Σχετική θέση δυο κύκλων

#21

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Τετ Νοέμ 11, 2020 7:58 pm
Για να αποδείξουμε, όμως, ότι είναι δυνατή η τοποθέτηση των στο επίπεδο, έτσι ώστε πρέπει να δεχτούμε ότι όπως μεταβάλλεται η γωνία , το μήκος του διατρέχει το διάστημα , δηλαδή μπορεί να γίνει ίσο με οποιαδήποτε τιμή του στο διάστημα

Το ερώτημά μου είναι: Καλύπτεται στην Ευκλείδεια Γεωμετρία αυτό το σημείο (με έντονο μπλε χρώμα);
Θα χαρώ να δω τις απαντήσεις σας.

Καλημέρα σε όλους. Το ερώτημά μου έμεινε αναπάντητο, ή έστω ασχολίαστο. Εικάζω, χάθηκε στη δίνη της πανδημίας (τις μέρες εκείνες φούντωνε στη Βόρεια Ελλάδα).

Το ενισχύω με την παρουσίαση της απόδειξης των Παπαμιχαήλ, Σκιαδά στη Θεωρητική Γεωμετρία A΄ Λυκείου ΟΕΔΒ, (1986), στις σελίδες 123-124.

: Παπαμιχαήλ, Σκιαδάς.jpg (116.52 KiB) Προβλήθηκε 1124 φορές

Δείτε, στη σημείωσή τους αναφέρουν ότι αποδέχονται αξιωματικά ότι κάθε τόξο που συνδέει δύο σημεία εντός κι εκτός κύκλου τον τέμνουν σε μοναδικό σημείο, όπως αναφέρει ο Γιάννης παραπάνω:

Επίσης το βιβλίο “Θεωρητική Γεωμετρία” των Δ. Παπαμιχαήλ και Α. Σκιαδά (διδάχθηκε στα σχολεία την περίοδο 1977-1989 και το ανέφερε παραπάνω ο Τηλέμαχος), στο οποίο χρησιμοποιείται μια ηπιότερη εκδοχή των αξιωμάτων του Hilbert, το κρίσιμο αξίωμα εμφανίζεται στη διάρκεια της απόδειξης ως υποσημείωση!

Αναρτώ επίσης την προσέγγιση του Παπανικολάου, με απαγωγή σε άτοπο.

: Παπανικολάου.jpg (88.18 KiB) Προβλήθηκε 1124 φορές

Παπανικολάου Χρ. - Γ΄ Δ΄ Ε΄ ΣΤ΄ Γυμνασίου Θεωρητικής ΟΕΔΒ 1975

Ομοίως, με απαγωγή σε άτοπο, τα αντιμετωπίζει ο Ν. Νικολάου στις Γεωμετρίες του (1939, και Θεωρητική Γεωμετρία 1970).

: Νικολάου 1939 (2).jpg (110.64 KiB) Προβλήθηκε 1124 φορές

: Νικολάου 1939.jpg (50.5 KiB) Προβλήθηκε 1124 φορές

Ν. Νικολάου, Στοιχειώδης Γεωμετρία 1939

Ανδρέας Πούλος · #22

Διάβασα κι εγώ (αν και μπαίνω αραιά στο Φόρουμ λόγω υποχρεώσεων) τον εξαιρετικής σημασίας
από πλευράς διδακτικής και ιστορίας της Γεωμετρίας που αναπτύχθηκε με βάση αυτό το θέμα.
Δεν μπορώ να μην ευχαριστήσω τους φίλους Γιάννη Θωμαϊδη και Γιώργο Ρϊζο
για τον χρόνο που διέθεσαν να αναπτύξουν το θέμα με ουσιώδη τρόπο. Είναι παράδειγμα,
για να μην το αναφέρω ως υπόδειγμα και θεωρηθεί υπερβολή, πώς πρέπει να παρουσιάζουμε θέματα για συζήτηση στο Φόρουμ.
Εννοώ τεκμηριωμένα, με παράθεση πηγών, επιχειρημάτων κλπ.
Πάντα, το Φόρουμ του mathmetica για μένα είναι ένα πολύ καλό σχολείο από το οποίο μαθαίνω
και ελπίζω να μαθαίνω μέχρι να μην καταλαβαίνω τι είναι αυτά που διαβάζω.

