Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

STOPJOHN · #21

dimplak έγραψε:
dimplak έγραψε:2.

$4 x^2 - 7x + 3 = (x+1) \sqrt{2x^2 + 4x - 3}$
Πρέπει $2x^2 + 4x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \in [ - 1 - \frac{\sqrt{10}}{2} , - 1 + \frac{\sqrt{10}}{2} ]$ .

Για η εξίσωση δεν αληθεύει , άρα για $x \ne - 1$ έχουμε:

$\frac{4 x^2 - 7x + 3}{x+1} = \sqrt{2x^2 + 4x - 3} \Leftrightarrow$

$\frac{4 x^2 - 7x + 3}{x+1}-(ax+b) = \sqrt{2x^2 + 4x - 3}-(ax+b) \Leftrightarrow$

$\frac{4 x^2 - 7x + 3 - (ax + b)(x+1)}{x+1} = \frac{2x^2 + 4x - 3 - (ax+b)^2}{\sqrt{2x^2 + 4x - 3} + (ax+b)} \Leftrightarrow$

$\frac{(4 -a)x^2 + (-7 -a - b)x + (3-b)}{x+1} = \frac{(2 - a^2)x^2 + (4 - 2ab)x + (-3 - b^2)}{\sqrt{2x^2 + 4x - 3} + (ax+b)}$ .

Θέτουμε: $\frac{4 - a}{2 - a^2} = \frac{-7 - a - b}{4 - 2ab} = \frac{3 - b}{-3 - b^2} = k$ και προκύπτει το σύστημα

$\begin{cases} ka^2 - a + 4 - 2k = 0 \\ 7 + a + b = k(2ab - 4) \\ kb^2 - b + 3 + 3k = 0 \end{cases}$ με λύσεις .

Τότε $(1) \Leftrightarrow \frac{2x^2 - 8x +4}{x+1} = \frac{-2x^2 + 8x - 4}{\sqrt{2x^2 + 4x - 3} +2x - 1} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \frac{-2x^2 + 8x - 4}{-x -1} = \frac{-2x^2 + 8x - 4}{\sqrt{2x^2 + 4x - 3} +2x - 1} \Leftrightarrow$

$\begin{cases} -2x^2 + 8x - 4 = 0 \\ \sqrt{2x^2 + 4x - 3} +2x - 1 = -1 -x \end{cases} \Leftrightarrow$

$\begin{cases} x = 2 \pm \sqrt{2} \\ 7x^2 - 4x + 3 = 0 (x \le 0) \end{cases} \Leftrightarrow x = 2 \pm \sqrt{2}$ .

Επειδή πρέπει $x \in [ - 1 - \frac{\sqrt{10}}{2} , - 1 + \frac{\sqrt{10}}{2} ]$ , δεκτή είναι μόνο η λύση $x = 2 - \sqrt{2}$ .

Καλημέρα Δημήτρη
Γιατί αφαίρεσες και από τα δυο μέλη της εξίσωσης το ax+b

; και όχι κάτι άλλο ποιά είναι η ιδέα αυτής της σκέψης ;

Γιάννης

dimplak · #22

Γιάννη καλημέρα!

Καταρχήν διόρθωσα τους περιορισμούς και είναι δεκτή μόνο η λύση $x = 2 - \sqrt{2}$ .

Το έκανα αυτό για να καταλήξω σε ισοδύναμα κλάσματα και μετά να πάρω ισότητα αριθμητών και παρανομαστών!

Συγκεκριμένα, αφαίρεσα το ax + b

για να δημιουργήσω στους αριθμητές αργότερα πολυώνυμα 2ου βαθμού.

Την ίδια μέθοδο χρησιμοποιούμε και εμείς στη Γ Λυκείου , στα όρια στο άπειρο με ριζικά!

Η μέθοδος αυτή διδάσκεται στο Βιετνάμ!

Φιλικά,

Δημήτρης

dimplak · #23

dimplak · #24

dimplak · #25

dimplak · #26

dimplak · #27

10.

$\sqrt{x^2 - 2} + 2 = x + \sqrt{2x - 2}$

STOPJOHN · #28

dimplak έγραψε:Γιάννη καλημέρα!

