Παραγοντοποίηση 2

[S.E.Louridas]

Δείτε και στο Λεξικό Μαθηματικών (σελίδες 506 - 507)
Γ.Ν.Παντελίδης - Δ.Χ.Κραβαρίτης, Καθηγητές Ε.Μ.Πολυτεχνείου .

[achilleas]

... Και μια εύλογη ερώτηση είναι: Αν δινόταν η εξής άσκηση:
Να εξετασθεί αν παραγοντοποιείται το πολυώνυμο , αυτή δεν θα ήταν ελλειπής ; ( αν δεν κάνω λάθος στο Ζ[x] δεν παραγοντοιείται ενώ στο Q[x])

(Λήμμα Gauss) Αν ένα πολυώνυμο έχει ακέραιους συντελεστές, και γράφεται ως γινόμενο δυο πολυωνύμων με ρητούς συντελεστές, τότε γράφεται κι ως γινόμενο με ακέραιους συντελεστές.

Το πολυώνυμο είναι ανάγωγο κι επί του .

Ενδιαφέρον έχει η απάντηση του wolfram alpha

http://www.wolframalpha.com/input/?i=factor+x^4%2B1

Φιλικά,

Αχιλλέας

[silouan]

Typo με συγχωρείτε ! Εννοούσα στο R , έχοντας υπόψη την παραγοντοποίηση
(όπου οι παράγοντες είναι πολυώνυμα)

[chris]

Για να μην παρεξηθώ θέλω να τονίσω οτι αναφέρθηκα στη σκεψη του mtsarduckas και όχι στη λύση αφού ο καθένας θα μπορούσε να αποπροσανατολιστεί απο τον τρόπο με τον οποίο δώθηκε η εκφώνηση.Η λύση του προφανώς και είναι λανθασμένη απο όλες τις απόψεις ορισμένες απο τις οποίες προαναφέρθηκαν.
Θα μου επιτρέψετε ,παρόλα τα post που προηγήθηκαν, να συνεχίσω να συμφωνώ με τον smar και τον κύριο Παππέλη γιατί στα μαθηματικά και όχι μόνο τίποτα δεν πρέπει να θεωρείται δεδομένο.Εξάλλου μην ξεχνάμε οτι επειδή το θέμα είναι στο Μαθηματικοι
Διαγωνισμοί και Ολυμπιάδες οι μαθητές έχουν υψηλό επίπεδο και ξέρουν πολύ περισσότερα απο έναν μέσο μαθητή.
Δεν συζητάμε ασφαλώς την περίπτωση ενός διαγωνισμού τύπου Θαλής όπου ο καθένας μπορεί να συμμετέχει και δεν υπάρχει άλλος τρόπος να αντηληφθεί την παραγοντοποίηση ενος πολυωνύμου.Συζητάμε για πολλή υψηλότερο επίπεδο αφού η άσκηση απο μόνη της είναι υψηλότερου επιπέδου.

Φιλικά Χρήστος

[chris_gatos]

Χρήστο καλησπέρα!

Χαίρομαι που διαβάζω τα παραπάνω γιατί εδώ
μου τα χάλασες!!

Δεν υποτίθεται τίποτα κατά την ταπεινή μου άποψη και πρέπει πάντα να δίνουμε τα απαραίτητα στον λύτη.

Τίμια συμπεριφορά απέναντι στο λύτη, για να κάνει σωστά τη δουλειά του!

Υ.Γ Σωτήρη θα σου ήταν εύκολο να παραθέσεις τι γράφουν στο λεξικό τους οι εν'λόγω επιφανείς μαθηματικοί γιατί εδώ στη Χάλκη...

[achilleas]

Typo με συγχωρείτε ! Εννοούσα στο R , έχοντας υπόψη την παραγοντοποίηση
(όπου οι παράγοντες είναι πολυώνυμα)

Σιλουανέ, ήμουν σίγουρος ότι πρόκειται για τυπογραφικό, απλά ανέφερα το Λήμμα Gauss για τους μαθητές που διαβάζουν αυτή τη συζήτηση.

Αξίζει, πιστεύω, να αναφέρουμε - πάλι για τους φίλους μαθητές- ότι
δεν υπάρχει πολυώνυμο βαθμού το οποίο να είναι ανάγωγο επί του $. (Γιατί;)

Φιλικά,

Αχιλλέας

[chris]

Κύριε Χρήστο έχετε απόλυτο δίκιο απλά η προηγούμενη άσκηση δώθηκε ακριβώς έτσι στην τάξη και δεν έκανα καμιά αλλαγή.Αλλά αν παρατηρήσετε στην επόμενη δημοσίευση που κάνω στο θέμα θα δείτε οτι καταδικάζω έμεσα τέτοιες εκφωνήσεις.(συγκεκριμένα γράφω: τρέχα γύρευε...).

