ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

erxmer · #241

ΑΣΚΗΣΗ 67

Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f,g: R \to R$ με f(0)=2

και $f(x)g(x)=f'(x)g'(x)=e^{2x}, x \in R$

1) Nα βρεθούν οι τύποι των συναρτήσεων

2) Η εξίσωση της εφαπτομένης της C_f

στο σημείο A=(a,f(a)), a>0

3) Το εμβαδό E(a)

του χωρίου που περικλείεται απο την C_f

την ευθεία y=2e^a

και τον άξονα yy'

4) Αν το σημείο

απομακρύνεται απο τον άξονα xx'

με ταχύτητα v=2

μοναδες μήκους /sec

, να βρεθει ο ρυθμός μεταβολής του E(a)

την χρονική στιγμή που η εφαπτομένη τέμνει τον xx'

στο σημείο (1,0)

5) Θεωρούμε την συνάρτηση $h(x)=2x^2g(x), x \in R$ . Δείξτε οτι υπάρχει μοναδικό $\displaystyle{x_0 \in (0,1): h(x_0)=\int_{0}^{1}{h(x)dx}}$

Rempeskes · #242

erxmer έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 67

Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f,g: R \to R$ με και $f(x)g(x)=f'(x)g'(x)=e^{2x}, x \in R$

1) Nα βρεθούν οι τύποι των συναρτήσεων

2) Η εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο

3) Το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται απο την την ευθεία και τον άξονα

4) Αν το σημείο απομακρύνεται απο τον άξονα με ταχύτητα μοναδες μήκους, να βρεθει ο ρυθμός μεταβολής του την χρονική στιγμή που η εφαπτομένη τέμνει τον στο σημείο

5) Θεωρούμε την συνάρτηση $h(x)=2x^2g(x), x \in R$ . Δείξτε οτι υπάρχει μοναδικό $\displaystyle{x_0 \in (0,1): h(x_0)=\int_{0}^{1}{h(x)dx}}$

Μια προσπάθεια..

1)

Έστω ότι υπάρχει $x_o \in \mathbb{R}:g(x_o)=0$ .

Τότε θα ισχύει $0={e}^{2x_o}$ ΑΤΟΠΟ

Άρα εφόσον η

είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ ως παραγωγίσιμη, θα διατηρεί σταθερό πρόσημο σε αυτό.

Οπότε εφόσον για $\displaystyle{x=0 \Rightarrow g(0)=\frac{1}{f(0)}=\frac{1}{2}>0$ θα πρέπει $g(x)>0, \forall x \in \mathbb{R}}$

Επίσης η

παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ οπότε,

$\displaystyle{f'(x)=\left(\frac{{e}^{2x}}{g(x)} \right)'=\frac{2{e}^{2x}g(x)-{e}^{2x}g'(x)}{g^2(x)}}$

Οπότε,

$\displaystyle{g'(x)f'(x)={e}^{2x}\Rightarrow g'(x)\left(\frac{2{e}^{2x}g(x)-{e}^{2x}g'(x)}{g^2(x)} \right)={e}^{2x}}$

$\displaystyle{\Rightarrow g'(x)\left(\frac{2g(x)-g'(x)}{g^2(x)} \right)=1 \Rightarrow 2\left(\frac{g'(x)}{g(x)} \right)-{\left(\frac{g'(x)}{g(x)} \right)}^2 =1 }$

$\displaystyle{\Rightarrow \left(\left(\frac{g'(x)}{g(x)} \right)-1 \right)^2 =0 \Rightarrow g'(x)=g(x) \Rightarrow g(x)=ce^x \Rightarrow g(x)=\frac{e^x}{2}}$

Εύκολα βρίσκουμε επίσης ότι f(x)=2e^x

.

Οι

επαληθεύουν τις δοθείσες.

2)

y=2e^a x +2e^a (1-a)

3)

$y=f(x)\Leftrightarrow x=a$ και 2e^a > 2e^x

, $\forall x \in \left[0,a \right]$ άρα,

$\displaystyle{E(a)=\int_{0}^{a}\left(2e^a -2e^x \right)dx=2ae^a -2e^a+2}$

5)

$\displaystyle{(\pi \alpha \varrho \alpha \gamma o\nu \tau \iota \kappa \eta) \Rightarrow \int_{0}^{1}x^2 e^x dx=e-2 \tau .\mu .}$

Θεωρούμε την συνάρτηση h(x)=x^2 e^x -e+2

.

Η

παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ ως πράξεις μεταξύ παραγωγίσιμων συναρτήσεων.

g'(x)=2xe^x +x^2 e^x

Η

παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ ως πράξεις μεταξύ παραγωγίσιμων συναρτήσεων.

$g''(x)=2e^x (x+1)^2 \geq 0$ (μηδενίζεται μόνο για x=-1

)

Άρα η

γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .

Για $x>0 \Rightarrow g'(x)>g'(0)\Rightarrow g'(x)>0$

Για $x<0 \Rightarrow g'(x)<g'(0)\Rightarrow g'(x)<0$

Επομένως η

γνησίως φθίνουσα στο $\Delta _1 =\left(-\infty,0 \right]$ και γνησίως αύξουσα στο $\Delta _2=\left[0,+\infty \right)$

Επομένως,

$g\left( \Delta _1 \right)=\left[2-e,0 \right)$ εφόσον $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x^2}{{e}^{-x}}=0 \left(DLH \right)}$

$g\left( \Delta _2 \right)=\left[2-e,+\infty \right)$

$0 \notin g\left( \Delta _1 \right)$

$0 \in g\left( \Delta _2 \right)$ και

γνησίως αύξουσα σε αυτό άρα,

$\exists! x_o \in \Delta _2 : g(x_o)=0 \Rightarrow h(x_o)=\int_{0}^{1}{h(x)dx}}$

#243

erxmer έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 67

Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f,g: R \to R$ με και $f(x)g(x)=f'(x)g'(x)=e^{2x}, x \in R$

1) Nα βρεθούν οι τύποι των συναρτήσεων

2) Η εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο

3) Το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται απο την την ευθεία και τον άξονα

4) Αν το σημείο απομακρύνεται απο τον άξονα με ταχύτητα μοναδες μήκους, να βρεθει ο ρυθμός μεταβολής του την χρονική στιγμή που η εφαπτομένη τέμνει τον στο σημείο

5) Θεωρούμε την συνάρτηση $h(x)=2x^2g(x), x \in R$ . Δείξτε οτι υπάρχει μοναδικό $\displaystyle{x_0 \in (0,1): h(x_0)=\int_{0}^{1}{h(x)dx}}$

ΛΥΣΗ

1) Είναι από $f(x)g(x)={{e}^{2x}},x\in R$ επειδή ${{e}^{2x}}>0,\,\,x\in R$ και $f(x)\ne 0,\,\,x\in R$ άρα $g(x)=\frac{{{e}^{2x}}}{f(x)},x\in R$ και

παραγωγίζοντας προκύπτει ότι ${g}'(x)=\frac{{{e}^{2x}}(2{f}'(x)-f(x)}{{{f}^{2}}(x)},\,\,x\in R$ και επειδή από $f(x)g(x)=f'(x)g'(x)=e^{2x}, x \in R$

είναι ${g}'(x)=\frac{{{e}^{2x}}}{{f}'(x)},x\in R$ θα είναι

$\frac{{{e}^{2x}}}{{f}'(x)}=\frac{{{e}^{2x}}(2f(x)-{f}'(x))}{{{f}^{2}}(x)}\Rightarrow {{f}^{2}}(x)=2f(x){f}'(x)-{{({f}'(x))}^{2}},\,\,x\in R$ άρα ισχύει

${{\left( f(x)-{f}'(x) \right)}^{2}}=0,\,\,x\in R$ επομένως είναι ${f}'(x)=f(x),\,\,x\in R$ άρα $f(x)=c{{e}^{x}}$ και αφού f(0)=2

προκύπτει

ότι c=2

δηλαδή $f(x)=2{{e}^{x}},\,\,x\in R$ και τότε από $f(x)g(x)={{e}^{2x}},x\in R$ προκύπτει ότι

$g(x)=\frac{1}{2}{{e}^{x}},\,\,x\in R$ που εύκολα επαληθεύουν τις αρχικές ισότητες.

2) Η εφαπτομένη της C_f

στο σημείο A=(a,f(a)), a>0

είναι $y-f(a)={f}'(a)(x-\alpha )\Leftrightarrow y=2{{e}^{\alpha }}x+2{{e}^{\alpha }}(1-\alpha )$

3) Η C_f

και η ευθεία y=2e^a

τέμνονται στο σημείο A=(a,f(a)), a>0

και το ζητούμενο εμβαδό είναι

$E(\alpha )=\int\limits_{0}^{\alpha }{|f(x)-y|}dx=\int\limits_{0}^{\alpha }{2|{{e}^{x}}-{{e}^{\alpha }}|}dx=2\int\limits_{0}^{\alpha }{({{e}^{\alpha }}-{{e}^{x}})}dx$

(επειδή για $0\le x\le \alpha \Rightarrow 1\le {{e}^{x}}\le {{e}^{\alpha }}$ ) και άρα

$E(\alpha )=2\left[ {{e}^{\alpha }}x-{{e}^{x}} \right]_{0}^{\alpha }=2(\alpha -1){{e}^{\alpha }}+2$

4) Από υπόθεση αφού το σημείο A απομακρύνεται απο τον άξονα xx' με ταχύτητα v=2

μονάδες μήκους /sec

, ισχύει ότι {y}'(t)=2

με

$y(t)=2{{e}^{\alpha (t)}}$ επομένως τότε ${y}'(t)=2{{e}^{\alpha (t)}}{\alpha }'(t)$ δηλαδή

