Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Rempeskes · #21

M.S.Vovos έγραψε: Γ. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα, $\xi \in (0,1)$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle f(\xi )\left ( 1+\pi \xi \sigma \upsilon \nu (\pi \xi ) \right )=-\xi$ .

Μια διαφορετική αντιμετώπιση,

$\displaystyle Rolle$ για την $\displaystyle{h(x)={e}^{sin(\pi x)}\cdot f(x)}$ στο $\displaystyle \left[0,1 \right]$

#22

M.S.Vovos έγραψε:ΆΣΚΗΣΗ 5

Έστω η παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ συνάρτηση , με και η συνεχής στο $\mathbb{R}$ συνάρτηση , με $g(x)\neq 0$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ . Αν ισχύει , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ , να δείξετε ότι , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

Έστω

αρχική της $\frac {1}{g(x)}$ .Τότε η δοσμένη γράφεται :

$\frac {1}{g(x)} = \frac {f'(x)}{g(f(x))}$ , δηλαδή G'(x)=(G(f(x))'

Η συνέχεια είναι σχεδόν ρουτίνα. Αξίζει μόνο να εξάγουμε ότι η

είναι

, αλλά η παράγωγος της

διατηρεί πρόσημο ως συνεχής και χωρίς ρίζες, οπότε

η

είναι γνησίως μονότονη.

Μπ

Λάμπρος Μπαλός · #23

ΑΣΚΗΣΗ 9 Ζανταρίδης

Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: R \rightarrow R$ ισχύει

→ $lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)+(h-1)f(x)}{sinh} = (2x-3)e^{x}+e^{-x}$ , για κάθε $x \in R$ και

→ f(0)=0

Α) Να δείξετε ότι $e^{x}(f'(x)+f(x))=(2x-3)e^{2x}+1$

Β) Να δείξετε ότι $f(x)=(x-2)e^{x}+(x+2)e^{-x}$

Γ) Να μελετηθεί η

ως προς την κυρτότητα.

Δ) Να δείξετε ότι η

έχει ακριβώς δύο θέσεις τοπικών ακροτάτων.

Ε) Να δείξετε ότι αν $x_{1},x_{2}$ είναι οι θέσεις τοπικών ακροτάτων της

, τότε είναι $x_{1}+x_{2}=0$

Λάμπρος Μπαλός · #24

Rempeskes έγραψε:
Υ.Γ.: Προτείνω σε αυτόν τον φάκελο, επειδή δημιουργήθηκε (σύμφωνα και με τον τίτλο του θεματοθέτη) αποκλειστικά για τους μαθητές της Γ' Λυκείου, να μπαίνει μια ημερομηνία για την λύση του εκάστοτε θέματος, και αν δεν λυθεί μέχρι αυτήν την ημερομηνία (είτε αν θέλουμε να προσθέσουμε κάτι σε μια ήδη λυμένη) να παρεμβαίνουμε οι υπόλοιποι.

Ναι, δεν είναι κακή ιδέα. Αν όχι σε όλες, ας το κάνουμε σε μερικές που έχουν ίσως κάποιο παραπάνω διδακτικό ενδιαφέρον.

nikolaos p. · #25

Πολύ σωστά.

Λάμπρος Μπαλός · #26

ΑΣΚΗΣΗ 10 Πατήλας
ας ασχοληθούν οι μαθητές λοιπόν μέχρι την Παρασκευή 11 Μαρτίου

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)= \frac{1}{\sqrt{x+ \sqrt{x^{2}+1}}}$ , $x \in R$

Α) Να δείξετε ότι $2f'(x) \sqrt{x^{2}+1}=-f(x)$

Β) Να βρείτε το είδος μονοτονίας της f(x)

Γ) Να αποδείξετε ότι $\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} dx = ln(3+2 \sqrt{2})$

Δ) Αν για τη συνεχή συνάρτηση $g:[-1,1] \rightarrow R$ ισχύει : $\int_{-1}^{1} \frac{xg(x)}{\sqrt{x^{2}+1}}dx > ln(3+2 \sqrt{2})$ ,

να δείξετε ότι η εξίσωση $g(x)= \frac{1}{x}$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (-1,1)

.

maiksoul · #27

ΑΣΚΗΣΗ 11 Μια προσωπική κατασκευή

Έστω συναρτήσεις $f,g,h:R\rightarrow R$ συνεχείς, με g(0)>0

και ισχύουν:

$\displaystyle{ \, \bullet \,\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,\frac{{\,f(\,x\,)\,\, - \,\,g(\,x\,)}}{x} = \,1\,\,\,\,\, }$

$\displaystyle{ \bullet \,\,\,\,\,f^{\,2\,} (\,x\,) + 6\,x\,f(x) - e^{x^{\,2} \, - \,\,x} \,\, = \,\,3 - 9x^2 \, }\;\;\;\; \displaystyle{ {\,\forall x \in \Re } }$

ενώ η συνάρτηση

δίνεται από τον τύπο :
$\displaystyle{ \,h\,(\,x\,) = \int\limits_1^x {[\,f(t) + 3t\,]\,dt + 2x\,\,,\,\,\,\,x \in \Re } }$
Να δείξετε ότι:
Ι) f(0)=2

II)η

είναι

III)η εξίσωση: $\displaystyle{ h\,[\,h\,(\,x^3 + 3x\,) - h\,(\,x^3 + \sqrt {e^{x^{\,2} \, - \,\,x} + 3\,} \,)\, + 1\,]\,\, = \,\,2\,\, }$

έχει ρίζα στο διάστημα ( 0 , 1 )

#28

Δεν θυμάμαι αν την έχω στο αρχείο μου, οπότε την βάζω στη συλλογή και..... τα καλά πνεύματα ας είναι με το μέρος μαθητών και καθηγητών !

ΑΣΚΗΣΗ 12

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $f:R\to (0,+\infty )$ και έστω

η αρχική της

με

που ικανοποιεί την ιδιότητα :

$F(x)+\ln f(x)=\ln (\sqrt{1+{{x}^{2}}}+x)-\ln \sqrt{1+{{x}^{2}}}$

α) Να αποδείξετε ότι $f(x)=\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\,,\,x\in R$

β) Να αποδείξετε ότι $\int_{\,0}^{3}{F({{x}^{2}})dx<9}$

γ) Να λύσετε το σύστημα : F(x) = y

,

Μπάμπης

( Η συνέχεια μπορεί και να παραληφθεί.)

M.S.Vovos · #29

papamixalis έγραψε:ΆΣΚΗΣΗ 7

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[0,+\infty )\rightarrow \mathbb{R}$ με , για την οποία ισχύει $\displaystyle xf'(x)=f(x)+e^{\frac{f(x)}{x}}$ , για κάθε .

Α. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης .

Μιχάλη, για ξαναδές το ερώτημα 1. Σου έχει φύγει κάτι.

Φιλικά,
Μάριος

Rempeskes · #30

M.S.Vovos έγραψε:
papamixalis έγραψε:ΆΣΚΗΣΗ 7

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[0,+\infty )\rightarrow \mathbb{R}$ με , για την οποία ισχύει $\displaystyle xf'(x)=f(x)+e^{\frac{f(x)}{x}}$ , για κάθε .

Α. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης .

Μιχάλη, για ξαναδές το ερώτημα 1. Σου έχει φύγει κάτι.

Φιλικά,
Μάριος

Σωστό είναι Μάριε.

Το έγραψε εν συντομία.

Διαίρεσε με $\displaystyle x^2$ , $\displaystyle \Rightarrow \frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}={e}^{\frac{f(x)}{x}}\cdot \frac{1}{x^2}$

μετά με ${e}^{\frac{f(x)}{x}}$ , $\displaystyle \Rightarrow \left[{e}^{-\frac{f(x)}{x}}\left(-\frac{f(x)}{x} \right)' \right]=-\frac{1}{x^2}$

$\displaystyle \Rightarrow \left({e}^{-\frac{f(x)}{x}} \right)'=\left(\frac{1}{x} \right)' \Rightarrow ....$

maiksoul · #31

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Δεν θυμάμαι αν την έχω στο αρχείο μου, οπότε την βάζω στη συλλογή και..... τα καλά πνεύματα ας είναι με το μέρος μαθητών και καθηγητών !

ΑΣΚΗΣΗ 12

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $f:R\to (0,+\infty )$ και έστω η αρχική της με που ικανοποιεί την ιδιότητα :

$F(x)+\ln f(x)=\ln (\sqrt{1+{{x}^{2}}}+x)-\ln \sqrt{1+{{x}^{2}}}$

α) Να αποδείξετε ότι $f(x)=\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\,,\,x\in R$

β) Να αποδείξετε ότι $\int_{\,0}^{3}{F({{x}^{2}})dx<9}$

γ) Να λύσετε το σύστημα : ,,

Μπάμπης

( Η συνέχεια μπορεί και να παραληφθεί.)