Φιλικά Χρήστος

[AlexandrosG]

Βασικά να πάρω και εγώ θέση ως θεματοδότης αφού συζήτηση κάνουμε.
Η εκφώνηση που έδωσα πιστεύω ότι είναι ελλιπής. Δικαιολογούμαι λέγοντας ότι είπα απλά παραγοντοποιήστε για να μην προδώσω τις δύο πρώτες γραμμές της λύσης του Αχιλλέα παρακάτω.
Ένας λόγος ακόμα για τον οποίο είναι ελλιπής είναι είπε και ο Αχιλλέας ότι μπορεί να ζήταγα την παραγοντοποίηση στο αφού είναι 5 βαθμού και συνεπώς γράφεται

Εύκολα βλέπουμε ότι το πολυώνυμο δεν έχει ακέραιες ρίζες.
Έτσι, αν το πολυώνυμο παραγοντοποείται, τότε θα μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο

[Nick1990]

• Η άσκηση είναι στα « Θέματα για Λύκειο-seniors». Επομένως απευθύνεται σε μαθητές. Συνεπώς «είμαστε στο φόρουμ των σχολικών μαθηματικών!», αφού οι μαθητές που δίνουν αυτές τις εξετάσεις δεν έχουν διδαχθεί , τουλάχιστον επίσημα, άλλη θεωρία πολυωνύμων.
• Θυμάμαι πολύ καλά τι έχω πει. Ίσως εσύ να έχεις παρερμηνεύσει αυτά που έχω πει. Και έχω πει ότι δεν υπάρχουν σήμερα ανώτερα και κατώτερα μαθηματικά. Τα μαθηματικά ουσιαστικά ξεκινάνε από το Λύκειο και προχωρούν στο Πανεπιστήμιο κτλ. Πολλές φορές όμως, για ευκολία της συζήτησης, τα μαθηματικά που κάνουμε στο λύκειο τα ονομάζουμε « σχολικά μαθηματικά».
• Το ουσιώδες όμως είναι ότι αναγνωρίζεις ότι η λύση είναι λάθος. Και το λάθος αυτό δεν το έχει υπαγόρευση η εκφώνηση της άσκησης( αφού μια τέτοια ανάλυση δεν στέκει από καμία άποψη ). Οι μαθητές, μηδέ εξαιρουμένων και εκείνων που λαμβάνουν μέρος σε τέτοιες εξετάσεις, δεν έχουν διδαχθεί Αλγεβρικές Δομές και δεν ξέρουν τι είναι « Σώμα». Ούτε τι είναι «Δακτύλιος». Ούτε έχουν μάθει τον ορισμό του ανάγωγου πολυωνύμου!!! ( το βιβλίο των μαθηματικών της Γ΄ Γυμνασίου γράφει σε μερικά σημεία « να αναλυθεί ένα πολυώνυμο- που δίνει- σε γινόμενο πρώτων παραγόντων», αλλά πουθενά δεν έχει πει πότε ένα πολυώνυμο είναι πρώτο!!!- το έχω επισημάνει στους συγγραφείς του βιβλίου αυτού).
• Όταν λέμε στους μαθητές «να παραγοντοποιήσουν ένα πολυώνυμο» εννοούν αυτό που έγραψα στο προηγούμενο μήνυμά μου και τίποτα άλλο.
• Τα μεγαλύτερα έγχρωμα γράμματα δεν σημαίνουν τίποτε περισσότερο από αυτά που λένε.

Θα συμφωνησω με τον smar διοτι κυριε Αντωνη οπως λετε και εσεις στα Μαθηματικα δεν εννοουμε τιποτα λιγοτερο και τιποτα περισσοτερο απο αυτο που γραφαμε.Και ποια ειναι η συμβασις εκεινη που εχει γινει ωστε η παραγοντοποιηση να περιλαμβανει μονο πολυωνυμα με πραγματικους συντελεστες και γιατι οχι με ρητους ακεραιους συνδυασμο αυτων κοκ.