Καλή χρονιά σε όλους μας με υγεία.

Al.Koutsouridis · #23

Για να συνεχίσουμε την βιβλιογραφική αναφορά που ίσως βοηθήσει στην κατανοήση και μελέτη του θέματος και επειδή σχετίζεται με την απόδειξη του αντίστροφου της τριγωνικής ανισότητας, απλά επιτρέψτε μου να αναφέρω το βιβλίο του Edwin E.Moise Elementary Geometry from an Advanced Standpoint, 1963 πρώτη έκδοση, 1990 τρίτη. ("Στοιχειώδης Γεωμετρία από Προχωρημένη σκοπιά"). Το οποίο και συνιστώ στους μαθητές για μια δεύτερη μελέτη. Το βιβλίο βασίζεται στα αξιώματα του Birkhoff (κύριο χαρακτηριστικό, ότι οι έννοιες της απόστασης και του μέτρου γωνίας είναι αξιώματα) και εξάγονται αναλυτικά, επαγωγικά από αυτά, τα περισσότερα θεωρήματα.

Στην ενότητα 16.5 "Το θεώρημα των δυο κύκλων" υπάρχουν τα θεωρήματα

Θεώρημα 1. Το Θεώρημα των δυο Κύκλων. Ας ειναι

και $C^{\prime}$ δυο κύκλοι με ακτίνες

και

και ας είναι

η απόσταση μεταξύ των κέντρων τους. Αν ο καθένας εκ των αριθμών a,b,c

είναι μικρότερος από το άθροισμα των άλλων δυο, τότε οι

και $C^{\prime}$ τέμνονται σε δυο σημεία και τα δυο σημεία τομής βρίσκονται εκατέροθεν της διακέντρου.

Θεώρημα 2. Το Θεώρημα του Τριγώνου. Δοθέντος τριών θετικών αριθμών a,b,c

αν ο καθένας εξ αυτών των αριθμών είναι μικρότερος των άλλων δυο, τότε υπαρχει τρίγωνο με πλευρές που εχουν μήκοι a,b,c

.

Η απόδειξη του θεωρήματος 2 γίνεται με την μέθοδο που περιγράφεται στο βιβλίο των Α. Αλιμπινίση, Γ. Δημάκου, Θ. Εξαρχάκου, Δ. Κοντογιάννη και Γ. Τασσόπουλου Θεωρητική Γεωμετρία Α’ Ενιαίου Λυκείου (Α’ έκδοση 1990), αλλά κατα την αποψή μου μεθοδολογικά πιο σωστά. (Δεν τις μεταφέρω τις αποδείξεις λόγω έλλειψης χρόνου.)

Σχετικά με τα όσα ανέφερε ο κ.Θωμαϊδης παραπάνω και νομίζω είναι σε αυτό το πνεύμα, ενδιαφέρον έχει το σχόλιο που γίνεται μετά την απόδειξη.

"Σε ένα καθαρά συνθετικό σύγραμμα (σημείωση: ως συνθετικό εδώ εννοεί την Ευκλείδεια διαπραγμάτευση ή κατά των Hilbert σε πιο αυστηρή μορφή, σε αντιθέση με την μετρική του Birkhoff), κάτι ισοδύναμο με το θεώρημα των δυο κύκλων πρέπει να διατυπωθεί ως αξίωμα. Στην πράξη, ο Ευκλείδης χρησιμοποιήσε ένα τέτοιο αξιώμα, χωρίς να το διατύπωσει. Σε σύχρονη ορολογία, το αξίωμα που απαιτείται παίρνει την ακόλουθη μορφή.

Το αξίωμα των δυο κύκλων. Έστω $C_{1}$ και $C_{2}$ δυο κύκλοι με κέντρα

και

. Έστω

και

σημεία των κύκλων $C_{1}$ και $C_{2}$ . Αν κάθε μια κλάση ισότητας (congruence class) $[\overline{PA}], [\overline{PM}]$ και $[\overline{MB}]$ είναι μικρότερη των άλλων δυο, τότε οι $C_{1}$ και $C_{2}$ τέμνονται σε δυο σημεία.

Εδώ τα αθροίσματα και οι ανισώσεις ορίζονται όπως στην ενότητα 8.4 (σημείωση: στην ενότητα αυτή ορίζονται η ισότητα, το άθροισμα κτλ. ευθύγραμμων τμημάτων σύμφωνα με τα αξιώματα του Hilbert)."

#24

Με μεγάλη χαρά δίνουμε το σύνδεσμο εδώ που οδηγεί στη Διπλωματική εργασία του Θάνου Μάγκου, που σχετίζεται με το θέμα της προηγηθείσας συζήτησης και ασχολείται σε βάθος με το διαχρονικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση.

#25

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Πέμ Απρ 28, 2022 2:06 pm Με μεγάλη χαρά δίνουμε το σύνδεσμο εδώ που οδηγεί στη Διπλωματική εργασία του Θάνου Μάγκου, που σχετίζεται με το θέμα της προηγηθείσας συζήτησης και ασχολείται σε βάθος με το διαχρονικό πρόβλημα της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Γεωμετρίας στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση.

Μια και στην παραπάνω διατριβή -- θερμά συγχαρητήρια, Θάνο

-- και συζήτηση εξετάζεται η προσφυγή στην Άλγεβρα, ας προτείνω και μια 'ενδιάμεση' προσέγγιση βασισμένη στην κραταιά (ακόμη

) Ανάλυση της Γ' Λυκείου:

Η βασική ιδέα είναι να εξετάσουμε την 'διαφορά τομών' των δύο κύκλων από την οριζόντια ευθεία σε ύψος

από τον άξονα των

(βλέπετε και συνημμένο): ανάλογα και με την σχετική θέση των δύο κύκλων, η διαφορά αυτή αρχίζει αρνητική και καταλήγει θετική ή αντίστροφα, οπότε λόγω συνεχείας και Θεωρήματος Bolzano υπάρχει σημείο μηδενισμού της διαφοράς, που είναι βεβαίως σημείο τομής των δύο κύκλων.

Πιο συγκεκριμένα, τοποθετούμε το κέντρο του μικρότερου κύκλου (ακτίνας

) στην αρχή των αξόνων και το κέντρο του μεγαλύτερου κύκλου (ακτίνας

) στο

και, τέμνοντας τους δύο κύκλους με οριζόντια ευθεία σε ύψος

, όπου $0\leq y\leq r$ (βλέπετε συνημμένο), εξετάζουμε είτε την διαφορά f(y)

της τομής του δεξιού μισού του μικρότερου κύκλου μείον την τομή του αριστερού μισού του μεγαλύτερου κύκλου (περίπτωση $d>\sqrt{R^2-r^2}$ ) είτε την διαφορά g(y)

της τομής του αριστερού μισού του μικρότερου κύκλου μείον την τομή του αριστερού μισού του μεγαλύτερου κύκλου (περίπτωση $d<\sqrt{R^2-r^2}$ ):

στην πρώτη περίπτωση προκύπτουν άμεσα οι

$f(y)=\sqrt{r^2-y^2}-(d-\sqrt{R^2-y^2})$ , f(0)=r+R-d>0

, $f(r)=\sqrt{R^2-r^2}-d<0$ ,

στην δεύτερη περίπτωση προκύπτουν άμεσα οι

$g(y)=-\sqrt{r^2-y^2}-(d-\sqrt{R^2-y^2})$ , g(0)=-r+R-d<0

, $g(r)=\sqrt{R^2-r^2}-d>0$ ^

και στις δύο περιπτώσεις, η συνέχεια των

,

και το Θεώρημα Bolzano συνεπάγονται την ύπαρξη y_0

όπου

ή

, άρα την ύπαρξη τομής των δύο κύκλων στο ύψος y_0

. [Στην περίπτωση $d=\sqrt{R^2-r^2}$ που δεν εξετάστηκε ως τώρα προκύπτει εύκολα ότι ο δεξιός (μεγαλύτερος) κύκλος τέμνει τον αριστερό (μικρότερο) κύκλο στο σημείο (0,r)

.]

: dikyklos-bolzano.png (36.1 KiB) Προβλήθηκε 751 φορές

Σχετική θέση δυο κύκλων

Re: Σχετική θέση δυο κύκλων

Re: Σχετική θέση δυο κύκλων

Re: Σχετική θέση δυο κύκλων

Re: Σχετική θέση δυο κύκλων

Re: Σχετική θέση δυο κύκλων

Μέλη σε σύνδεση