Μια λύση σε αυτήν την όμορφη άσκηση

.

α)Έχουμε
$\displaystyle{ F(x) + \ln F'(x) = \ln \,(\,\sqrt {\,1 + x^2 \,} + x\,) + \ln \frac{1}{{\sqrt {\,1 + x^2 \,} }} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ F(x) + \ln F'(x) = \ln \,(\,\sqrt {\,1 + x^2 \,} + x\,) + \ln [\ln \,(\,\sqrt {\,1 + x^2 \,} + x\,)]'\mathop \Leftrightarrow \limits^{g(x) = \ln \,(\,\sqrt {\,1 + x^2 \,} + x\,)} }$

$\displaystyle{ \ln [e^{F(x)} F'(x)]\,\, = \ln [e^{g(x)} g'(x)] \Leftrightarrow e^{F(x)} F'(x) = e^{g(x)} g'(x) \Leftrightarrow [e^{F(x)} ]' = [e^{g(x)} ]' }$

$\displaystyle{ F(x) = g(x) + c,\,\,\,c \in \Re \,\, }$

όμως είναι F(0)=0

και (αφού

) προκύπτει

$\displaystyle{ \,F(x) = g(x)\,\, \Rightarrow F(x) = \ln \,(\,\sqrt {\,1 + x^2 \,} + x\,)\,\,\,\,\,\,\forall x \in \Re \,\, }$

και το ζητούμενο έπεται.

β)Είναι:
$\displaystyle{ F''(x) = \frac{{ - x}}{{(1 + x^2 )\sqrt {\,1 + x^2 \,} }}\,, }$

$\displaystyle{ F''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0,F''(x) > 0 \Leftrightarrow x \in ( - \infty ,0),F''(x) < 0 \Leftrightarrow x \in (0, + \infty ) }$

Από την κυρτότητα προκύπτει :

$\displaystyle{ x \in [0, + \infty )\,\,\,\,\,\, \bullet \,\,F(\,x\,)\,\, \le \,\,x\,\,\,\,\,\mathop \Rightarrow \limits^{x^2 \ge 0} F(\,x^2 ) \le x^2 \,\,(2) }$

και ολοκληρώνοντας

$\displaystyle{ \int\limits_0^3 {F(\,x^2 )dx} < \int\limits_0^3 {x^2 dx = 9} \Rightarrow \int\limits_0^3 {F(\,x^2 )dx} < 9 }$

γ)Το σύστημα είναι ισοδύναμο με την λύση της εξίσωσης: F(F(F(x)))=x

.
Έστω

ρίζα της εξίσωσης αυτής , αν είναι $F(x)\neq x$ έχουμε π.χ.
$\displaystyle{ \bullet F(x) > x\,\,\mathop \Rightarrow \limits^{F \uparrow } F(F(x)) > F(x) > x \Rightarrow F(F(F(x))) > F(F(x)) > F(x) > x \Rightarrow x>x }$ που είναι αδύνατο.
Λόγω κυρτότητας έχουμε πως μοναδική λύση είναι η x=0

άρα τελικά x=y=z=0

M.S.Vovos · #32

Rempeskes έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε:
papamixalis έγραψε:ΆΣΚΗΣΗ 7

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[0,+\infty )\rightarrow \mathbb{R}$ με , για την οποία ισχύει $\displaystyle xf'(x)=f(x)+e^{\frac{f(x)}{x}}$ , για κάθε .

Α. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης .

Μιχάλη, για ξαναδές το ερώτημα 1. Σου έχει φύγει κάτι.

Φιλικά,
Μάριος

Σωστό είναι Μάριε.

Το έγραψε εν συντομία.

Διαίρεσε με $\displaystyle x^2$ , $\displaystyle \Rightarrow \frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}={e}^{\frac{f(x)}{x}}\cdot \frac{1}{x^2}$

μετά με ${e}^{\frac{f(x)}{x}}$ , $\displaystyle \Rightarrow \left[{e}^{-\frac{f(x)}{x}}\left(-\frac{f(x)}{x} \right)' \right]=-\frac{1}{x^2}$

$\displaystyle \Rightarrow \left({e}^{-\frac{f(x)}{x}} \right)'=\left(\frac{1}{x} \right)' \Rightarrow ....$

Κανείς δεν είπε ότι δεν έλυσε σωστά τη διαφορική. Αλλά, μήπως η συνάρτησης είναι δίκλαδη;

Φιλικά,
Μάριος

Rempeskes · #33

Γράφω χάριν πλουραλισμού άλλη μια αντιμετώπιση για την όμορφη άσκηση του κ. Μπάμπη.