Καταρχήν διόρθωσα τους περιορισμούς και είναι δεκτή μόνο η λύση $x = 2 - \sqrt{2}$ .

Το έκανα αυτό για να καταλήξω σε ισοδύναμα κλάσματα και μετά να πάρω ισότητα αριθμητών και παρανομαστών!

Συγκεκριμένα, αφαίρεσα το για να δημιουργήσω στους αριθμητές αργότερα πολυώνυμα 2ου βαθμού.

Την ίδια μέθοδο χρησιμοποιούμε και εμείς στη Γ Λυκείου , στα όρια στο άπειρο με ριζικά!

Η μέθοδος αυτή διδάσκεται στο Βιετνάμ!

Φιλικά,

Δημήτρης

Δημήτρη ,μάλλον κάτι μου διαφεύγει ,σε ποιά ασκηση του σχολικού βιβλίου χρησιμοποιείται ; και κάποιος σύνδεσμο από το Βιετνάμ θα μας διαφωτίσει

Γιάννης

dimplak · #29

Γιάννη,

Βρίσκεις κάποιο λάθος στην άσκηση ή απλά δεν καταλαβαίνεις τη μέθοδο?

Αν συμβαίνει μόνο το δεύτερο , κι εγώ απλά την υιοθέτησα και τη δημοσίευσα να τη μοιραστώ μαζί σας!

Η λογική της μεθόδου είναι να δημιουργήσεις στους αριθμητές πολυώνυμα ίδιου βαθμού με ανάλογους συντελεστές!

Παρόμοια λογική έχουμε και στα όρια στο άπειρο με ριζικά:

$lim_{x \rightarrow + \infty} (\sqrt{x^2 + 3x - 5} + \sqrt{4x^2 - x} - \sqrt{9x^2 + 1})$ .

Προσθέτουμε ή αφαιρούμε στα ριζικά κατάλληλους παράγοντες πρώτου βαθμού και μετά πολλαπλασιάζουμε με το συζυγή ώστε να φύγουν τα

ριζικά με διαφορά τετραγώνου!

Ελπίζω να μη σε μπέρδεψα! Ασκήσεις βρίσκω τυχαία μέσα σε ξένα φόρουμ!

Δημήτρης

STOPJOHN · #30

Ευχαριστώ

Γιάννης

hlkampel · #31

dimplak έγραψε:

$\sqrt{x^2 + 2x} + \sqrt{2x+1} = x +1$

Πρέπει: ${x^2} + 2x \ge 0 \Leftrightarrow x \le - 2\;\dot \eta \;x \ge 0$ και $2x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - \dfrac{1}{2}$

και $x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - 1$

Άρα πρέπει $x \ge 0$

Αν x = 0

η εξίσωση επαληθεύεται.

Αν x > 0

η εξίσωση γίνεται ισοδύναμα:

$\sqrt {{x^2} + 2x} - x + \sqrt {2x + 1} - 1 = 0 \Leftrightarrow$

$\dfrac{{{x^2} + 2x - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 2x} + x}} + \dfrac{{2x + 1 - 1}}{{\sqrt {2x + 1} + 1}} = 0 \Leftrightarrow$

$2x\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 2x} + x}} + \dfrac{1}{{\sqrt {2x + 1} + 1}}} \right) = 0 \Leftrightarrow$

x = 0

απορρίπτεται ή $\dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 2x} + x}} + \dfrac{1}{{\sqrt {2x + 1} + 1}} = 0$ η οποία είναι αδύνατη ως άθροισμα θετικών αριθμών.

Τελικά η μοναδική λύση της εξίσωσης είναι η x = 0

Edit: Έγινε μικρή διόρθωσης της λύσης επειδή υπήρχε περίπτωση μηδενισμού παρονομαστή που μου είχε διαφύγει.

Ιστοσελίδα · #32

dimplak έγραψε:7.

$\sqrt{x^3 + x^2 + 1} + \sqrt{x^2 + 2} = x^2 + x + 1$

Έστω

λύση της εξίσωσης.

