγραψα κιόλας ότι Έστω ψ οι μαθητές
Χρήστος

mhtsort · #36

Άσκηση 21
i) Να βρεθεί δευτεροβάθμια εξίσωση που εχει ρίζες του αριθμούς x_1=-1

και

.
ii) Να δείξετε ότι ο αριθμός $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2...}}}$ είναι φυσικός.

#37

mhtsort έγραψε:Άσκηση 21
i) Να βρεθεί δευτεροβάθμια εξίσωση που εχει ρίζες του αριθμούς και .
ii) Να δείξετε ότι ο αριθμός $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2...}}}$ είναι φυσικός.

Χμμμμ.

Η ι) χ^2 - χ - 2 = 0 . Ως εδώ όλα καλά.
Η ιι) οδηγεί στην $x = \sqrt{2+x}\,$ που είναι η ίδια με την ι) αλλά υπάρχει ένα μεγάλο "αλλά".

Αν θέλουμε να μείνουμε σε μαθηματική αυστηρότητα, τότε η παράσταση $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2...}}}\,$ παρουσιάζει πρόβλημα. Ο ορισμός της απαιτεί διαδικασία ορίου, που είναι εκτός ύλης.
Βέβαια, αυτό το γεγονός μας δίνει την ευκαιρία για γόνιμη συζήτηση με τα παιδιά. Αν τους διαβεβαιώσουμε ότι μπορούμε να χειριστούμε την παράσταση σαν να ήταν αλγεβρική, έχουμε ενδιαφέρουσα άσκηση + συζήτηση.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #38

ΑΣΚΗΣΗ 22

Δίνονται τα τριώνυμα $\displaystyle{ x^2 + \lambda x + \mu }$ και $\displaystyle{ x^2 - 2\sqrt {\lambda ^2 - 2\mu } \cdot x + \lambda ^2 - 2\mu }$ . Να δείξετε ότι αν οι ρίζες του πρώτου παριστάνουν τις διαστάσεις ορθογωνίου , τότε οι ρίζες του δεύτερου παριστάνουν τις διαγωνίους αυτού .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

A.Spyridakis · #39

Αν α, β οι διαστάσεις του ορθογωνίου, τότε α+β = -λ και αβ = μ, οπότε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών του 2ου τριωνύμου είναι αντίστοιχα: $2\sqrt{\lambda ^2-2\mu } =2\sqrt{(\alpha +\beta )^2 -2\alpha \beta }=2\sqrt{ \alpha^2 +\beta ^2}$ και $\alpha^2 +\beta ^2$ , απ όπου παρατηρούμε ότι οι ρίζες του είναι ίσες και $\sqrt{ \alpha^2 +\beta ^2}$

#40

Nα προστεθεί και κάτι τέτοιο;

ΑΣΚΗΣΗ 23
Ένας μαθητής αντί της εξίσωσης $x^{2}+ax+b=0$ (1), έλυσε την $x^{2}+bx+a=0$ και βρήκε δύο ρίζες. Από αυτές η μία ήταν ίση με μία ρίζα της (1) και η δεύτερη ήταν μικρότερη κατά 3 της άλλης ρίζας της (1).
Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί a, b.

ΑΣΚΗΣΗ 24
Αν οι συντελεστές της εξίσωσης $\alpha x^{2}+\beta x+\gamma =0$ είναι περιττοί, τότε δεν έχει ρητές ρίζες.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Μέλη σε σύνδεση