Συνάρτηση μη παραγωγίσιμη σε κλειστό διάστημα

Μάρκος Βασίλης · #21

Peri2005 έγραψε: Τετ Δεκ 30, 2015 5:52 pm
rek2 έγραψε:Στον φάκελο που είμαστε, η συνάρτηση , με πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}$

είναι παραγωγίσιμη στο .
Επομένως και για π.χ. την συνάρτηση
$\displaystyle{f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^4} - 3} & {,\,\,x < - 1} \\ {x - {x^2}} & {,\, - 1 \le x \le 1} \\ {{x^2} - 3x} & {,\,x > 1} \\ \end{array}} \right.}$

θα ισχύει ότι:

η f είναι παραγωγίσιμη στο [-1,1] (αφού $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}} \in R}$ και $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} \in R}$ )

αλλά η f δεν είναι παραγωγίσιμη
ούτε στο -1 (γωνιακό σημείο) , ούτε στο 1 (αφού δεν είναι συνεχής)

Γενικά, αν έχεις μία συνάρτηση

ορισμένη σε ένα σύνολο

, μπορείς να μιλήσεις για τον περιορισμό της συνάρτησης σε ένα υποσύνολο του

- ας το πούμε

. Ο περιορισμός της

στο

μπορεί να συμβολιστεί με f|_B

. Εν γένει, ο περιορισμός δεν έχει τις ίδιες ιδιότητες με τη συνάρτηση - ίσως έχει κάποιες «παραπάνω». Πάρε για παράδειγμα την f(x)=|x|

ορισμένη σε όλο το $\mathbb{R}$ . Τότε, αυτή είναι συνεχής και παραγωγίσιμη παντού εκτός του

όπου είναι απλώς συνεχής. Πάρε τώρα και τη συνάρτηση

που είναι ο περιορισμός της

στο

. Αυτή έχει τις εξής ιδιότητες που δεν έχει η

:

1. Έχει μέγιστη τιμή (στο x_0=3

).
2. Είναι παραγωγίσιμη στο x_0=0

, αφού $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=\lim_{x\to0^+}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=1$ , δεδομένου του πεδίου ορισμού της

.
3. Είναι γνησίως μονότονη (άρα και «1-1», άρα και αντιστρέψιμη).

Επιπρόσθετα, διατηρεί όλες τις «καλές» ιδιότητες που είχε και η

- συνέχεια, παραγωγισιμότητα κ.λπ..

Σκέψου ότι όταν περιορίζεις μία συνάρτηση ενδέχεται να «πετάξεις» ένα «προβληματικό» τμήμα της, με αποτέλεσμα, ο περιορισμός αυτός να έχει και κάποιες «καλύτερες» ιδιότητες από αυτές που είχε προηγουμένως. Βεβαίως αυτό δεν είναι απόλυτο. Αν, για παράδειγμα, περιοριζόμασταν στο (0,3)

τότε θα «χάναμε» το ολικό ελάχιστο που είχε η

.

Όπως και να έχει, κράτα ότι μία συνάρτηση

και ο περιορισμός της σε ένα υποσύνολο του πεδίου ορισμού της είναι διαφορετικές συναρτήσεις - αφού έχουν διαφορετικό πεδίο ορισμού - άρα, εν γένει, δεν αναμένεις να έχουν τις ίδιες ιδιότητες.

Συνάρτηση μη παραγωγίσιμη σε κλειστό διάστημα

Re: Συνάρτηση μη παραγωγίσιμη σε κλειστό διάστημα

Μέλη σε σύνδεση