Θέτουμε $\sqrt{x^3 + x^2 + 1}=a \Rightarrow x^3 + x^2 + 1=a^2 \; (1)$ και

$\sqrt{x^2 + 2}=b \Rightarrow x^2+2=b^2 \; (2)$

Είναι a+b= x^2 + x + 1>0

Αφαιρούμε κατά μέλη τις (1) , (2)

:
$x^3 + x^2 + 1-x^2-2=a^2-b^2 \Rightarrow (x-1)(x^2+x+1)=(a+b)(a-b) \Rightarrow$

$(x-1)(a+b)=(a+b)(a-b) \Rightarrow x-1=a-b \Rightarrow x=a-b+1 \; (3)$

Είναι: $x^3 + x^2 + 1=a^2 \Rightarrow x^3 + x^2+x + 1=a^2+x \Rightarrow x(x^2+x+1)+1=a^2+x \Rightarrow$

$x(a+b)+1=a^2+x \Rightarrow (a+b-1)x=a^2-1 \Rightarrow x=\dfrac{a^2-1}{a+b-1}\; (4) \quad a+b-1>0$

Από (3) , (4)

έχουμε: $a-b+1=\dfrac{a^2-1}{a+b-1} \Rightarrow (a-b+1)(a+b-1)=a^2-1 \Rightarrow$

$a^2-(b-1)^2=a^2-1 \Rightarrow (b-1)^2=1 \Rightarrow b-1=1$ ή $b-1=-1 \Rightarrow$

b=2

ή

(απορρίπτεται)

Άρα $x^2+2=4 \Rightarrow x=\pm\sqrt{2}$ .

Με έλεγχο στην αρχική εξίσωση βρίσκουμε ότι η λύση είναι η $x=\sqrt{2}.$

#33

dimplak έγραψε:

$\sqrt{x^2 + 2x} + \sqrt{2x+1} = x +1$

Αλλιώς. Για $\displaystyle{x \geqslant 0}$ , η εξίσωση γράφεται: $\displaystyle{\sqrt {{{(x + 1)}^2} - 1} + \sqrt {2(x + 1) - 1} = x + 1}$

Θέτω $x+1=a, a\geqslant 1$ , $\displaystyle{\sqrt {{a^2} - 1} + \sqrt {2a - 1} = a \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} - 1} = a - \sqrt {2a - 1} }$ και αν υψώσουμε στο τετράγωνο

$\displaystyle{2a = 2a\sqrt {2a - 1} \mathop \Leftrightarrow \limits^{a \geqslant 1} \sqrt {2a - 1} = 1 \Leftrightarrow a = 1,}$ οπότε $\boxed{x=0}$

#34

dimplak έγραψε:10.

$\sqrt{x^2 - 2} + 2 = x + \sqrt{2x - 2}$

Για $\displaystyle{x \geqslant \sqrt 2 }$ η εξίσωση γράφεται: $\displaystyle{\sqrt {(x - 2)(x + 2) + 2} = (x - 2) + \sqrt {2(x - 2) + 2} }$ και για $\boxed{x-2=a}$

$\displaystyle{\sqrt {{a^2} + 4a + 2} = a + \sqrt {2a + 2} \Leftrightarrow 2a = 2a\sqrt {2a + 2} \Leftrightarrow a = 0 \vee \left[ {\sqrt {2a + 2} = 1 \Leftrightarrow a = - \frac{1}{2}} \right]}$

Και οι δύο ρίζες είναι δεκτές, άρα $\boxed{x=2}$ ή $\boxed{x = \frac{3}{2}}$

dimplak · #35

11.

$\sqrt{x^2 - 3 \sqrt{2} x + 9} + \sqrt{x^2 - 4 \sqrt{2} x + 16} =5$

Σταμ. Γλάρος · #36

dimplak έγραψε:8.

$\sqrt{x + 8 \sqrt{x}} + \sqrt{x + 7 \sqrt{x} + 1} = \sqrt[4]{x} + 1$ (1)

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...
Κατ΄αρχάς πρέπει $x\geq 0.$
i) Για x=0

η (1) ισχύει.
ii) Για x>0

θα αποδείξουμε ότι:

$\sqrt{x + 8 \sqrt{x}} + \sqrt{x + 7 \sqrt{x} + 1} > \sqrt[4]{x} + 1$ $\Leftrightarrow$

$x+8\sqrt{x}+x+7\sqrt{x}+1+2\sqrt{(x+8\sqrt{x})(x+7\sqrt{x}+1)}>\sqrt{x}+2\sqrt[4]{x}+1$ $\Leftrightarrow$

$x+7\sqrt{x}+\sqrt{(x+8\sqrt{x})(x+7\sqrt{x}+1)}>\sqrt[4]{x}.$

Αρκεί να δείξουμε ότι: $x^2+49x+(x+8\sqrt{x})(x+7\sqrt{x}+1)>\sqrt{x}$ $\Leftrightarrow$

$x^2+53x+7\sqrt{x}>0.$ Ισχύει.