Αγαπητέ papel.
• Καθένας μας είναι ελεύθερος να συμφωνεί με όποιον θέλει. Πρέπει όμως να σου πω ότι:
1) Οι ρητοί και οι ακέραιοι αριθμοί είναι πραγματικοί αριθμοί.
2) Τι άλλο θα μπορούσε να σημαίνει η εκφώνηση της άσκησης; Αφού οποιαδήποτε άλλη ανάλυση, από αυτή που αναφέρω στο προηγούμενο μήνυμα μου, δεν στέκει από καμία άποψη;

Υ. Γ.
Αγαπητοί smar και papel. Θα μου επιτρέψετε να μην επανέλθω στο ίδιο θέμα, ότι και να απαντήσετε. Νομίζω ότι δεν αξίζει τον κόπο. Δεν μου είναι ευχάριστο να μιλάω για αυτονόητα πράγματα.
Με εκτίμηση και αγάπη.

Κυριε Κυριακοπουλε,
θα ηθελα, εστω και καθυστερημενα, να γραψω και τη δικη μου αποψη επι του θεματος, κατα την οποια διαφωνω στο οτι "βρησκομαστε στο φορουμ των σχολικων μαθηματικων". Απ οσο καταλαβα, θελετε να πειτε οτι βρησκομαστε στο "θεματα για Λυκειο" και αρα θα πρεπει να περιοριζομαστε σε σχολικα μαθηματικα. Κατα τη γνωμη μου, ακομα και ο τιτλος "Θεματα για Λυκειο" δεν ειναι ευστοχος, διοτι κατ εμε οι Ολυμπιαδες δεν θα επρεπε να σχετιζονται καθολου με τη δευτεροβαθμια εκπαιδευση. Μπορει εδω στην Ελλαδα να συνδεουμε τους διαγωνισμους αυτους με το Λυκειο, σε διεθνες επιπεδο ομως δεν συμβαινει αυτο, και πιστευω οτι αυτο ειναι βασικη αιτια που δεν εχουμε παρει ποτε χρυσο σε ΔΜΟ, γιατι δεν πιστευω οτι οι Κινεζοι/Ρωσοι κτλ εχουν περισσοτερες ικανοτητες απο εμας. Το οτι οι Ολυμπιαδες με το μεγαλυτερο κυρος, δηλαδη η ΔΜΟ και η ΑΜΟ και ισως και η ΒΜΟ, απευθηνονται σε ατομα που δεν εχουν μπει ακομα στο πανεπιστημιο, δεν σημαινει οτι ειναι "κοντα" στα μαθηματικα σχολικου επιπεδου. Στα δυσκολοτερα προβληματα των ΔΜΟ δινονται καθε χρονο πολλες λυσεις με ανωτερα πανεπιστημιακα μαθηματικα, κυριως με Αλγεβρικη Συνδιαστικη - Θεωρια Ομαδων/Δακτυλιων/Σωματων, και συχνα και απο διαγωνιζομενους 15 χρονων. Εχει τυχει χρυσος ολυμπιονικης στην ΔΜΟ, να παει αμεσως μετα τη ΔΜΟ στον IMC χωρις να εχει μπει ακομα στο πανεπιστημιο και να τα λυσει ολα. Ακομα, ειδα προσφατα θεματα διαγωνισμου επιλογης των Κινεζων για ΔΜΟ, και τα περισσοτερα ηταν βασισμενα σε ανωτερα πανεπιστημιακα μαθηματικα, εκτως απο τις γεωμετριες. Γι αυτο λοιπον θεωρω οτι δεν πρεπει να σχετιζουμε τις Ολυμπιαδες με τα Λυκειακα...

Φιλικα παντα, Νικος.

[Μπάμπης Στεργίου]

Αυτά που γράφτηκαν στα παραπάνω μηνύματα, αποτελούν υλικό για σεμινάριο στο θέμα :

'' Κουβέντα σε ένα μαθηματικό ζήτημα ''.

Νοιώθω τυχερός που έχουμε αυτό το χώρο για τόσο ωραίες ανταλλαγές ιδεών και απόψεων και πρέπει να σας εκφράσω την ικανοποίησή μου για το γεγονός αυτό. Σε μια εποχή που γύρω μας ο κόσμος έχει χάσει τη μιλιά του, αποδεικνύεται περίτρανα πως οι άνθρωποι κάθε ηλικίας που κάνουν μαθηματικά μπορούν ακόμα να διατυπώνουν ουσιαστικό καθαρό ορθό λόγο.Η διαπίστωση αυτή με γεμίζει αισιοδοξία.
Καλή Πρωτομαγιά σε όλους !

Μπάμπης