$2=2{{e}^{\alpha (t)}}{\alpha }'(t)\Leftrightarrow {{e}^{\alpha (t)}}{\alpha }'(t)=1$ (1)

Τώρα είναι από (3) $E(t)=2(\alpha (t)-1){{e}^{\alpha (t)}}+2$ επομένως

${E}'(t)=2{\alpha }'(t){{e}^{\alpha (t)}}+(\alpha (t)-1){\alpha }'(t){{e}^{\alpha (t)}}$ και λόγω (1) ${E}'(t)=2+(\alpha (t)-1)=\alpha (t)+1$ (2)

Επίσης όταν η εφαπτομένη $y=2{{e}^{\alpha }}x+2{{e}^{\alpha }}(1-\alpha )$ τέμνει τον {x}'x

στο

ισχύει

$0=2{{e}^{\alpha }}+2{{e}^{\alpha }}(1-\alpha )\Leftrightarrow \alpha =2$ και έτσι από (2) ${E}'({{t}_{0}})=\alpha ({{t}_{0}})+1=2+1=3,\,\,\tau .\mu ./sec$

5) Είναι $h(x)=2{{x}^{2}}g(x)={{x}^{2}}{{e}^{x}},x\in R$ παραγωγίσιμη με

${h}'(x)=2x{{e}^{x}}+{{x}^{2}}{{e}^{x}}=({{x}^{2}}+2x){{e}^{x}}>0,\,\,\,\,x\in (0,\,\,1)$ άρα η

είναι γνήσια αύξουσα στο $[0,\,\,1]$

επομένως θα ισχύει ότι $h(0)\le h(x)\le h(1),\,\,\,x\in [0,\,\,1]$ και ολοκληρώνοντας έχουμε ότι

$\int\limits_{0}^{1}{h(0)dx}<\int\limits_{0}^{1}{h(x)dx}<\int\limits_{0}^{1}{h(1)dx}\Leftrightarrow h(0)<\int\limits_{0}^{1}{h(x)dx}<h(1)$

και έτσι σύμφωνα με τοο θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχει $\displaystyle{x_0 \in (0,1): h(x_0)=\int_{0}^{1}{h(x)dx}}$

που είναι μοναδικό λόγ μονοτονίας της

.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Γιώργος Απόκης · #244

GMANS έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 16

B. ‘Έστω
το εμβαδον που σχηματίζουν
το εμβαδον που σχηματίζουν $C_f, y=\alpha ^2$
το εμβαδον που σχηματίζουν $C_f, y=\beta ^2$
$E=\int_{-3}^{3}(9-x^2)dx =36$
$\color{red}E_1\color{black}=\int_{-3}^{3}(\alpha ^2-x^2)dx =6\alpha ^2-18$
$\color{red}E_2\color{black}=\int_{-3}^{3}(\beta ^2-x^2)dx =6\beta ^2-18$
Θα πρέπει :
$E_1= \frac{E}{3} \Leftrightarrow 6\alpha ^2-18 =12 \Leftrightarrow \color{red}\alpha =\sqrt{5}$
$E_2= 2\frac{E}{3} \Leftrightarrow 6\beta ^2-18 =24 \Leftrightarrow \color{red}\beta =\sqrt{7}$

Καλησπέρα. Μια μικρή διόρθωση στην Άσκηση 16. Για τα $\displaystyle{E_1,E_2}$ , είναι :

$\displaystyle{E_1=\int_{-a}^{a}(a^2-x^2)dx=\frac{4a^3}{3}}$ και $\displaystyle{E_2=\int_{-\beta}^{\beta}(\beta^2-x^2)dx=\frac{4\beta^3}{3}}$

και έτσι προκύπτουν : $\displaystyle{a=\sqrt[3]{9},~\beta=\sqrt[3]{18}}$

M.S.Vovos · #245

Καλησπέρα!

Όπως είχε γράψει και ο Γιώργος Απόκης στο συγκεκριμένο φάκελο΄ θα ήταν καλό να φτιαχτεί ένα φυλλάδιο - βιβλιαράκι, με όλες τις ασκήσεις που έχουν προταθεί. Αφήνω, λοιπόν, ανοιχτή ερώτηση προς όλους για βοήθεια στην παραπάνω εργασία. Σκεφτόμουν μάλιστα μήπως (για αλλαγή) το φυλλάδιο γραφόταν σε κώδικα $\displaystyle{\LaTeX}$ .

Όποιος ενδιαφέρεται, παρακαλώ πολύ, να μου στείλει προσωπικό μήνυμα είτε στο forum

είτε στο e-mail μου:
mariosvovos@gmail.com

Φιλικά,
Μάριος

#246

Μάριε Χρόνια Πολλά και Καλή Χρονιά
Βάλε μία άσκηση στη θέση της 14

ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)

Μέλη σε σύνδεση