Άρα μοναδική λύση η x=0.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Σταμ. Γλάρος · #37

dimplak έγραψε:11.

$\sqrt{x^2 - 3 \sqrt{2} x + 9} + \sqrt{x^2 - 4 \sqrt{2} x + 16} =5$

Καλησπέρα. Μια απάντηση ...παραδοσιακά.
Και τα 2 τριώνυμα έχουν αρνητικές διακρίνουσες. Συνεπώς δεν έχουμε περιορισμούς.
Είναι : $\sqrt{x^2 - 3 \sqrt{2} x + 9} + \sqrt{x^2 - 4 \sqrt{2} x + 16} =5$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $\sqrt{x^2 - 4 \sqrt{2} x + 16} =5-\sqrt{x^2 - 3 \sqrt{2} x + 9} .$ (1)

Υψώνουμε στο τετράγωνο, παρακάπτοντας τους περιορισμούς και έχουμε μετά πράξεις (όχι πολλές...)

(1) $\Leftrightarrow$ $49x^2-168\sqrt{2} x +288 = 0 .$

H τελευταία έχει διακρίνουσα ίση με το μηδέν , οπότε μοναδική ρίζα η $x=\dfrac{12\sqrt{2}}{7},$ η
οποία επαληθεύει την αρχική.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Ιστοσελίδα · #38

dimplak έγραψε:11.

$\sqrt{x^2 - 3 \sqrt{2} x + 9} + \sqrt{x^2 - 4 \sqrt{2} x + 16} =5$

Όπως και σε προηγούμενη εξίσωση.
Έστω

ρίζα της εξίσωσης. Θέτουμε

$\sqrt{x^2-3 \sqrt{2} x+9}=a \Rightarrow x^2-3 \sqrt{2} x+9=a^2 \; (1)$ και

$\sqrt{x^2-4 \sqrt{2} x+16}=b \Rightarrow x^2-4 \sqrt{2} x+16=b^2 \; (2)$

Είναι $a+b=5 \; (3)$

Αφαιρούμε κατά μέλη τις (1) , (2):

$x^2-3 \sqrt{2} x+9-x^2+4 \sqrt{2} x-16=(a+b)(a-b) \Rightarrow$

$\sqrt{2}x-7=5(a-b) \Rightarrow a-b=\dfrac{\sqrt{2}x-7}{5} \; (4)$

Προσθέτουμε τις (3) , (4):

$2a=\dfrac{\sqrt{2}x+18}{5} \Rightarrow a=\dfrac{\sqrt{2}x+18}{10}$

Αντικαθιστούμε στην (1):

$x^2-3 \sqrt{2} x+9=\dfrac{2x^2+36\sqrt{2}x+324}{100} \Rightarrow$
$49x^2-16\sqrt{2}x+288=0 \Rightarrow \left(7x-12\sqrt{2}\right)^2=0 \Rightarrow x=\dfrac{12\sqrt{2}}{7}$

η οποία είναι δεκτή μετά από επαλήθευση στην αρχική εξίσωση.

dimplak · #39

stranton έγραψε:
dimplak έγραψε:11.