α)Παρατηρούμε ότι $\displaystyle F(x)=ln{e}^{F(x)} \wedge lnf(x)=lnF'(x)$ οπότε $\displaystyle \Rightarrow ln{e}^{F(x)} +lnF'(x)=ln\left({e}^{F(x)}\cdot F'(x) \right)\Rightarrow ...$

β)Έστω συνάρτηση $\displaystyle g(x)=F(x^2)-2x \Rightarrow g'(x)=2\left(\frac{x-\sqrt{x^4 +1}}{\sqrt{x^4 +1}} \right)<0$

Άρα, για $\displaystyle x>0 \Rightarrow g(x)<g(0)=0 \Rightarrow \int_{0}^{3}g(x)dx<0 \Rightarrow ...$

γ)προφανής η $\displaystyle x=y=z=0$

Θεωρώντας οποιαδήποτε άλλη περίπτωση, οδηγούμαστε σε άτοπο (δεν το έχω γράψει στο χαρτί, αλλά βλέπω πως είναι ζόρικο με 3 αγνώστους)

M.S.Vovos έγραψε: Κανείς δεν είπε ότι δεν έλυσε σωστά τη διαφορική. Αλλά, μήπως η συνάρτησης είναι δίκλαδη;

Φιλικά,
Μάριος

Νόμιζα πως έλεγες για την διαφορική...

Συμπληρώνω τον Μιχάλη λοιπόν,

Η

συνεχής στο $\displaystyle\left[0,+\infty \right)$ οπότε $\displaystyle f(0)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{lnx}{\frac{1}{x}}=0$

Άρα, $\displaystyle f(x)=\begin{cases} & x\cdot lnx ,\text{ if } x>0 \\ & 0 ,\text{ if } x=0 \end{cases}$

Kostas Tzimoulias · #34

ΑΣΚΗΣΗ 13

(δεν πρόκειται για ολόκληρο θέμα αλλά μου φαίνεται δύσκολο ερώτημα)

Δίνεται συνεχής συνάρτηση $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ . Να αποδείξετε ότι υπάρχουν $x_1,x_2 \in (0,1)$ με x_1<x_2

τέτοια ώστε:

$f(x_2)=\dfrac{(1-x_1)f(x_1)}{x_1}$

#35

Kostas Tzimoulias έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 13

(δεν πρόκειται για ολόκληρο θέμα αλλά μου φαίνεται δύσκολη ερώτημα)

Δίνεται συνεχής συνάρτηση $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ . Να αποδείξετε ότι υπάρχουν $x_1,x_2 \in (0,1)$ με τέτοια ώστε:

$f(x_2)=\dfrac{(1-x_1)f(x_1)}{x_1}$

Καλησπέρα! Είναι εύκολο να διαπιστώσουμε πως όταν $\displaystyle{0 < x < \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} < 1 - x < 1}$ .
Αυτό μας ωθεί στο να θεωρήσουμε τη συνάρτηση με τύπο $\displaystyle{g(x) = xf\left( {1 - x} \right) - (1 - x)f(x),x \in [0,1]}$
Επιλέγω ένα τυχαίο $\displaystyle{0 < {x_1} < \frac{1}{2}}$

Τότε $\displaystyle{g({x_1}) = {x_1}f(1 - {x_1}) - \left( {1 - {x_1}} \right)f({x_1})}$

και

$\displaystyle{g(1 - {x_1}) = \left( {1 - {x_1}} \right)f({x_1}) - {x_1}f(1 - {x_1}) = - g({x_1})}$

Επομένως $\displaystyle{g(1 - {x_1})g({x_1}) \le 0}$ οπότε:

Αν $\displaystyle{g({x_1}) = 0}$ το x_1

είναι το επιθυμητό σημείο μαζί με το x_2=1-x_1

ενώ

αν $\displaystyle{g(1 - {x_1}) = 0}$ καταλήγουμε παρόμοια ενώ

αν $\displaystyle{g({x_1})g(1 - {x_1}) < 0}$ ο Bolzano θα δώσει και πάλι τη λύση στο πρόβλημα μας.

( To ξ του θεωρήματος ή θα ανήκει στο $\displaystyle{\left( {0,\frac{1}{2}} \right)}$ ή στο $\displaystyle{\left( {\frac{1}{2},1} \right)}$ ή θα είναι το $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ οπότε σε κάθε περίπτωση είμαστε εντάξει.)

papamixalis · #36

Rempeskes έγραψε:Γράφω χάριν πλουραλισμού άλλη μια αντιμετώπιση για την όμορφη άσκηση του κ. Μπάμπη.

α)Παρατηρούμε ότι $\displaystyle F(x)=ln{e}^{F(x)} \wedge lnf(x)=lnF'(x)$ οπότε $\displaystyle \Rightarrow ln{e}^{F(x)} +lnF'(x)=ln\left({e}^{F(x)}\cdot F'(x) \right)\Rightarrow ...$

β)Έστω συνάρτηση $\displaystyle g(x)=F(x^2)-2x \Rightarrow g'(x)=2\left(\frac{x-\sqrt{x^4 +1}}{\sqrt{x^4 +1}} \right)<0$

Άρα, για $\displaystyle x>0 \Rightarrow g(x)<g(0)=0 \Rightarrow \int_{0}^{3}g(x)dx<0 \Rightarrow ...$

γ)προφανής η $\displaystyle x=y=z=0$

Θεωρώντας οποιαδήποτε άλλη περίπτωση, οδηγούμαστε σε άτοπο (δεν το έχω γράψει στο χαρτί, αλλά βλέπω πως είναι ζόρικο με 3 αγνώστους)

M.S.Vovos έγραψε: Κανείς δεν είπε ότι δεν έλυσε σωστά τη διαφορική. Αλλά, μήπως η συνάρτησης είναι δίκλαδη;

Φιλικά,
Μάριος
Νόμιζα πως έλεγες για την διαφορική...

Συμπληρώνω τον Μιχάλη λοιπόν,

Η συνεχής στο $\displaystyle\left[0,+\infty \right)$ οπότε $\displaystyle f(0)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{lnx}{\frac{1}{x}}=0$

Άρα, $\displaystyle f(x)=\begin{cases} & x\cdot lnx ,\text{ if } x>0 \\ & 0 ,\text{ if } x=0 \end{cases}$

Η αλήθεια είναι ότι με παραξένεψε λίγο που έκλεινε στο

αλλά το... αγνόησα

Ευχαριστώ Σωτήρη.

Λάμπρος Μπαλός · #37

maiksoul έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 11 Μια προσωπική κατασκευή

Έστω συναρτήσεις $f,g,h:R\rightarrow R$ συνεχείς, με και ισχύουν:

$\displaystyle{ \, \bullet \,\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,\frac{{\,f(\,x\,)\,\, - \,\,g(\,x\,)}}{x} = \,1\,\,\,\,\, }$

$\displaystyle{ \bullet \,\,\,\,\,f^{\,2\,} (\,x\,) + 6\,x\,f(x) - e^{x^{\,2} \, - \,\,x} \,\, = \,\,3 - 9x^2 \, }\;\;\;\; \displaystyle{ {\,\forall x \in \Re } }$

ενώ η συνάρτηση δίνεται από τον τύπο :
$\displaystyle{ \,h\,(\,x\,) = \int\limits_1^x {[\,f(t) + 3t\,]\,dt + 2x\,\,,\,\,\,\,x \in \Re } }$
Να δείξετε ότι:
Ι)

II)η είναι

III)η εξίσωση: $\displaystyle{ h\,[\,h\,(\,x^3 + 3x\,) - h\,(\,x^3 + \sqrt {e^{x^{\,2} \, - \,\,x} + 3\,} \,)\, + 1\,]\,\, = \,\,2\,\, }$

έχει ρίζα στο διάστημα

i) Θεωρώ αρχικά συνάρτηση $k(x)= \frac{f(x)-g(x)}{x}$ , για την οποία γνωρίζω ότι $lim_{x \rightarrow 0} k(x)=1$ . Επομένως

$f(x)-g(x)=xk(x) \Leftrightarrow f(x)=xk(x)+g(x) \Rightarrow$

$\Rightarrow lim_{x \rightarrow 0}f(x)= lim_{x \rightarrow 0} (xk(x)+g(x) \Leftrightarrow f(0)=g(0)>0$ , αφού οι συναρτήσεις. f,g

είναι συνεχείς.

Στη δεύτερη σχέση τώρα για x=0

→ $f^{2}(0)-1=3 \Leftrightarrow f^{2}(0)=4 \Leftrightarrow f(0)=2$ , αφού f(0)>0

.

ii) Επίσης : $f^{2}(x)+6xf(x)+9x^{2} = e^{x^{2}-x}+3 \Leftrightarrow (f(x)+3x)^{2}=e^{x^{2}-x}+3 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow |f(x)+3x|= \sqrt{e^{x^{2}-x}+3}$ (★)

Η συνάρτηση f(x)+3x

είναι μη μηδενιζόμενη καθώς, αν υπήρχε ρίζα

, τότε η σχέση (★) για x=a

καταλήγει σε άτοπο ( $e^{a^{2}-a}+3=0$ )

Αφού επιπλέον είναι συνεχής συνάρτηση, θα διατηρεί πρόσημο στο

και καθώς

θα είναι

, $\forall x \in R$

(★) $\Rightarrow f(x)+3x= \sqrt{e^{x^{2}-x}+3} >0$

Για την h(x)

. Θεωρώ $x_{1},x_{2} \in R$ τέτοια, ώστε $h(x_{1})=h(x_{2}) \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \int_{1}^{x_{1}} (f(t)+3t)dt +2x_{1} = \int_{1}^{x_{2}} (f(t)+3t) dt +2x_{2} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 2x_{1}-2x_{2}=\int_{1}^{x_{2}} (f(t)+3t)dt - \int_{1}^{x_{1}} (f(t)+3t)dt \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 2(x_{1}-x_{2})= \int_{x_{1}}^{x_{2}} (f(t)+3t)dt$ (★★)

→ αν $x_{1}< x_{2}$ , τότε το α' μέλος της ★★ είναι αρνητικό ενώ το β' μέλος θετικό, αφού η συνάρτηση στο ολοκλήρωμα είναι θετική.
→ αν $x_{1}>x_{2}$ , τότε ομοίως η σχέση ★★ καταλήγει σε άτοπο αφού τα μέλη της είναι ετερόσημα.
Αναγκαστικά $x_{1}=x_{2}$ και η συνάρτηση h(x)

είναι

.

iii) Αρχικά $h(1)= \int_{1}^{1} (f(t)+3t)dt +2=0+2=2$

Η ζητούμενη εξίσωση ισοδύναμα γίνεται :

$h[h(x^{3}+3x)-h(x^{3}+ \sqrt{e^{x^{2}-x}+3})+1]=h(1) \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow h(x^{3}+3x)-h(x^{3}+ \sqrt{e^{x^{2}-x}+3})+1=1 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow h(x^{3}+3x)=h(x^{3}+ \sqrt{e^{x^{2}-x}+3}) \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x^{3}+3x=x^{3}+ \sqrt{e^{x^{2}-x}+3} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 3x= \sqrt{e^{x^{2}-x}+3} \Leftrightarrow 3x- \sqrt{e^{x^{2}-x}+3}=0$

Θεωρώ τη συνάρτηση $m(x)= 3x- \sqrt{e^{x^{2}-x}+3}$ , η οποία είναι συνεχής στο [0,1]

και για την οποία θέλω να αποδείξω ότι έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (0,1)

.

και

Συμφωνα με το Θεώρημα Bolzano

η συνάρτηση m(x)

θα έχει πράγματι μία τουλάχιστον ρίζα στο (0,1)

.

Λάμπρος Μπαλός · #38

ΑΣΚΗΣΗ 14 (μία προσωπική κατασκευή)

Εστω συνάρτηση $f:[0, + \infty) \rightarrow R$ γνησίως αύξουσα και κοίλη στο $[0, + \infty)$ , με f(0)=0

.

Εστω επίσης η συνάρτηση $g(x)= \frac{x}{ \sqrt{f(x)}}$ , με $A_{g}= { x \in A_{f} / f(x) \neq 0}$ και $g(A_{g})=(0,+ \infty)$ .

Α) Να βρείτε το $A_{g}$ και να αποδείξετε ότι η

είναι γνησίως αύξουσα στο $A_{g}$ .

Β) Να λυθεί η εξίσωση $x^{2}f(x)=f(x^{2})$ στο $[0, + \infty)$

Γ) Να δείξετε ότι $\int_{1}^{2} (2x^{7}-x^{2})f(x)dx > \int_{1}^{2} (2x^{5}-1)f(x^{2})dx > \int_{2}^{4} f(x^{2}) dx$

Δ) Να δείξετε ότι $lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}} = + \infty$

Ε) Αν επιπλέον ισχύει $2f(x^{2})f'(x)=f(x)$ , για κάθε x>0

, να δείξετε ότι η

δεν είναι παραγωγίσιμη στο

.

Tolaso J Kos · #39

Λάμπρο αν μου επιτρέπεις μία δύσκολη αλλά διαχρονική.

Άσκηση 15

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ μία παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει f(0)=1

και $f(-x) f'(x)=x , \;\; \forall x \in \mathbb{R}$ . Να δείξετε ότι $f(x)>0, \;\; \forall x \in \mathbb{R}$ και ότι η

παρουσιάζει ελάχιστο το οποίο να προσδιορίσετε.

maiksoul · #40

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 14 (μία προσωπική κατασκευή)

Εστω συνάρτηση $f:[0, + \infty) \rightarrow R$ γνησίως αύξουσα και κοίλη στο $[0, + \infty)$ , με .

Εστω επίσης η συνάρτηση $g(x)= \frac{x}{ \sqrt{f(x)}}$ , με $A_{g}= { x \in A_{f} / f(x) \neq 0}$ και $g(A_{g})=(0,+ \infty)$ .

Α) Να βρείτε το $A_{g}$ και να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο $A_{g}$ .

Β) Να λυθεί η εξίσωση $x^{2}f(x)=f(x^{2})$ στο $[0, + \infty)$

Μια απάντηση.

A) Η

ορίζεται όταν $\displaystyle{ {f(x) > 0 = f(0) \Leftrightarrow x > 0} }$ (λόγω μονοτονίας της

) δηλαδή $\displaystyle{ \,A_g \, = (\,0\,,\,\, + \,\,\infty \,) }$

Η παραγωγίσιμη

είναι γνησίως αύξουσα, άρα $\displaystyle{ \,\,f'(x) \ge 0\,\,\,\,\,\forall x > 0\,\, }$ οπότε ικανοποιεί το ΘΜΤ στο [0,x]

με

και ισχύει:

$\displaystyle{ f'(\xi ) = \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \frac{{f(x)}}{x}\,\, \Leftrightarrow f(x) = x\,f'(\xi )\,\,\,\,\,\,\,(1) }$ για κάποιον $\displaystyle{ \xi \in (0,x)\, }$
Είναι:
$\displaystyle{ \,\,0 < \xi < x\mathop \Rightarrow \limits^{f' \downarrow } f'(\xi ) > f'(x) \Rightarrow \,\,\,\,f'(\xi ) - f'(x) > 0\,\,\,\,\,(2) }$

Για x>0

έχουμε:
$\displaystyle{ g'(x) = \frac{{2f(x) - xf'(x)}}{{2f(x)\sqrt {f(x)} }}\mathop = \limits_{x > 0}^{(1)} \frac{{x[2f'(\xi ) - f'(x)]}}{{2f(x)\sqrt {f(x)} }} = \frac{{x[f'(\xi ) + f'(\xi ) - f'(x)]}}{{2f(x)\sqrt {f(x)} }}\mathop {\, > \,}\limits^{(2)} 0 }$
άρα η

είναι γνησίως αύξουσα .

B)Το x=0

είναι μια ρίζα της εξίσωσης .Για x>0

η εξίσωση γράφεται:

$\displaystyle{ \sqrt {x^2 f(x)} = \sqrt {f(x^2 )} \Leftrightarrow x\sqrt {f(x)} = \sqrt {f(x^2 )} \, \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {f(x^2 )} }} = \frac{1}{{\sqrt {f(x)} }} \Leftrightarrow \frac{{x^2 }}{{\sqrt {f(x^2 )} }} = \frac{x}{{\sqrt {f(x)} }} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ g(x^2 ) = g(x)\mathop \Leftrightarrow \limits^{g \uparrow } x^2 = x\mathop \Leftrightarrow \limits^{x > 0} x = 1 }$

Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Re: Για τους μαθητές της Γ Λυκείου

Μέλη σε σύνδεση