$\sqrt{x^2 - 3 \sqrt{2} x + 9} + \sqrt{x^2 - 4 \sqrt{2} x + 16} =5$
Όπως και σε προηγούμενη εξίσωση.
Έστω ρίζα της εξίσωσης. Θέτουμε

$\sqrt{x^2-3 \sqrt{2} x+9}=a \Rightarrow x^2-3 \sqrt{2} x+9=a^2 \; (1)$ και

$\sqrt{x^2-4 \sqrt{2} x+16}=b \Rightarrow x^2-4 \sqrt{2} x+16=b^2 \; (2)$

Είναι $a+b=5 \; (3)$

Αφαιρούμε κατά μέλη τις $x^2-3 \sqrt{2} x+9-x^2+4 \sqrt{2} x-16=(a+b)(a-b) \Rightarrow$

$\sqrt{2}x-7=5(a-b) \Rightarrow a-b=\dfrac{\sqrt{2}x-7}{5} \; (4)$

Προσθέτουμε τις $2a=\dfrac{\sqrt{2}x+18}{5} \Rightarrow a=\dfrac{\sqrt{2}x+18}{10}$

Αντικαθιστούμε στην $x^2-3 \sqrt{2} x+9=\dfrac{2x^2+36\sqrt{2}x+324}{100} \Rightarrow$
$49x^2-16\sqrt{2}x+288=0 \Rightarrow \left(7x-12\sqrt{2}\right)^2=0 \Rightarrow x=\dfrac{12\sqrt{2}}{7}$

η οποία είναι δεκτή μετά από επαλήθευση στην αρχική εξίσωση.

Καλημέρα κ. Αντωνέα και κ. Γλάρο!

Κι εγώ με παρόμοιο τρόπο την έλυσα , καθαρά αλγεβρικά!

Κυρίως όμως την πρότεινα γιατί ο συγγραφέας της προτείνει και έναν γεωμετρικό τρόπο! Συγκεκριμένα θεωρεί ορθογώνιο τρίγωνο

με κάθετες πλευρές με μήκη 3 και 4 αντίστοιχα. Ο άγνωστος τότε χ είναι η διχοτόμος της ορθής γωνίας!

Φιλικά,

Δημήτρης

STOPJOHN · #40

dimplak έγραψε:
stranton έγραψε:
dimplak έγραψε:11.

$\sqrt{x^2 - 3 \sqrt{2} x + 9} + \sqrt{x^2 - 4 \sqrt{2} x + 16} =5$
Όπως και σε προηγούμενη εξίσωση.
Έστω ρίζα της εξίσωσης. Θέτουμε

$\sqrt{x^2-3 \sqrt{2} x+9}=a \Rightarrow x^2-3 \sqrt{2} x+9=a^2 \; (1)$ και

$\sqrt{x^2-4 \sqrt{2} x+16}=b \Rightarrow x^2-4 \sqrt{2} x+16=b^2 \; (2)$

Είναι $a+b=5 \; (3)$

Αφαιρούμε κατά μέλη τις $x^2-3 \sqrt{2} x+9-x^2+4 \sqrt{2} x-16=(a+b)(a-b) \Rightarrow$

$\sqrt{2}x-7=5(a-b) \Rightarrow a-b=\dfrac{\sqrt{2}x-7}{5} \; (4)$

Προσθέτουμε τις $2a=\dfrac{\sqrt{2}x+18}{5} \Rightarrow a=\dfrac{\sqrt{2}x+18}{10}$

Αντικαθιστούμε στην $x^2-3 \sqrt{2} x+9=\dfrac{2x^2+36\sqrt{2}x+324}{100} \Rightarrow$
$49x^2-16\sqrt{2}x+288=0 \Rightarrow \left(7x-12\sqrt{2}\right)^2=0 \Rightarrow x=\dfrac{12\sqrt{2}}{7}$

η οποία είναι δεκτή μετά από επαλήθευση στην αρχική εξίσωση.
Καλημέρα κ. Αντωνέα και κ. Γλάρο!

Κι εγώ με παρόμοιο τρόπο την έλυσα , καθαρά αλγεβρικά!

Κυρίως όμως την πρότεινα γιατί ο συγγραφέας της προτείνει και έναν γεωμετρικό τρόπο! Συγκεκριμένα θεωρεί ορθογώνιο τρίγωνο

με κάθετες πλευρές με μήκη 3 και 4 αντίστοιχα. Ο άγνωστος τότε χ είναι η διχοτόμος της ορθής γωνίας!

Φιλικά,

Δημήτρης

Kαλημέρα Δημήτρη και καλημέρα σε όλους
Το τελευταίο σχόλιο είναι εντυπωσιακό και θα το μελετήσω πιστεύω να αρέσει σε αρκετά μέλη του φόρουμ

Φιλικά και ΘΡΥΛικά
Γιάννης

Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση